（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案考情考向分析利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問(wèn)題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、不等式結(jié)合，證明不等式和求參數(shù)范圍問(wèn)題是熱點(diǎn)題型，中高檔難度熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力例1已知函數(shù)f(x)2xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：1ln 2f(x)<1.(1)解由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，令f(x)0，得x.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明由(1)知f(x)minf 1ln 2.所以1ln 2f(x)成立另一方面，要證f(x)<1成立只要證2ln x4x2>0，設(shè)函數(shù)g(x)2ln x4x2，則g(x)4.令t(x)e2x12x，x(0，)則t(x)2(e2x11)，由t(x)0得x，所以當(dāng)x時(shí)，t(x)<0，即t(x)為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，t(x)>0，即t(x)為增函數(shù)，所以t(x)t0.令g(x)0，得x，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，則g(x)ming22ln 2>0，即當(dāng)x(0，)時(shí)，2ln x4x2>0，綜上，1ln 2f(x)<1成立思維升華用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對(duì)x1，x2a，b，且x1<x2，則f(x1)<f(x2)對(duì)于減函數(shù)有類(lèi)似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)<0.跟蹤演練1(2018·紹興市柯橋區(qū)模擬)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)(xa)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：存在x0>0，使得f(x0)a1.(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?，)，f(x)(x>0)，若a0，f(x)>0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，)；若a>0，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明由(1)可知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)minf a，所以存在x0>0，使得f(x0)a1等價(jià)于aa1，設(shè)g(a)aa1(a>0)，則g(a)·1()，所以g(a)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增，所以g(a)ming(3)0，故g(a)0，所以aa1恒成立，因此存在x0>0，使得f(x0)a1.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想直觀(guān)求解例2設(shè)函數(shù)f(x)ex2aln(xa)，aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若a>0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若0<a<，試判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)函數(shù)f(x)在0，)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)ex0在0，)內(nèi)恒成立即aexx在0，)內(nèi)恒成立記g(x)exx，則g(x)ex1<0恒成立，g(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞減，g(x)g(0)1，a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)(2)0<a<，f(x)ex(x>a)，記h(x)f(x)，則h(x)ex>0，知f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增又f(0)1<0，f(1)e>0，f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)x0，即f(x0)0，于是，x0ln.當(dāng)a<x<x0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增f(x)minf(x0)2aln2ax0x0a3a23a，當(dāng)且僅當(dāng)x0a1時(shí)，取等號(hào)由0<a<，得23a>0，f(x)minf(x0)>0，即函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線(xiàn)yk的交點(diǎn)問(wèn)題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀(guān)察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì)跟蹤演練2(2018·全國(guó))已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.(1)證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)1等價(jià)于(x21)ex10.設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g(x)(x22x1)·ex(x1)2ex.當(dāng)x1時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減而g(0)0，故當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，即f(x)1.(2)解設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)()當(dāng)a0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；()當(dāng)a>0時(shí)，h(x)ax(x2)ex.當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)>0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值若h(2)>0，即a<，h(x)在(0，)上沒(méi)有零點(diǎn)若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)若h(2)<0，即a>，因?yàn)閔(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn)；由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2，所以h(4a)11>11>0，故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn)因此h(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a.真題體驗(yàn)(2018·浙江)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若f(x)在xx1，x2(x1x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)f(x2)>88ln 2；(2)若a34ln 2，證明：對(duì)于任意k>0，直線(xiàn)ykxa與曲線(xiàn)yf(x)有唯一公共點(diǎn)證明(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x).由f(x1)f(x2)得.因?yàn)閤1x2，所以.由基本不等式，得2.因?yàn)閤1x2，所以x1x2>256.由題意得f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln(x1x2)設(shè)g(x)ln x(x>0)，則g(x)(4)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)和g(x)的變化如下表所示：x(0,16)16(16，)g(x)0g(x)24ln 2所以g(x)在(256，)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)>g(256)88ln 2，即f(x1)f(x2)>88ln 2.(2)令me(|a|k)，n21，則f(m)kma>|a|kka0，f(n)kna<nn<0，所以存在x0(m，n)，使f(x0)kx0a，所以對(duì)于任意的aR及k(0，)，直線(xiàn)ykxa與曲線(xiàn)yf(x)有公共點(diǎn)由f(x)kxa，得k.