江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題二 立體幾何 第2講 立體幾何的綜合問題學案考情考向分析江蘇高考對空間幾何體體積的計算是高頻考點，一般考查幾何體的體積或體積之間的關系對翻折問題和探索性問題考查較少，但是復習時仍要關注熱點一空間幾何體的計算例1(1)(2018·江蘇揚州中學模擬)已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC的中點，則三棱錐AB1DC1的體積為_答案1解析如圖，××AD××2××1.(2)已知圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，那么這個圓錐的高為_答案2解析設圓錐底面半徑為r，則2r×3，r1，圓錐的高為2.思維升華(1)涉及柱、錐及其簡單組合的計算問題，要在正確理解概念的基礎上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，再分析幾何體的結構特征，從而進行解題(2)求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上跟蹤演練1(1)(2018·江蘇鹽城中學模擬)已知圓柱的底面半徑為1，母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為_答案6解析S圓柱2×122×1×26.(2)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，則三棱錐AB1D1D的體積為_ cm3.答案3解析方法一長方體ABCDA1B1C1D1中的底面ABCD是正方形連結AC交BD于O，則ACBD，又D1DAC，BDD1DD，BD，D1D平面B1D1D，所以AC平面B1D1D，AO為A到平面B1D1D的垂線段，AOAC.又D1D×D1B1×2×33，所以所求的體積V××33 cm3.方法二×A1B1××3××3×23 cm3.熱點二空間圖形的翻折問題例2(2018·江蘇泰州中學調研)一副直角三角板按下面左圖拼接，將BCD折起，得到三棱錐ABCD(下面右圖)(1)若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，求證：EF平面ACD；(2)若平面ABC平面BCD，求證：平面ABD平面ACD.證明(1)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，EFAC，又EF平面ACD，AC平面ACD，EF平面ACD.(2)平面ABC平面BCD，BCDC，平面ABC平面BCDBC，CD平面BCD，DC平面ABC，又AB平面ABC，DCAB，又ABAC，ACCDC，AC平面ACD，CD平面ACD，AB平面ACD，又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.思維升華平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質是解決問題的關鍵一般地，在翻折后還在一個平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法跟蹤演練2如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，ADAE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐ABCF，其中BC.(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF平面ABF.證明(1)如圖1，在等邊三角形ABC中，ABAC.因為ADAE，所以，所以DEBC，所以DGBF.如圖2，DG平面BCF，BF平面BCF，所以DG平面BCF.同理可證GE平面BCF.因為DGGEG，DG，GE平面DEG，所以平面DEG平面BCF，又因為DE平面DEG，所以DE平面BCF.(2)證明如圖1，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AFFC，所以BFFCBC.在圖2中，因為BC，所以BC2BF2FC2，所以BFC90°，所以FCBF，又AFFC，因為BFAFF，BF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.熱點三探索性問題例3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(1)證明：平面ADC1B1平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結論(1)證明因為ABCDA1B1C1D1為正方體，所以B1C1平面ABB1A1.因為A1B平面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因為A1BAB1，B1C1AB1B1，AB1，B1C1平面ADC1B1，所以A1B平面ADC1B1.因為A1B平面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.(2)解當點F為C1D1的中點時，可使B1F平面A1BE.證明如下：設A1BAB1O，連結EO，EF，B1F.易知EFC1D，且EFC1D，B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形所以B1FOE.又因為B1F平面A1BE，OE平面A1BE.所以B1F平面A1BE.思維升華探索性問題，一般把要探索的結論作為條件，然后根據(jù)條件和假設進行推理論證跟蹤演練3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱BC上一點(1)若ABAC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1平面BCC1B1；(2)若A1B平面ADC1，求的值(1)證明因為ABAC，點D為BC的中點，所以ADBC.因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1平面ABC.因為AD平面ABC，所以BB1AD.因為BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1.因為AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1.(2)解連結A1C，交AC1于點O，連結OD，所以O為A1C的中點因為A1B平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD.因為O為A1C的中點，所以D為BC的中點，所以1.1(2018·江蘇)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為_答案解析由題意知所給的幾何體是棱長均為的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐2××()2×1.2.(2017·江蘇)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_答案解析設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R，又V1R2·2R2R3，V2R3，所以.3(2018·江蘇南京師大附中模擬)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上任意一點，則三棱錐DA1BC的體積是_答案解析××.4(2018·全國)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC為折痕將ACM折起，使點M到達點D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQDA，求三棱錐QABP的體積(1)證明由已知可得，BAC90°，即BAAC.又BAAD，ACADA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過點Q作QEAC，垂足為E，則QEDC且QEDC.由(1)知平面ACD平面ABC，又平面ACD平面ABCAC，CDAC，CD平面ACD，所以DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積VQABP×SABP×QE××3×2sin 45°×11.5.