（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問(wèn)題講義 理（重點(diǎn)生，含解析）卷卷卷2018橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、證明問(wèn)題·T19直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、拋物線與圓的綜合問(wèn)題·T19直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的證明與平面向量綜合問(wèn)題·T202017橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題·T20軌跡問(wèn)題、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題·T20直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程、圓的方程·T202016軌跡問(wèn)題、定值問(wèn)題、面積的取值范圍問(wèn)題·T20直線與橢圓的位置關(guān)系、求三角形的面積、參數(shù)的取值范圍問(wèn)題·T20直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、證明問(wèn)題·T20縱向把握趨勢(shì)卷3年3考，難度較大，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題及證明問(wèn)題特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低這一變化，預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以橢圓為載體考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定點(diǎn)或定值問(wèn)題卷3年3考，難度偏大，涉及軌跡問(wèn)題、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、三角形面積、范圍問(wèn)題以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低這一變化，預(yù)計(jì)2019年會(huì)以橢圓為載體考查弦長(zhǎng)問(wèn)題及弦長(zhǎng)取值范圍問(wèn)題卷3年3考，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題及證明問(wèn)題預(yù)計(jì)2019年會(huì)將拋物線與圓綜合考查，考查直線與圓或拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用問(wèn)題橫向把握重點(diǎn)解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)板塊，是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)之一，在解答題中一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)解答題的熱點(diǎn)題型有：(1)直線與圓錐曲線位置關(guān)系；(2)圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值及范圍的求解；(3)軌跡方程及探索性問(wèn)題的求解.求什么想什么求拋物線C的方程，想到求p的值給什么用什么給出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與p的關(guān)系求p求什么想什么求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)，想到直線AB的方程給什么用什么題目條件中給出“A，B是拋物線C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)”以及“直線OA，OB的斜率之積為”，可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也可設(shè)直線AB的方程差什么找什么要求直線AB的方程，還需要知道直線AB的斜率是否存在，可分類討論解決當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立消去x，化簡(jiǎn)得ky24y4b0.所以yAyB，因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為，所以·，整理得xAxB2yAyB0.即·2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線AB過(guò)定點(diǎn)(8,0)題后悟通思路受阻分析不能正確應(yīng)用條件“直線OA，OB的斜率之積為”是造成不能解決本題的關(guān)鍵技法關(guān)鍵點(diǎn)撥定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)及求解步驟解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí)，這些直線或圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)這類問(wèn)題的求解一般可分為以下三步：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·成都一診)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(，0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)由題意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)>0，x1x2，x1x2.點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，·0.則·(x1，kx1m1)·(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意故直線l過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.題型·策略(二)(2018·沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓1上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 .