（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例9 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題學(xué)案典例9(15分)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍審題路線圖(1)(2) 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板(1)證明f(x)m(emx1)2x.1分若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)>0.若m<0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx1>0，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx1<0，f(x)>0.4分所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.6分(2)解由(1)知，對任意的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是8分即設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.10分當(dāng)t<0時(shí)，g(t)<0；當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0.故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增又g(1)0，g(1)e12e<0，故當(dāng)t1,1時(shí)，g(t)0.當(dāng)m1,1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立；12分當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，得g(m)>0，即emm>e1；當(dāng)m<1時(shí)，g(m)>0，即emm>e1.14分綜上，m的取值范圍是1,1.15分第一步求導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f(x)第二步定區(qū)間：根據(jù)f(x)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性第三步尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題第四步寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立.第五步再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點(diǎn)的探求是否合理等.評分細(xì)則(1)求出導(dǎo)數(shù)給1分；(2)討論時(shí)漏掉m0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分；(3)確定f(x)符號(hào)時(shí)只有結(jié)論無中間過程扣1分；(4)寫出f(x)在x0處取得最小值給1分；(5)無最后結(jié)論扣1分；(6)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分跟蹤演練9(2018·全國)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：<a2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a>2，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)0<x1<x2，則x2>1.由于1a2a2a，所以<a2等價(jià)于x22ln x2<0.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.所以x22ln x2<0，即<a2.