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知AD4，BD4，AB2CD8.(1)設M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD；(2)當M點位于線段PC什么位置時，PA平面MBD?(1)證明在ABD中，AD4，BD4，AB8，AD2BD2AB2，ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)解當CMCP時，PA平面MBD.證明如下：連結AC，交BD于點N，連結MN.ABDC，ABCD，四邊形ABCD是梯形AB2CD，CNNA12.又CMMP12，CNNACMMP，PAMN.MN平面MBD，PA平面MBD.A組專題通關1已知一個圓錐的底面積為2，側面積為4，則該圓錐的體積為_答案解析設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則r22，rl4，解得r，l2，故高h，所以Vr2h×2×.2(2018·江蘇興化一中模擬)在三棱錐SABC中，直線SA平面ABC，SA1，ABC的面積為3，若點G為ABC的重心，則三棱錐SAGB的體積為_答案解析VSAGBVSABC××3×1.3已知圓臺的母線長為4 cm，母線與軸的夾角為30°，上底面半徑是下底面半徑的，則這個圓臺的側面積是_ cm2.答案24解析如圖是將圓臺還原為圓錐后的軸截面，由題意知AC4 cm，ASO30°，O1COA，設O1Cr，則OA2r，又sin 30°，SC2r，SA4r，ACSASC2r4 cm，r2 cm.圓臺的側面積為S(r2r)×424(cm2)4三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.答案解析V1VDABEVEABDVEABPVABEP×VABCP×VPABCV2.5.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，四邊形ABCD為梯形，ADBC，且AD3BC，過A1，C，D三點的平面記為，BB1與平面的交點為Q，則的值為_答案2解析設A1QDCP，則點PAB，因為ADBC，且AD3BC，所以，又BB1AA1，BB1AA1，所以，從而BB13BQ，即2.6(2018·南京金陵中學模擬)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為36，則這個球的體積為_答案9解析正方體的棱長為，設球的半徑為R，則2R×，R，V球×39.7已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點，沿AE，EF，AF折成一個四面體，使B，C，D三點重合，則這個四面體的體積為_答案解析以AE，EF，AF為折痕，折疊這個正方形，使點B，C，D重合于一點P，得到一個四面體，如圖所示在折疊過程中，始終有ABBE，ADDF，即APPE，APPF，且PEPFP，PE，PF平面PEF，AP平面EFP.四面體的底面積為SEFPPE·PF，高為AP2.四面體AEFP的體積VAEFP××1×1×2.8如圖1所示是一種生活中常見的容器，其結構如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，現(xiàn)測得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EFABCD的體積為_cm3.答案3 500解析在EF上，取兩點M，N(圖略)，分別滿足EMNF5，連結DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個棱錐和一個棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關量，可以求得V×20×15×202×××20×15×53 500.9.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點D為側棱BB1上的動點當ADDC1最小時，三棱錐DABC1的體積為_答案解析將側面展開如圖所示，所以由平面幾何性質可得ADDC1AC1，當且僅當A，D，C1三點共線時取到等號此時BD1，所以SABD×AB×BD.在直三棱柱ABCA1B1C1中有BB1CB，又ABCB，且BB1ABB，BB1，AB平面ABD，所以CB平面ABD，所以C1B1平面ABD，即C1B1是三棱錐C1ABD的高，所以VDABC1VC1ABD×C1B1×SABD×2×.10.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側面積(1)證明由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，APPDP，AP，PD平面PAD，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解在平面PAD內作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PE平面ABCD.設ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐PABCD的體積VPABCDAB·AD·PEx3.由題設得x3，故x2.從而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱錐PABCD的側面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.B組能力提高11.如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OAOB，且OAVO1，則O到平面VAB的距離為_答案解析由題意可得三棱錐VAOB的體積為V三棱錐VAOBSAOB·VO.VAB是邊長為的等邊三角形，其面積為×()2，設點O到平面VAB的距離為h，則V三棱錐OVABSVAB·h×hV三棱錐VAOB，解得h，即點O到平面VAB的距離是.12.如圖所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點，PA2，AB1，則三棱錐CPED的體積為_答案解析PA平面ABCD，PA是三棱錐PCED的高，PA2.ABCD是正方形，E是AC的中點，CED是等腰直角三角形AB1，故CEED，SCEDCE·ED··.故VCPEDVPCED·SCED·PA··2.13在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60°，平面ACEF平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點M在線段EF上(1)求證：BC平面ACEF；(2)當FM為何值時，AM平面BDE？證明你的結論(1)證明在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60°，ADC是等腰三角形，且BCDADC120°，DCADAC30°，ACB90°，即BCAC.又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACEF.(2)解當FMa時，AM平面BDE.證明如下：設ACBDN，連結EN，如圖ACB90°，ABC60°，BCa，ACa，AB2a，CNNA12，四邊形ACEF是平行四邊形，EFACa.AM平面BDE，AM平面ACEF，平面ACEF平面BDENE，AMNE，四邊形ANEM為平行四邊形，F(xiàn)MME12，F(xiàn)MEFAC.當FMa時，AM平面BDE.14.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(1)求證：直線EF平面A1ACC1；(2)在線段AB上確定一點G，使平面EFG平面ABC，并給出證明(1)證明連結A1C，A1E.側面A1ABB1是菱形，E是AB1的中點，E也是A1B的中點，又F是BC的中點，EFA1C.A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1.(2)解當時，平面EFG平面ABC，證明如下：連結EG，F(xiàn)G.側面A1ABB1是菱形，且A1AB60°，A1AB是等邊三角形，E是A1B的中點，EGAB.平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面A1ABB1，EG平面ABC.又EG平面EFG，平面EFG平面ABC.