(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)過(guò)F(1,0)的直線l1與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F(1,0)作與l1垂直的直線l2與點(diǎn)P的軌跡交于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求點(diǎn)P的軌跡E的方程，想到建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的關(guān)系式給什么用什么題目條件中給出 ，利用此條件建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式差什么找什么要求點(diǎn)P的軌跡方程，還缺少點(diǎn)P，M，N的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0第(2)問(wèn)求什么想什么要證明為定值，想到利用合適的參數(shù)表示|AB|和|CD|給什么用什么題目條件給出過(guò)F(1,0)互相垂直的兩條直線分別與軌跡E分別交于A，B和C，D兩點(diǎn)，用弦長(zhǎng)公式可求|AB|和|CD|差什么找什么要求|AB|和|CD|，還缺少直線l1和l2的方程，可設(shè)出直線斜率，利用點(diǎn)斜式表示直線方程但要注意直線斜率不存在的情況規(guī)范解答(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x,0) ，(0，y)(x0x，y0)，x0x，y0.又點(diǎn)M在橢圓上，1，即1.點(diǎn)P的軌跡E的方程為1.(2)證明：由(1)知F為橢圓1的右焦點(diǎn)，當(dāng)直線l1與x軸重合時(shí)，|AB|6，|CD|，.當(dāng)直線l1與x軸垂直時(shí)，|AB|，|CD|6，.當(dāng)直線l1與x軸不垂直也不重合時(shí)，可設(shè)直線l1的方程為yk(x1)(k0)，則直線l2的方程為y(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(89k2)x218k2x9k2720，則(18k2)24(89k2)(9k272)2 304(k21)>0，x1x2，x1x2，|AB| ·.同理可得|CD|.綜上可得為定值題后悟通思路受阻分析在解決本題第(1)問(wèn)時(shí)，不能正確應(yīng)用 求得點(diǎn)P的軌跡E的方程，導(dǎo)致第(2)問(wèn)也無(wú)法求解，是解決本題易發(fā)生的錯(cuò)誤之一；在解決第(2)問(wèn)時(shí)，忽視直線斜率的不存在性或不能正確求解|AB|，|CD|都是常見(jiàn)解題失誤的原因.技法關(guān)鍵點(diǎn)撥定值問(wèn)題實(shí)質(zhì)及求解步驟定值問(wèn)題一般是指在求解解析幾何問(wèn)題的過(guò)程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無(wú)關(guān)的問(wèn)題其求解步驟一般為：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2，0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：BDE與BDN的面積之比為定值，并求出該定值解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得解得所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：法一：設(shè)D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2<x0<2，所以kAM，因?yàn)锳MDE，所以kDE，所以直線DE的方程為y(xx0)因?yàn)閗BN，所以直線BN的方程為y(x2)由解得E，所以.故BDE與BDN的面積之比為定值.法二：設(shè)M(2cos ，sin )(k，kZ)，則D(2cos ，0)，N(2cos ，sin )，設(shè)，則(22cos ，0)(2cos 2，sin )(22cos 2cos 2，sin )又(2cos 2，sin )，由，得·0，從而(22cos )(2cos 2)(2cos 2)sin20，整理得4sin24sin2sin20，即5sin24sin2.所以，所以.故BDE與BDN的面積之比為定值.考法二圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題題型·策略(一)欲求變量的取值范圍，可設(shè)法構(gòu)造含有變量的不等式(組)，通過(guò)解不等式(組)來(lái)達(dá)到目的已知A是橢圓E：1(t>3)的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求AMN的面積，想到三角形的面積公式S×底×高或Sabsin C給什么用什么題目條件中給出“MANA，|AM|AN|”，得AMN為等腰直角三角形，故可利用面積S|AM|AN|求解差什么找什么到此就缺少|(zhì)AM|，|AN|的值，由于A點(diǎn)已知，故想法求M，N的坐標(biāo)第(2)問(wèn)求什么想什么求k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式給什么用什么題目條件中給出2|AM|AN|，可利用此條件建立t與k的關(guān)系式差什么找什么缺少關(guān)于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式規(guī)范解答(1)由|AM|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，由MANA，可得直線AM的斜率k為1.因?yàn)閠4，所以A(2,0)，所以直線AM的方程為yx2，代入橢圓方程1，可得7x216x40，解得x2或x，所以M，N，則AMN的面積為××.(2)由題意知t>3，k>0，A(，0)，將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0，設(shè)M(x1，y1)，則x1·()，即x1，故|AM|x1|.由題設(shè)知，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.由t>3，得>3，所以<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2)題后悟通思路受阻分析解決本題第(2)問(wèn)時(shí)，通過(guò)已知條件2|AM|AN|得到參數(shù)k與參數(shù)t之間的關(guān)系，往往會(huì)忽視題目中的已知條件t>3，不能建立關(guān)于k的不等式，從而導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法求解.技法關(guān)鍵點(diǎn)撥利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問(wèn)題.設(shè)橢圓1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知|OA|OF|1，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率(1)求橢圓的方程及離心率e的值；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率e的值，想到利用a，b，c的關(guān)系求參數(shù)a及離心率e的值給什么用什么題目條件中給出|OA|OF|1，則ac1差什么找什么還缺少一個(gè)關(guān)于a和c的關(guān)系式，可利用a2b2c2第(2)問(wèn)求什么想什么求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于斜率k的不等式給什么用什么由題目條件垂直于直線l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，利用k·kMH1，建立關(guān)于k的兩條直線方程，由題目條件MOAMAO，利用三角形的大角對(duì)大邊，建立關(guān)于xM的不等式，利用題目條件BFHF，即·0建立關(guān)系式差什么找什么還缺少關(guān)于k的不等式，應(yīng)找到xM與k的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于k的不等式規(guī)范解答(1)由題意可知|OF|c，又|OA|OF|1，所以a1，解得a2，所以橢圓的方程為1，離心率e.