設(shè)h(x)，則h(x)，其中g(shù)(x)ln x.由(1)可知g(x)g(16)，又a34ln 2，故g(x)1ag(16)1a34ln 2a0，所以h(x)0，即函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，因此方程f(x)kxa0有唯一一個(gè)實(shí)根綜上，當(dāng)a34ln 2時(shí)，對(duì)于任意k>0，直線(xiàn)ykxa與曲線(xiàn)yf(x)有唯一公共點(diǎn)押題預(yù)測(cè)設(shè)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)a<1時(shí)，在內(nèi)是否存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)>e1成立？押題依據(jù)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，本題的命制正是根據(jù)這個(gè)要求進(jìn)行的解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln x，f(x)1，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為f11.所求切線(xiàn)方程為y，即xyln 210.(2)存在理由如下：要證當(dāng)a<1時(shí)，在內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)>e1成立，則只需證明當(dāng)x時(shí)，f(x)max>e1即可f(x)1(x>0)，令f(x)0，得x11，x2a1，當(dāng)a<1時(shí)，a1<0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，e)時(shí)，f(x)>0.則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在1，e上單調(diào)遞增，f(x)maxmax.于是，只需證明f(e)>e1或f >e1即可，f(e)(e1)ea(e1)>0，f(e)>e1成立，假設(shè)正確，即當(dāng)a<1時(shí)，在x內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)>e1成立A組專(zhuān)題通關(guān)1設(shè)函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x0,1時(shí)，證明：f(x)2x2.(1)解函數(shù)f(x)的定義域是1,1，f(x)，當(dāng)f(x)>0時(shí)，解得1<x<0，當(dāng)f(x)<0時(shí)，解得0<x<1，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,0)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)f(1)，f(x)maxf(0)2，函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?(2)證明設(shè)h(x)x22，x0,1，h(0)0，h(x)xx，()·2，h(x)0.h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又h(0)0，h(x)h(0)0，f(x)2x2.2已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若函數(shù)f(x)在內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，對(duì)任意t(1，)，s(0,1)，求證：f(t)f(s)>e2.(1)解由定義域?yàn)?0,1)(1，)，f(x)，設(shè)h(x)x2(a2)x1，要使yf(x)在上有極值，則x2(a2)x10有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，(a2)24>0，a>0或a<4，且至少有一根在區(qū)間上，又x1·x21，只有一根在區(qū)間(e，)上，不妨設(shè)x2>e，0<x1<<e<x2，又h(0)1，只需h<0，即(a2)1<0，a>e2，聯(lián)立可得a>e2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)在(1，)上有最小值f(x2)，即t(1，)，都有f(t)f(x2)，又當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，f(x)在(0,1)上有最大值f(x1)，即對(duì)s(0,1)，都有f(s)f(x1)，又x1x22a，x1x21，x1，x2，f(t)f(s)f(x2)f(x1)ln x2ln x1lnln xx2，設(shè)k(x)ln x2x2ln xx(x>e)，則k(x)1>0(x>e)，k(x)在上單調(diào)遞增，k(x)>k(e)2e，f(t)f(s)>e2.3(2018·浙江省衢州二中模擬)已知函數(shù)f(x)aex(2e)x(a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)yf(x)在x0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)(3e)xy100平行，g(x)x24x1.(1)求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f(x)在0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)g(x)(1)解f(x)aex2e，f(0)a2e3e，a1，f(x)ex(2e)x，則f(x)ex2e.當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex2ee02e>0，f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(0)1>0，f(x)在0，)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)(2)證明當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)h(x)f(x)g(x)exx2(2e)x1，則h(x)ex2x2e(exe)2(x1)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0，h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，h(x)minh(1)e1(2e)10，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)0，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)g(x)4已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)exbx，a，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若函數(shù)yg(x)在R上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)在x處的切線(xiàn)方程為exy2b0.求證：對(duì)任意的x(0，)，總有f(x)>g(x)(1)解易得g(x)exbb.若b0，則g(x)(0，)，不合題意；若b<0，則g(0)1>0，g1<0，滿(mǎn)足題設(shè)，若b>0，令g(x)exb0，得xln b.g(x)在(，ln b)上單調(diào)遞減；在(ln b，)上單調(diào)遞增，則g(x)ming(ln b)eln bbln bbbln b0，be.綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(，0)e，)(2)證明易得f(x)，則由題意，得feae2e，解得a.f(x)ln x，從而f 1，即切點(diǎn)為.將切點(diǎn)坐標(biāo)代入exy2b0中，解得b0.g(x)ex.要證f(x)>g(x)，即證ln x>ex(x(0，)，只需證xln x>xex(x(0，)令u(x)xln x，v(x)xex，x(0，)則由u(x)ln x10，得x，u(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，u(x)minu.又由v(x)exxexex(1x)0，得x1，v(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，v(x)maxv(1).u(x)u(x)minv(x)maxv(x)，顯然，上式的等號(hào)不能同時(shí)取到故對(duì)任意的x(0，)，總有f(x)>g(x)5已知函數(shù)g(x)xln x，h(x)(a>0)(1)若g(x)<h(x)對(duì)x(1，)恒成立，求a的取值范圍；(2)證明：不等式··<對(duì)于正整數(shù)n恒成立，其中e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)解方法一記f(x)g(x)h(x)xln xx2，令(x)f(x)ln x1ax，則(x)a，當(dāng)a1時(shí)，x(1，)，(x)a<1a0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，又f(1)1a0，f(x)<0，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，此時(shí)，f(x)<f(1)0，即g(x)<h(x)，a1.