四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2一、選擇題1.自然數(shù)都是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上“三段論”推理().A.正確B.推理形式不正確C.兩個“自然數(shù)”概念不一致D.“兩個整數(shù)”概念不一致【解析】“三段論”中的大前提,小前提及推理形式都是正確的.【答案】A2.余弦函數(shù)是偶函數(shù),f(x)=cos(x+1)是余弦函數(shù),因此f(x)=cos(x+1)是偶函數(shù),以上推理().A.結(jié)論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確【解析】因為f(x)=cos(x+1)不是余弦函數(shù),所以小前提錯誤.【答案】C3.下列推理不是合情推理的是().A.由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B.由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°C.某次考試張軍的成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分D.蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物,所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的【解析】A是類比推理,B、D是歸納推理,C不是合情推理.【答案】C4.若f(n)=1+(nN*),則當(dāng)n=2時,f(n)等于().A.1+B.C.1+D.均不正確【解析】f(n)=1+,分子是1,分母是1,2,3,2n+1,故當(dāng)n=2時,f(n)=1+=1+.【答案】C5.下列推理是歸納推理的是().A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則點P的軌跡為橢圓B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C.由圓x2+y2=r2的面積S=r2,猜想出橢圓+=1的面積S=abD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】由S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式,是從特殊到一般的推理,所以選項B中的推理是歸納推理,故選B.【答案】B6.函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|<1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm”函數(shù).那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是().A.f(x)=x2(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=(x1,3)【解析】由定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數(shù)f(x)的最大值與最小值之差的絕對值,故要判斷一個函數(shù)是否為“Storm”函數(shù),只需看這個函數(shù)的最值之差的絕對值是否小于1即可.在選項D中,因為f(x)=在x1,3上是減函數(shù),所以令m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|=<1,所以該函數(shù)是“Storm”函數(shù).【答案】D7.下列推理正確的是().A.把a(b+c)與loga(x+y)進行類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)與sin(x+y)進行類比,則有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n與(a+b)n進行類比,則有(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c與(xy)z進行類比,則有(xy)z=x(yz)【答案】D8.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=.從n=k到n=k+1,等式左邊應(yīng)添加的式子是().A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)2(k+1)2+1【解析】當(dāng)n=k時,左邊=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12;當(dāng)n=k+1時,左邊=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12.所以從n=k到n=k+1,左邊應(yīng)添加的式子為(k+1)2+k2.【答案】B9.如表所示,若數(shù)列xn滿足x0=5,且對任何自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2019=().x12345f(x)41352A.1B.2C.4D.5【解析】因為x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,所以數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列,所以x2019=x3=4.故選C.【答案】C10.在ABC中,角A,B,C分別為邊a,b,c所對的角.若a,b,c成等差數(shù)列,則角B的取值范圍是().A.B.C.D.【解析】a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b,cos B=-=.又余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,0<B.故選B.【答案】B11.觀察數(shù)表:1234第一行2345第二行3456第三行4567第四行第一列第二列第三列第四列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律,第n行第n列交叉點上的數(shù)應(yīng)為().A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n2【答案】A12.