(2)設(shè)M(xM，yM)，易知A(2,0)，在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化簡(jiǎn)得xM1.設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2)設(shè)B(xB，yB)，聯(lián)立消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由題意得xB，從而yB.由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0，yH)，則(1，yH)，.由BFHF，得·0，即0，解得yH，所以直線MH的方程為yx.由消去y，得xM.由xM1，得1，解得k或k，所以直線l的斜率的取值范圍為.題后悟通思路受阻分析不能將條件中的幾何信息MOAMAO準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式xM1，并將其用直線l的斜率表示出來(lái)，得到目標(biāo)不等式，是不能正確求解此題的常見(jiàn)原因.技法關(guān)鍵點(diǎn)撥利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而構(gòu)建出目標(biāo)不等式.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓C的方程，想到求橢圓的長(zhǎng)半軸a和短半軸b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓焦點(diǎn)的位置，以及橢圓上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和及離心率，用橢圓的定義和離心率公式即可求a，b的值第(2)問(wèn)求什么想什么求m的取值范圍，想到建立關(guān)于m的不等式給什么用什么題目條件給出線段MN恰被直線x平分，弦MN的垂直平分線方程為ykxm，用ykxm是弦MN的中垂線及MN的中點(diǎn)在直線x上，可設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)P，建立y0與m的關(guān)系，通過(guò)y0范圍求m范圍或建立m與k的關(guān)系式差什么找什么還缺少建立不等式的條件，注意到MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部及直線x上，其隱含條件為線段MN的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍可確定或聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用判別式>0求解規(guī)范解答(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由條件可得a2，c，則b1.故橢圓C的方程為x21.(2)法一：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知4xy4,4xy4，兩式相減，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，將xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得k.又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，所以y0km，所以my0ky0.由點(diǎn)P在線段BB上B(xB，yB)，B(xB，yB)為直線x與橢圓的交點(diǎn)，如圖所示，所以yB<y0<yB，即<y0<.所以<m<，且m0.故m的取值范圍為.法二：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知4xy4，4xy4，兩式相減，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，將xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得y02k.又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，所以y0km，所以my0kk.設(shè)直線l的方程為y2k，即xky2k2，聯(lián)立消去x，得(4k21)y28k2k2y16k48k230，由>0，得k，所以mk，即m的取值范圍為.題后悟通思路受阻分析利用點(diǎn)差法求解第(2)問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法得到目標(biāo)參數(shù)m與y0的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系得到y(tǒng)0的取值范圍，從而求得目標(biāo)參數(shù)m的取值范圍很多同學(xué)在解決本題時(shí)往往出現(xiàn)如下失誤：(1)忽視y0的取值范圍而造成思路受阻無(wú)法正確求解(2)利用判別式法求解此題時(shí)，抓住直線與圓錐曲線相交這一條件，利用判別式>0構(gòu)建m與k的關(guān)系式，從而得所求，但部分考生忽視>0，導(dǎo)致思路受阻而無(wú)法求解技法關(guān)鍵點(diǎn)撥(1)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住目標(biāo)參數(shù)和某點(diǎn)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式(2)利用判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判別式的關(guān)系建立目標(biāo)不等式對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4.直線l：ykxm與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)若3，求m2的取值范圍解：(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，焦距為2c，由已知得，ca，b2a2c2.以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4，42a4，a2，b1.橢圓E的方程為x21.(2)根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由消去y，得(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)>0，即k2m24>0，且x1x2，x1x2.由3，得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.當(dāng)m21時(shí)，m2k2m2k240不成立，k2.k2m24>0，m24>0，即>0.