（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列與不等式 第3講 數(shù)列的綜合問題學案考情考向分析1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題是高考考查的一個熱點，也是一個難點，主要涉及到的方法有作差法、放縮法、數(shù)學歸納法等熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系an2求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)·f(2)··f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1(2018·浙江)已知等比數(shù)列an的公比q>1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式解(1)由a42是a3，a5的等差中項，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得820，解得q2或q.因為q>1，所以q2.(2)設cn(bn1bn)an，數(shù)列cn的前n項和為Sn.由cn解得cn4n1(nN*)由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)×n1，故bnbn1(4n5)×n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)×n2(4n9)×n37×3.設Tn37×11×2(4n5)×n2，n2，則Tn3×7×2(4n9)×n2(4n5)×n1，n2，得Tn34×4×24×n2(4n5)×n1，n2，因此Tn14(4n3)×n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)×n2，n2，當n1時，b11也滿足上式，所以bn15(4n3)×n2，nN*.思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.跟蹤演練1已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：a1anS1Sn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若an>0，數(shù)列的前n項和為Tn，試問當n為何值時，Tn最??？并求出最小值解(1)由已知a1anS1Sn，可得當n1時，aa1a1，解得a10或a12，當n2時，由已知可得a1an1S1Sn1，得a1an.若a10，則an0，此時數(shù)列an的通項公式為an0.若a12，則2an，化簡得an2an1，即此時數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an2n(nN*)綜上所述，數(shù)列an的通項公式為an0或an2n(nN*)(2)因為an>0，故an2n.設bnlog2，則bnn5，顯然bn是等差數(shù)列，由n50，解得n5，所以當n4或n5時，Tn最小，最小值為T4T510.熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化例2已知函數(shù)f(x)ln(1x).(1)若x0時，f(x)0，求的最小值；(2)設數(shù)列an的通項an1，證明：a2nan>ln 2.(1)解由已知可得f(0)0，f(x)ln(1x)，f(x)，且f(0)0.若0，則當x>0時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)f(0)0，不合題意；若0<<，則當0<x<時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當0<x<時，f(x)>f(0)0，不合題意；若，則當x>0時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x0時，f(x)f(0)0，符合題意綜上，.實數(shù)的最小值為.(2)證明由于a2nan，若，由(1)知，f(x)ln(1x)，且當x>0時，f(x)<0，即>ln(1x)，令x，則>ln，>ln，>ln，>ln，>ln.以上各式兩邊分別相加可得>lnlnlnln，即>lnlnln 2，a2nan>ln 2.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s跟蹤演練2設fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0<an<n.(1)解由題設fn(x)12xnxn1，所以fn(2)12×2(n1)2n2n·2n1，則2fn(2)22×22(n1)2n1n·2n，由得，fn(2)12222n1n·2nn·2n(1n)·2n1，所以fn(2)(n1)·2n1.(2)證明因為fn(0)1<0，fn112×n12×2>0，所以fn(x)在內(nèi)至少存在一個零點，又fn(x)12xnxn1>0，所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點an，由于fn(x)1，所以fn(an)10，由此可得ana>，故<an<，所以0<ana<×n1n.熱點三數(shù)列的實際應用數(shù)列與不等式的綜合問題把數(shù)列知識與不等式的內(nèi)容整合在一起，形成了關(guān)于證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求數(shù)列中的最大(小)項、比較數(shù)列中項的大小等問題，求解方法既要用到不等式知識，又要用到數(shù)列的基礎知識，經(jīng)常涉及到放縮法和數(shù)學歸納法的使用例3(2018·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列an中，a11，an12an(1)n(nN*)(1)證明：是等比數(shù)列；(2)當k是奇數(shù)時，證明：<；(3)證明：<3.證明(1)an12an(1)n，an12，又a1，數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)可知an，即an，當k是奇數(shù)時，<.(3)當n為偶數(shù)時，<，<33<3；當n為奇數(shù)時，<，<3<33<3.<3.