當(dāng)0<a<1時(shí)，考慮x時(shí)，(x)a>aa0，f(x)在上單調(diào)遞增，又f(1)1a>0，f(x)>0，即f(x)在上單調(diào)遞増，f(x)>f(1)>0，不滿(mǎn)足題意綜上所述，a1，)方法二當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<h(x)等價(jià)于a>，令F(x)(x>1)，F(xiàn)(x)(x>1)，記m(x)x1xln x(x>1)，則m(x)ln x<0，m(x)在(1，)上單調(diào)遞減，m(x)<m(1)0，F(xiàn)(x)<0，即F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)<F(1)1，故a1，)(2)證明由(1)知取a1，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<h(x)恒成立，即xln x<恒成立，即ln x<恒成立，即ln(1x)<對(duì)于x(0，)恒成立，由此，ln<，kN*，于是lnlnlnln<·，故··<.B組能力提高6已知函數(shù)f(x)ex1，其中e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a>0.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F(x)f(x)，是否存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln a為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)f(x)ex，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)minf ，因?yàn)閒 <f(0)<0，f 1>0，所以存在x0，使f(x0)0，且當(dāng)0<x<x0時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>0.故函數(shù)f(x)在(0，)上有1個(gè)零點(diǎn)，即x0.(2)方法一當(dāng)a>1時(shí)，ln a>0.因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，exa<0；當(dāng)x時(shí)，exa>0.由(1)知，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.下面證：當(dāng)a時(shí)，ln a<x0，即證f<0.fa1aln aa1，記g(x)xln xx1，x(1，e)，g(x)ln x，x(1，e)，令h(x)g(x)，則h(x)>0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，由g(1)<0，g(e)1>0，所以存在唯一零點(diǎn)t0，使得g0，且x時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，x時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<max.由g(1)<0，g(e)<0，得當(dāng)x時(shí)，g(x)<0.故f<0,0<ln a<x0.當(dāng)0<x<ln a時(shí)，exa<0，f(x)<0，F(xiàn)(x)f(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)ln a<x<x0時(shí)，exa>0，f(x)<0，F(xiàn)(x)f(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減所以存在a(1,4)，使得ln a為F(x)的極大值點(diǎn)方法二因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，exa<0；當(dāng)x時(shí)，exa>0.由(1)知，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.所以存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln a為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)，即存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln a<x0成立，由(1)，問(wèn)題等價(jià)于存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得f<0成立，因?yàn)閒a1aln aa1，記g(x)xln xx1，x(1,4)，g(x)ln x，x(1,4)，設(shè)k(x)g(x)，因?yàn)閗(x)，當(dāng)x時(shí)，k(x)>0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，因?yàn)間ln<0，g(2)ln 2>0，所以存在唯一零點(diǎn)t0，使得g0，且當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)x時(shí)，g(x)mingt0ln t0t01，由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，當(dāng)t0時(shí)，gt01<<0，所以必存在x，使得g(x)<0，即對(duì)任意a，f<0有解，所以對(duì)任意a(1,4)，函數(shù)F(x)存在極大值點(diǎn)為ln a.7已知f(x)(x1)exax2.(1)當(dāng)ae時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)對(duì)x>1，求證：f(x)ax2x1ln(x1)(1)解當(dāng)ae時(shí)，f(x)x(exe)當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)，f(x)極小值f(0)1，無(wú)極大值(2)解f(x)x(exa)，()當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x1)ex，只有一個(gè)零點(diǎn)x1，()當(dāng)a>0時(shí)，exa>0，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)，f(x)極小值f(0)1，而f(1)>0，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x<0時(shí)，ex<1，(x1)ex>x1，f(x)(x1)exax2>x1ax2ax2x1，令g(x)ax2x1，x1是g(x)0的一個(gè)根，取x1<0，f(x1)>0，f(x1)·f(0)<0，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(x1,0)上存在一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)()當(dāng)a<0時(shí)，f(x)x(exa)，令f(x)0得x0或xln(a)，當(dāng)ln(a)>0，即a<1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(，0)0(0，ln(a)ln(a)(ln(a)，)f(x)00f(x)1f(x)極大值f(0)1，函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)ln(a)0，即a1時(shí)，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)ln(a)<0，即1<a<0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)f(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(，ln(a)ln(a)(ln(a)，0)0(0，)f(x)00f(x)1x<0，a<0時(shí)，f(x)(x1)exax2<0，f(0)1，函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意綜上，a的取值范圍是(0，)(3)證明令g(x)f(x)ln(x1)ax2x1，(x1)exln(x1)x1，x(1，)，g(x)xex1xexx，x(1，)令h(x)ex，x(1，)，h(x)ex>0，h(x)為(1，)上的增函數(shù)，h(2)e21>0，取x1e2，x1e2，h(1e2)e2<0，存在唯一的x0(1,2)使h(x0)0，即，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，h(x)<0，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)>0，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，g(x)ming(x0)(x01)ln(x01)x01(x01)×lnx011x0x010，對(duì)x>1，g(x)g(x0)0，即f(x)ax2x1ln(x1)