解得1<m2<4.m2的取值范圍為(1,4)2(2018·昆明調(diào)研)已知直線l1：axy10，直線l2：x5ay5a0，直線l1與l2的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)當(dāng)a變化時(shí)，求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)D(2,0)，過(guò)點(diǎn)E(2,0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，求ABD面積的最大值解：(1)由消去a，得曲線C的方程為y21(y1，即點(diǎn)(0，1)不在曲線C上)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由得(m25)y24my10，則y1y2，y1y2，故ABD的面積S2|y2y1|22，設(shè)t，t1，)，則S，當(dāng)t，即t2，m±時(shí)，ABD的面積取得最大值.題型·策略(二)若題目中的條件和要求的結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建函數(shù)模型求最值，一般情況下，可以構(gòu)建二次型函數(shù)、雙曲線型函數(shù)、多項(xiàng)式型函數(shù)等(2018·合肥一檢)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2.以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求F2MN面積的最大值破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，想到求橢圓長(zhǎng)半軸a和短半軸b的值給什么用什么題目條件給出圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2，易知bc，又橢圓過(guò)點(diǎn)，從而可求出a，b的值第(2)問(wèn)求什么想什么求F2MN面積的最大值，想到面積公式給什么用什么題干中給出直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)，可設(shè)出直線l的方程，利用弦長(zhǎng)公式求|MN|，利用點(diǎn)到直線的距離求d，從而可求F2MN的面積差什么找什么要求F2MN面積的最值，需建立相關(guān)函數(shù)模型求解規(guī)范解答(1)由已知可得，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，焦距為2c，則bc，a2b2c22b2，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.又橢圓E過(guò)點(diǎn)，1，解得b21.橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由于點(diǎn)(2,0)在橢圓E外，直線l的斜率存在設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：yk(x2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220.由>0，得0k2<，從而x1x2，x1x2，|MN| |x1x2|2·.點(diǎn)F2(1,0)到直線l的距離d，F(xiàn)2MN的面積S|MN|·d3.令12k2t，則t1,2)，S3333，當(dāng)，即t時(shí)，S有最大值，Smax，此時(shí)k±.當(dāng)直線l的斜率為±時(shí)，可使F2MN的面積最大，其最大值為.題后悟通(一)思路受阻分析解決本例(2)的關(guān)鍵是建立F2MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式，然后通過(guò)換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解，而很多同學(xué)因不會(huì)構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無(wú)法繼續(xù)求解(二)技法關(guān)鍵點(diǎn)撥求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法幾何法若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)求解代數(shù)法若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值、范圍常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2019屆高三·武漢調(diào)研)已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B.如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍解：(1)由題意，知解得所以橢圓C的方程為y21.(2)易知直線l的斜率存在且不為零設(shè)直線l的方程為ykxm，代入橢圓方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0.由(4km)28(12k2)(m21)>0，得2k2>m21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因?yàn)镕1(1,0)，所以kAF1，kBF1.由題可得2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0.因?yàn)橹本€l：ykxm不過(guò)焦點(diǎn)F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，從而20，即mk.由得2k2>21，化簡(jiǎn)得|k|>.焦點(diǎn)F2(1,0)到直線l：ykxm的距離d，令t，由|k|>知t(1，)于是d，因?yàn)楹瘮?shù)f (t)在1，上單調(diào)遞減，所以f ()<d<f (1)，解得<d<2，所以焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍是(，2)4(2019屆高三·合肥調(diào)研)已知M為橢圓C：1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)P滿足 .(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍解：(1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y0.由，得(mx，y)(0，n)，則有又M(m，n)為橢圓C：1上的點(diǎn)，1，即x2y225，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2y225(y0)(2)依題意知A(5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)Q(x0，y0)，線段AB為圓E的直徑，APBP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kQFkPBkQFkQB·，點(diǎn)P不同于A，B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在，5<x0<5且x04，又y在(5，4)和(4,5)上都是減函數(shù)，(，0)，故的取值范圍是(，0).