思維升華數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下：(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性(2)放縮法：先求和后放縮；先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后用裂項相消法求和(3)數(shù)學歸納法跟蹤演練3(2018·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11，an1an(c>0，nN*)(1)證明：an1>an1；(2)若對任意nN*，都有ann1，證明：對于任意mN*，當nm時，an(nm)am；an.證明(1)因為c>0，a11，所以an1an>an(nN*)，下面用數(shù)學歸納法證明an1.當n1時，a111；假設當nk時，ak1，則當nk1時，ak1ak>ak1.所以當nN*時，an1.所以an1>an1.(2)由(1)知當nm時，anam1，所以an1anan，即an1an，累加得anam(nm)所以an(nm)am.若c>，當m>時，am>1.所以<c.所以當nm時，n1an(nm)am.所以當n>時，n1>(nm)am，矛盾所以c.因為aa2ca2cc2a，累加得aa(n1)，所以an.真題體驗1(2018·全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)當n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.2(2017·浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明：當nN*時，(1)0<xn1<xn；(2)2xn1xn；(3)xn.證明(1)用數(shù)學歸納法證明xn>0.當n1時，x11>0.假設當nk(kN*)時，xk>0，那么當nk1時，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，與假設矛盾，故xk1>0，因此xn>0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)>xn1，因此0<xn1<xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)f(x)ln>0(x>0)，函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因為xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得2>0，所以22n12n2，故xn.綜上，xn(nN*)押題預測已知數(shù)列an滿足a12，點(an，an1)在直線y3x2上數(shù)列bn滿足b12，.(1)求b2的值；(2)求證：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；(3)求證：2<.押題依據(jù)數(shù)列與不等式的綜合是高考重點考查的內(nèi)容，常以解答題的形式出現(xiàn)，也是這部分的難點，考查學生的綜合能力(1)解由已知得a23a128，所以，解得b24.(2)解由條件得an13an2，則3，所以數(shù)列an1是以a11為首項，3為公比的等比數(shù)列即an1(a11)·3n13n，所以數(shù)列an的通項公式為an3n1(nN*)(3)證明由題設，知 (n2)，由，得，則，即(n2)當n1時，2，1<，所以原不等式成立；當n2時，········(1bn)××···(1bn)×·(1bn)333，先證明不等式左邊，當n2時，因為>，所以3>332.所以32.再證明不等式右邊，當n2時，所以3333<.所以2<成立綜上所述，不等式成立A組專題通關(guān)1刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3， 中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個數(shù)列的第2 018項是()A2 062 B2 063C2 064 D2 065答案B解析由題意可得，這些數(shù)可以寫為12,2,3,22,5,6,7,8,32，第k個平方數(shù)與第k1個平方數(shù)之間有2k個正整數(shù)，而數(shù)列12,2,3,22,5,6,7,8,32，452共有2 025項，去掉45個平方數(shù)后，還剩余2 025451 980(個)數(shù)，所以去掉平方數(shù)后第2 018項應在2 025后的第38個數(shù)，即是原來數(shù)列的第2 063項，即為2 063.2已知數(shù)列an滿足0<an<1，a8a40，且數(shù)列是以8為公差的等差數(shù)列，設an的前n項和為Sn，則滿足Sn>10的n的最小值為()A60 B61 C121 D122答案B解析由a8a40，得a8，所以a88(n1)8n，所以2a48n4，所以an2，即a2an20，所以an±，因為0<an<1，所以an，Sn1，由Sn>10得>11，所以n>60.3已知數(shù)列an滿足a11，an1an2(nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項和，則()Aan2n1 BSnn2Can2n1 DSn2n1答案B解析由題意得a2a12，a3a22，a4a32，anan12，a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，ana12(n1)，an2n1.a11，a23，a35，an2n1，a1a2a3an1352n1，即Sn(12n1)n2.4數(shù)列an滿足a1，an(nN*)，若對nN*，都有k>成立，則最小的整數(shù)k是()A3 B4 C5 D6答案C解析由an，得anan11，即，且an>1.，5<5.又對nN*，都有k>成立，k5.故最小的整數(shù)k是5.5已知f(n)表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則f(12)3；21的因數(shù)有1,3,7,21，則f(21)21，那么(i)的值為()A2 488 B2 495 C2 498 D2 500答案D解析由f(n)的定義知f(n)f(2n)，且n 為奇數(shù)時f(n)n，則(i)f(1)f(2)f(100)13599f(2)f(4)f(100)f(1)f(2)f(50)2 500(i)，(i)(i)(i)2 500.6(2018·寧波期末)對給定的正整數(shù)n(n6)，定義f(x)a0a1xa2x2anxn，其中a01，ai2ai1(iN*，in)，則a6_；當n2 019時，f(2)_.答案64解析由a01，ai2ai1(iN*，in)得數(shù)列ai為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則ai2i(iN*，in)，所以a62664.