（新課標(biāo)）天津市2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直 理1.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C12.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的內(nèi)心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心3.,是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號) 4.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動,并且總保持PEAC,則動點(diǎn)P的軌跡的周長為. 5.下列命題中正確的是.(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號) 空間中三個平面,若,則;若a,b,c為三條兩兩異面的直線,則存在無數(shù)條直線與a,b,c都相交;若球O與棱長為a的正四面體各面都相切,則該球的表面積為a2;在三棱錐P-ABC中,若PABC,PBAC,則PCAB.6.在正三棱柱A1B1C1-ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC=BB1.設(shè)B1DBC1=F.求證:(1)A1C平面AB1D;(2)BC1平面AB1D.7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是ABC=60°的菱形,M為PC的中點(diǎn).(1)求證:PCAD;(2)證明在PB上存在一點(diǎn)Q,使得A,Q,M,D四點(diǎn)共面;(3)求點(diǎn)D到平面PAM的距離.8.(2018全國,理18)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.二、思維提升訓(xùn)練9.(2018浙江,8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)SE與BC所成的角為1,SE與平面ABCD所成的角為2,二面角S-AB-C的平面角為3,則()A.123B.321C.132D.23110.如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn),F是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn).(1)證明:EFA1D1;BA1平面B1C1EF;(2)求BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值.11.如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE將ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K,使BC平面DFK?若存在,請證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求證:平面BDE平面ADE.12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AA1上.(1)當(dāng)AEEA1=12時,求證:DEBC1;(2)是否存在點(diǎn)E,使三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的?若存在,求AE的長,若不存在,請說明理由.13.如圖,在四邊形ABCD中(如圖),E是BC的中點(diǎn),DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.將ABD(如圖)沿直線BD折起,使二面角A-BD-C為60°(如圖).(1)求證:AE平面BDC;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓(xùn)練1.D解析 易知A1C1平面BB1D1D.B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故選D.2.A解析 如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PAEF,而PO平面AEF,則POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心.3.解析 對于,若mn,m,n,則,的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于,因?yàn)閚,所以過直線n作平面與平面相交于直線c,則nc.因?yàn)閙,所以mc,所以mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確的命題有.4解析 如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG.設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是EFG,其周長為5.解析 中也可以與相交;作平面與a,b,c都相交;中可得球的半徑為r=a;中由PABC,PBAC得點(diǎn)P在底面ABC的射影為ABC的垂心,故PCAB.6.證明 (1)連接A1B,設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)E,連接DE.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是A1B的中點(diǎn),DEA1C.A1C平面AB1D,DE平面AB1D,A1C平面AB1D.(2)ABC是正三角形,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),ADBC.平面ABC平面B1BCC1,平面ABC平面B1BCC1=BC,AD平面ABC,AD平面B1BCC1.BC1平面B1BCC1,ADBC1.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC=BB1,BD=BB1.,RtB1BDRtBCC1,BDB1=BC1C.FBD+BDF=C1BC+BC1C=90°.BC1B1D.B1DAD=D,BC1平面AB1D.7.(1)證法一 取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,依題意可知PAD,ACD均為正三角形,所以O(shè)CAD,OPAD.又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC.又PC平面POC,所以PCAD.證法二 連接AC,依題意可知PAD,ACD均為正三角形.