考法三圓錐曲線中的存在性問(wèn)題題型·策略(一)點(diǎn)、線的存在性問(wèn)題已知圓C：(x1)2y2，一動(dòng)圓與直線x相切且與圓C外切(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(6,0)的直線l與曲線T交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N，試問(wèn)是否存在直線l，使得NANB，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程，想到建立點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式給什么用什么題目中給出動(dòng)圓與直線x相切，與圓C外切，想到用直線與圓相切以及兩圓外切的條件建立x，y的關(guān)系式第(2)問(wèn)求什么想什么判斷是否存在直線l，使NANB，想到·0給什么用什么題目中給出直線l過(guò)點(diǎn)Q (6,0)與曲線交于點(diǎn)A，B，過(guò)A，B的中點(diǎn)M作x軸的平行線交曲線T于點(diǎn)N，聯(lián)立直線l與曲線T，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解差什么找什么缺少直線l的方程，應(yīng)先假設(shè)存在，并設(shè)出直線l的方程求解要注意討論斜率是否存在規(guī)范解答(1)設(shè)P(x，y)，分析可知?jiǎng)訄A的圓心不能在y軸的左側(cè)，故x0，因?yàn)閯?dòng)圓與直線x相切，且與圓C外切，所以|PC|，所以|PC|x1，所以 x1，化簡(jiǎn)可得y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，顯然不符合題意，故可設(shè)直線l的方程為xmy6，聯(lián)立消去x，可得y24my240，顯然16m296>0，則所以x1x2(my16)(my26)4m212，因?yàn)閤1x2·，所以x1x236，假設(shè)存在N(x0，y0)，使得·0，由題意可知y0，所以y02m，由N點(diǎn)在拋物線上可知x0，即x0m2，又(x1x0，y1y0)，(x2x0，y2y0)，若·0，則x1x2x0(x1x2)xy1y2y0(y1y2)y0，由代入上式化簡(jiǎn)可得：3m416m2120，即(m26)(3m22)0，所以m2，故m±，所以存在直線3xy180或3xy180，使得NANB.題后悟通思路受阻分析本題(2)中條件的關(guān)系較多且層層遞進(jìn)又相互關(guān)聯(lián)先是過(guò)定點(diǎn)的直線l與曲線T相交于A，B，再是過(guò)A，B中點(diǎn)與x軸平行的直線交曲線T于點(diǎn)N，再是NANB，能否合理轉(zhuǎn)化這些條件及條件中的關(guān)系是正確解決此題的關(guān)鍵常因不會(huì)轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化過(guò)程中計(jì)算失誤導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)解題或解題失誤技法關(guān)鍵點(diǎn)撥存在性問(wèn)題的求解方法(1)解決存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化一般步驟：假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點(diǎn))等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；若方程(組)有實(shí)數(shù)解，則曲線(或直線、點(diǎn)等)存在，否則不存在(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法題型·策略(二)含字母參數(shù)的存在性問(wèn)題如圖，橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓C的方程，想到求a，b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓過(guò)點(diǎn)P，離心率e.將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得a，b的關(guān)系式；用離心率公式可得a，c的關(guān)系式，另外，還有a2b2c2，即可求得a，b的值第(2)問(wèn)求什么想什么判斷是否存在常數(shù)，使k1k2k3成立想到k1k2k3是否有解給什么用什么題目條件中給出直線AB過(guò)右焦點(diǎn)F，且與橢圓及直線l分別交于點(diǎn)A，B，M，直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，想到用斜率公式表示k1，k2，k3差什么找什么需要A，B，M的坐標(biāo)，可設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，通過(guò)建立直線AB與橢圓方程的方程組求得各坐標(biāo)的關(guān)系規(guī)范解答(1)由題意得解得故橢圓C的方程為1.(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)，代入橢圓方程，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，則x1x2，x1x2，在方程中令x4，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3k)從而k1，k2，k3k.因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以kkAFkBF，即k，所以k1k22k·，將代入得，k1k22k·2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意題后悟通思路受阻分析不會(huì)利用A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線建立各個(gè)坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，從而不能將k1k2進(jìn)行化簡(jiǎn)是導(dǎo)致解題受阻、不能正確求解的主要原因技法關(guān)鍵點(diǎn)撥字母參數(shù)值存在性問(wèn)題的求解方法求解字母參數(shù)值的存在性問(wèn)題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019屆高三·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)lx軸時(shí)，|RS|3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b×(2a2c)×，所以.將xc代入1，得y±，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)聯(lián)立消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，由根與系數(shù)的關(guān)系得，其中>0恒成立，由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱，得kTSkTR0(顯然TS，TR的斜率存在)，即0.因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0.