當n2 019時，f(x)12x22x222 019x2 019，則f(2)12×222×2222 019×22 019144242 019.7已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn(an1)，則(4n21)的最小值為_答案4解析Sn(an1)，Sn1(an11)(n2)，anSnSn1(anan1)，an4an1，又a1S1(a11)，a14，an是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，an4n，(4n21)2224，當且僅當n2時取“”8已知數(shù)列an的首項a1a，其前n項和為Sn，且滿足SnSn14n2(n2，nN*)，若對任意nN*，an<an1恒成立，則a的取值范圍是_答案(3,5)解析由條件SnSn14n2(n2，nN*)，得Sn1Sn4(n1)2，兩式相減，得an1an8n4，故an2an18n12，兩式再相減，得an2an8，將n2代入SnSn14n2，得a1a2a116，所以a2162a，從而a2n162a8(n1)8n82a；將n3代入SnSn14n2，得a1a2a3a1a236，所以a342a，從而a2n142a8(n1)8n42a，由條件得解得3<a<5.9(2018·浙江省重點中學聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：a10，ln(an1an)annln 20(nN*)(1)求a3；(2)證明：ln(221n)an121n；(3)是否存在正實數(shù)c，使得對任意的nN*，都有an1c，并說明理由(1)解由已知得an1an又a10，所以a2，a3 .(2)證明因為an1>an，a10，所以an0.則an1ananenln 2an2n，所以anan12(n1)an22(n2)2(n1)a1212(n2)2(n1)121n.令f(n)21n2，則f(n1)f(n)2n2n>2n0，所以f(n)是遞增數(shù)列，所以f(n)f(1)0，即21n20，所以anln(221n)，綜上所述，ln(221n)an121n得證(3)解由(2)得an1ananan，所以anan1an2a1(n2)因為(n3)，所以當n4時，an<<.由an的單調(diào)性知當n1,2,3時，an<，綜上所述，對任意的nN*，都有an<，所以存在c使an1c成立10. (2018·浙江省杭州二中月考)已知數(shù)列an1(nN*)(1)求證：a2 018>6；(2)求證：對一切n2都有a2>2.證明(1)an1，a2 0181，a2 018>1>11×106.(2)由題意得anan1(n2)，即an1an，將式子兩邊平方得aa2，aa2，aaaaaaaaaa2.1<12<2，對一切n2都有a2>2.B組能力提高11(2018·浙江)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1a2a3a4ln(a1a2a3)，若a1>1，則()Aa1<a3，a2<a4 Ba1>a3，a2<a4Ca1<a3，a2>a4 Da1>a3，a2>a4答案B解析構(gòu)造不等式ln xx1，則a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31，所以a4a1·q31.由a1>1，得q<0.若q1，則ln(a1a2a3)a1a2a3a4a1(1q)·(1q2)0.又a1a2a3a1(1qq2)a1>1，所以ln(a1a2a3)>0，矛盾因此1<q<0.所以a1a3a1(1q2)>0，a2a4a1q(1q2)<0，所以a1>a3，a2<a4.故選B.12設x1是函數(shù)f(x)an1x3anx2an2x1(nN*)的極值點，數(shù)列an滿足 a11，a22，bnlog2an1，若x表示不超過x的最大整數(shù)，則等于()A2 017 B2 018 C2 019 D2 020答案A解析由題意可得f(x)3an1x22anxan2，x1是函數(shù)f(x)的極值點，f(1)3an12anan20，即an23an12an0.an2an12，a2a11，a3a22×12，a4a32×222，anan12n2，以上各式累加可得an2n1.bnlog2an1log22nn.2 0182 0182 0182 017.2 017.13(2018·湖州、衢州、麗水三地市質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足：a11，an1ln(1an)(nN*)，設數(shù)列的前n項和為Tn.證明：(1)an>0(nN*)；(2)an1<(nN*)；(3)Tn(nN*)證明(1)當n1時，a11>0，所以當n1時，命題成立；假設當nk(kN*)時，命題成立，即ak>0，則由1ak>1，知ak1ln(1ak)>0，所以ak1>0.故對于nN*都有an>0.(2)先利用ln(1x)<x(x>0)證明ln(1an)<an，即an1<an，故an1，因此0<an1.要證明an1<，即證ln(1an)<，構(gòu)造函數(shù)h(x)ln(1x)(0<x1)，則h(x)<0，所以h(x)在(0,1上單調(diào)遞減故h(x)ln(1x)<h(0)0，因此ln(1an)<，即an1<(nN*)(3)由(2)可知>成立，則累加可得1(n1)，故Tnn×.構(gòu)造函數(shù)g(x)ln(1x)(0<x1)，g(x)>0，所以g(x)在(0,1上單調(diào)遞增，所以g(x)ln(1x)>g(0)0，得ln(1an)>.所以有an1>，進一步有<，則累加可得，故Tnn×.因此原命題成立14. (2018·寧波期末)已知數(shù)列an滿足an1a1a.(1)若a>1，求證：對任意正整數(shù)n(n>1)均有an2；(2)若a3，求證：4n1<a1a2a3a2n<4n3對任意nN*恒成立證明(1)當a>2時，根據(jù)g(x)2x2和f(x)在2，)上均為增函數(shù)，從而當an2時，必有an1f(an)f(2)2或an1g(an)g(2)2.當1<a<2時，由于f(x)在(1,2上為減函數(shù)，得a2>2.當a2時，a2a32，從而an2恒成立綜上所述，當a>1時，an2對所有滿足n>1的正整數(shù)n均成立(2)當a3時，一方面，由(1)知a2k1a2k>4(k2，kN)又a1a23>5，所以a1a2a2n>4n1.另一方面，a2k1a2ka2k1，且a2k12a2k2，令a2k12bk，則bk12，即bk1，且b11，b2.所以a2k1a2k.由bk1bk，且b2b1<0知bk為遞減數(shù)列，且bk>0，所以<1.從而a2k1a2k<bk4.又由11，所以b1b2bn<2，所以a1a2a2n<(b1b2bn)4n<34n.綜上，所證成立