若A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則().A.A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形C.A1B1C1是鈍角三角形,A2B2C2是銳角三角形D.A1B1C1是銳角三角形,A2B2C2是鈍角三角形【解析】由條件知,A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,故A1B1C1是銳角三角形.假設(shè)A2B2C2是銳角三角形,由得故A2+B2+C2=,這與三角形內(nèi)角和為相矛盾,所以假設(shè)不成立.又由已知可得A2B2C2不是直角三角形,所以A2B2C2是鈍角三角形.【答案】D二、填空題13.已知x,yR,且x+y<2,則x,y中至多有一個大于1.在用反證法證明時,假設(shè)應(yīng)為. 【解析】“x,y中至多有一個大于1”包括“x,y都不大于1”和“x,y有且僅有一個大于1”,故假設(shè)應(yīng)為“x,y都大于1”.【答案】x,y都大于114.觀察下列等式:×=1-,×+×=1-,×+×+×=1-,由以上等式推測得到一個一般的結(jié)論:對于任何nN*,×+×+×=. 【解析】由已知的等式得對于任何nN*,×+×+×=1-.【答案】1-15.如圖,若對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進行如下方式的“分裂”:則由此規(guī)律,52的“分裂”中最大的數(shù)是,53的“分裂”中最小的數(shù)是. 【解析】由題意可知,因此52的“分裂”中最大的數(shù)為9,53的“分裂”中最小的數(shù)為21.【答案】92116.已知在數(shù)列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列an的前n項和),則S2,S3,S4分別為,由此猜想Sn=. 【解析】由Sn,Sn+1,2S1成等差數(shù)列得2Sn+1=Sn+2S1.S1=a1=1,2Sn+1=Sn+2.令n=1,則2S2=S1+2=1+2=3S2=.同理分別令n=2,n=3,可求得S3=,S4=.由S1=1=,S2=,S3=,S4=,猜想Sn=(nN*).【答案】,(nN*)三、解答題17.實數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a,b,c,d至少有一個負數(shù).【解析】假設(shè)a,b,c,d都是非負數(shù),則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)ac+bd,這與已知ac+bd>1矛盾.故a,b,c,d至少有一個負數(shù).18.已知A,B都是銳角,且A+B90°,(1+tan A)(1+tan B)=2.求證:A+B=45°.【解析】(1+tan A)(1+tan B)=2,tan A+tan B=1-tan Atan B.A+B90°,tan(A+B)=1.A,B都是銳角,0°<A+B<180°.A+B=45°.19.已知a>0,b>0,2c>a+b,求證:c-<a<c+.【解析】要證c-<a<c+,只需證-<a-c<,即證|a-c|<,只需證(a-c)2<()2,只需證a2-2ac+c2<c2-ab,即證2ac>a2+ab.因為a>0,所以只需證2c>a+b.又因為2c>a+b成立.所以原不等式成立.20.已知ABC的三邊長都是有理數(shù),求證:(1)cos A是有理數(shù);(2)對任何正整數(shù)n,cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù).【解析】(1)由AB,BC,AC的長為有理數(shù)及余弦定理知,cos A=是有理數(shù).(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù).當(dāng)n=1時,由(1)知cos A是有理數(shù),從而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時,cos kA和sin A·sin kA都是有理數(shù),那么當(dāng)n=k+1時,cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA,sin A·sin(k+1)A=sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A,由和歸納假設(shè)知,cos(k+1)A和sin A·sin(k+1)A都是有理數(shù).即當(dāng)n=k+1時,結(jié)論成立.綜合可知,對任何正整數(shù)n,cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù).21.如圖,已知在三棱錐P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,且PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.(1)求證:PABD.(2)求證:平面BDE平面PAC.(3)當(dāng)PA平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積.【解析】(1)PAAB,PABC,且ABBC=B,PA平面ABC.又BD平面ABC,PABD.(2)AB=BC,D為線段AC的中點,在ABC中,BDAC.又由(1)知,PABD,PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面BDE,平面BDE平面PAC.(3)當(dāng)PA平面BDE時,由D是AC的中點知,E為PC的中點.因此ED=PA=1,ED平面BDC.由AB=BC=2,ABBC,D為AC的中點知,BD=CD=.又由BDAC知,BDDC,即BDC=90°.因此VE-BCD=SBCD·ED=××××1=.22.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=+-1,且an>0,nN*.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解析】(1)a1=S1=+-1,即+2a1-2=0,an>0,a1=-1.S2=a1+a2=+-1,即+2a2-2=0,a2=-.S3=a1+a2+a3=+-1,即+2a3-2=0,a3=-.(2)由(1)猜想an=-,nN*.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1時,由(1)知a1=-1,猜想成立;假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,ak=-, 猜想成立,那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=-=+-.+2ak+1-2=0.ak+1=-,即當(dāng)n=k+1時猜想也成立.綜上可知,對任何nN*猜想都成立.