將代入得0，則t4，綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱高考大題通法點(diǎn)撥圓錐曲線問(wèn)題重在“設(shè)”設(shè)點(diǎn)、設(shè)線思維流程策略指導(dǎo) 圓錐曲線解答題的常見(jiàn)類型是：第1小題通常是根據(jù)已知條件，求曲線方程或離心率，一般比較簡(jiǎn)單第2小題往往是通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、相關(guān)量的取值范圍問(wèn)題等等，這一小題綜合性較強(qiáng)，可通過(guò)巧設(shè)“點(diǎn)”“線”，設(shè)而不求在具體求解時(shí)，可將整個(gè)解題過(guò)程分成程序化的三步：第一步，聯(lián)立兩個(gè)方程，并將消元所得方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出；第二步，用兩個(gè)交點(diǎn)的同一類坐標(biāo)的和與積，來(lái)表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；第三步，求解轉(zhuǎn)化而來(lái)的代數(shù)問(wèn)題，并將結(jié)果回歸到原幾何問(wèn)題中在求解時(shí)，要根據(jù)題目特征，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)、設(shè)線，以簡(jiǎn)化運(yùn)算已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過(guò)橢圓C1：1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2y2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，想到求a和b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)以及橢圓上的一點(diǎn)P，將點(diǎn)P代入橢圓方程中，再結(jié)合c2a2b2即可求解第(2)問(wèn)求什么想什么求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式給什么用什么題目條件中給出直線l過(guò)定點(diǎn)(0,2)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B且AOB為銳角，可用k表示出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程由于直線與橢圓相交，故判別式>0，由于AOB為銳角，故·>0，從而得出關(guān)于k的不等式第(3)問(wèn)求什么想什么證明：為定值，想到尋找合適的參數(shù)表示m和n或求出m和n的值給什么用什么題目條件中給出M，N是過(guò)橢圓C1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P作圓O的切線所得切點(diǎn)以及m，n為直線MN在x軸、y軸上的截距用P，M，N的坐標(biāo)表示出切線PM，PN的方程以及直線MN的方程，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出m和n差什么找什么需求出m，n，可利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示m，n.然后借助點(diǎn)P在橢圓C1上求得定值證明問(wèn)題規(guī)范解答(1)由題意得c1，所以a2b21.又點(diǎn)P在橢圓C上，所以1.由可解得a24，b23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因?yàn)?6(12k23)>0，所以k2>，則x1x2，x1x2.因?yàn)锳OB為銳角，所以·>0，即x1x2y1y2>0，所以x1x2(kx12)(kx22)>0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)4>0，即(1k2)·2k·4>0，解得k2<.又k2>，所以<k2<，解得<k<或<k<.故直線l的斜率k的取值范圍為.(3)證明：由(1)知橢圓C1的方程為1，設(shè)P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因?yàn)镸，N不在坐標(biāo)軸上，所以kPM，直線PM的方程為yy3(xx3)，化簡(jiǎn)得x3xy3y.同理可得直線PN的方程為x4xy4y.把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得所以直線MN的方程為x0xy0y.令y0，得m，令x0，得n，所以x0，y0，又點(diǎn)P在橢圓C1上，所以2324，即，為定值關(guān)鍵點(diǎn)撥解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的步驟(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零)；(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018·全國(guó)卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以直線AM的方程為yx或yx，即xy20或xy20.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB成立總結(jié)升華解析幾何部分知識(shí)點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，綜合性強(qiáng)，在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn)，是考生“未考先怕”題型，不是怕解題無(wú)思路，而是怕解題過(guò)程中繁雜的運(yùn)算因此，在遵循“設(shè)列解”程序化運(yùn)算的基礎(chǔ)上，應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性，以克服平時(shí)重思路方法、輕運(yùn)算技巧的頑疾，突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P195)1(2018·武漢調(diào)研)已知拋物線C：x22py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程解：設(shè)直線AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x22pkx2p0，則x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，則A，B處的切線斜率的乘積為，點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，ANBN，1，p2.(2)易得直線AN：yy1(xx1)，直線BN：yy2(xx2)，聯(lián)立結(jié)合式，解得即N(pk，1)所以|AB|x2x1|··，點(diǎn)N到直線AB的距離d，則SABN·|AB|·d2，當(dāng)k0時(shí)，取等號(hào)，ABN的面積的最小值為4，24，p2，故拋物線C的方程為x24y.2(2019屆高三·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m，n，m·n0.(1)求證：k1·k2；(2)試探求POQ的面積S是否為定值，并說(shuō)明理由解：(1)證明：k1，k2存在，x1x20，m·n0，y1y20，k1·k2.(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時(shí)，由，得y0，又由P(x1，y1)在橢圓上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|·|y1y2|1.當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)>0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，滿足>0.SPOQ·|PQ|b|2|b|·1.POQ的面積S為定值3.(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O為AB的中點(diǎn)，P，Q分別是AD和CD上的點(diǎn)，且滿足，直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E：1(a>b>0)上(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn)，M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn)，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值解：(1)設(shè)AQ與BP的交點(diǎn)為G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由題可知，.kAGkAQ，kBGkBP，從而有，整理得y21，即橢圓E的方程為y21.(2)由(1)知R(2,0)，設(shè)M(x0，y0)，則y0，從而梯形ORMN的面積S(2x0)y0，令t2x0，則2<t<4，S.令u4t3t4，則u12t24t34t2(3t)，當(dāng)t(2,3)時(shí)，u>0，u4t3t4單調(diào)遞增，當(dāng)t(3,4)時(shí)，u<0，u4t3t4單調(diào)遞減，所以當(dāng)t3時(shí)，u取得最大值，則S也取得最大值，最大值為.4已知拋物線E：y22px(p>0)，直線xmy3與E交于A，B兩點(diǎn)，且·6，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：2m2為定值解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x，整理得y22pmy6p0，則y1y22pm，y1y26p，x1x29，由·x1x2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)證明：由題意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m212m·36·.由(1)可知：y1y22pmm，y1y26p3，所以2m212m·36·24，所以2m2為定值5(2018·惠州調(diào)研)已知C為圓(x1)2y28的圓心，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M，滿足·0，2.(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)若斜率為k的直線l與圓x2y21相切，與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且·，求k的取值范圍解：(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2>|CA|2，所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，所以a，c1，b1，故點(diǎn)Q的軌跡方程是y21.(2)設(shè)直線l：ykxt，F(xiàn)(x1，y1)，H(x2，y2)，直線l與圓x2y21相切1t2k21.聯(lián)立(12k2)x24ktx2t220，則16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k2>0k0，x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范圍是.6.如圖所示，設(shè)橢圓M：1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，中心為O，若橢圓M過(guò)點(diǎn)P，且APOP.(1)求橢圓M的方程；(2)若APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求APQ面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點(diǎn)，且k1k21，求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)解：(1)由APOP，可知kAP·kOP1.又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，所以·1，解得a1.又因?yàn)闄E圓M過(guò)點(diǎn)P，所以1，解得b2，所以橢圓M的方程為x21.(2)由題意易求直線AP的方程為，即xy10.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓M上，故可設(shè)Q，又|AP|，所以SAPQ××× cos1 .當(dāng)2k(kZ)，即2k(kZ)時(shí)，SAPQ取得最大值.(3)證明：法一：由題意易得，直線AD的方程為yk1(x1)，代入x23y21，消去y，得(3k1)x26kx3k10.設(shè)D(xD，yD)，則(1)·xD，即xD，yDk1.設(shè)E(xE，yE)，同理可得xE，yE.又k1k21且k1k2，可得k2且k1±1，所以xE，yE，所以kDE，故直線DE的方程為y.令y0，可得x2.故直線DE過(guò)定點(diǎn)(2,0)法二：設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)若直線DE垂直于y軸，則xExD，yEyD，此時(shí)k1k2·與題設(shè)矛盾，若DE不垂直于y軸，可設(shè)直線DE的方程為xtys，將其代入x23y21，消去x，得(t23)y22tsys210，則yDyE，yDyE.又k1k2·1，可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20，所以(t21)·t(s1)·(s1)20，可得s2或s1.又DE不過(guò)點(diǎn)A，即s1，所以s2.所以DE的方程為xty2.故直線DE過(guò)定點(diǎn)(2,0)7(2018·南昌模擬)如圖，已知直線l：ykx1(k>0)關(guān)于直線yx1對(duì)稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：y21分別交于點(diǎn)A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1. (1)求k·k1的值；(2)當(dāng)k變化時(shí)，試問(wèn)直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線yx1對(duì)稱的點(diǎn)為P0