因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以AMPC,DMPC.又AMDM=M,AM平面AMD,DM平面AMD,所以PC平面AMD.因?yàn)锳D平面AMD,所以PCAD.(2)證明 當(dāng)點(diǎn)Q為棱PB的中點(diǎn)時,A,Q,M,D四點(diǎn)共面,證明如下:取棱PB的中點(diǎn)Q,連接QM,QA.因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以QMBC.在菱形ABCD中,ADBC,所以QMAD,所以A,Q,M,D四點(diǎn)共面.(3)解 點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離.由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO為三棱錐P-ACD的高.在RtPOC中,PO=OC=,PC=,在PAC中,PA=AC=2,PC=,邊PC上的高AM=,所以PAC的面積SPAC=PC·AM=設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,由VD-PAC=VP-ACD,得SPAC·h=SACD·PO.因?yàn)镾ACD=22=,所以h=,解得h=,所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為8.(1)證明 由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)解 作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=,EH=則H(0,0,0),P,D為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為,則sin =所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為二、思維提升訓(xùn)練9.D解析 當(dāng)點(diǎn)E不是線段AB的中點(diǎn)時,如圖,點(diǎn)G是AB的中點(diǎn),SH底面ABCD,過點(diǎn)H作HFAB,過點(diǎn)E作EFBC,連接SG,GH,EH,SF.可知1=SEF,2=SEH,3=SGH.由題意可知EFSF,故tan 1=tan 3.1>3.又tan 3=tan 2,3>2.1>3>2.當(dāng)點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)時,即點(diǎn)E與點(diǎn)G重合,此時1=3=2.綜上可知,132.10.(1)證明 因?yàn)镃1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,所以C1B1平面ADD1A1.因?yàn)槠矫鍮1C1EF平面ADD1A1=EF,所以C1B1EF.所以A1D1EF.因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.因?yàn)锽1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中點(diǎn),即tanA1B1F=tanAA1B=,即A1B1F=AA1B.故BA1B1F.又B1FB1C1=B1,所以BA1平面B1C1EF.(2)解 設(shè)BA1與B1F的交點(diǎn)為H,連接C1H(如圖).由(1)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角.在矩形ABB1A1中,AB=,AA1=2,得BH=在RtBHC1中,BC1=2,BH=,得sinBC1H=所以BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值是11.(1)解 線段AB上存在一點(diǎn)K,且當(dāng)AK=AB時,BC平面DFK.證明如下:設(shè)H為AB的中點(diǎn),連接EH,則BCEH.又因?yàn)锳K=AB,F為AE的中點(diǎn),所以KFEH,所以KFBC.因?yàn)镵F平面DFK,BC平面DFK,所以BC平面DFK.(2)證明 因?yàn)镕為AE的中點(diǎn),DA=DE=1,所以DFAE.因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCE,所以DF平面ABCE.因?yàn)锽E平面ABCE,所以DFBE.又因?yàn)樵谡燮鹎暗膱D形中E為CD的中點(diǎn),AB=2,BC=1,所以在折起后的圖形中AE=BE=,從而AE2+BE2=4=AB2,所以AEBE.因?yàn)锳EDF=F,所以BE平面ADE.因?yàn)锽E平面BDE,所以平面BDE平面ADE.12.(1)證明 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以ABC是正三角形.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),所以BDAC.又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE.因?yàn)锳EEA1=12,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30°.在RtDCC1中,C1DC=60°,所以EDC1=90°,即DEDC1.因?yàn)镃1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解 假設(shè)存在點(diǎn)E滿足題意.設(shè)AE=h,則A1E=-h,所以-SAED-=2h-(-h)-h.因?yàn)锽D平面ACC1A1,所以h,又V棱柱=2=3,所以h=1,解得h=,故存在點(diǎn)E,當(dāng)AE=,即E與A1重合時,三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的13.(1)證明 如圖,取BD的中點(diǎn)M,連接AM,ME.AB=AD=,DB=2,AMBD.DB=2,DC=1,BC=滿足DB2+DC2=BC2,BCD是以BC為斜邊的直角三角形,BDDC,E是BC的中點(diǎn),ME為BCD的中位線,ME􀰿CD,MEBD,ME=,AME是二面角A-BD-C的平面角,AME=60°.AMBD,MEBD,且AM,ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線,BD平面AEM.AE平面AEM,BDAE.ABD為等腰直角三角形,AM=BD=1.在AEM中,AE2=AM2+ME2-2AM·ME·cosAME=1+-2×1cos 60°=,AE=,AE2+ME2=1=AM2,AEME.BDME=M,BD平面BDC,ME平面BDC,AE平面BDC.(2)解 取AD的中點(diǎn)N,連接MN,則MN是ABD的中位線,MNAB.又MECD,直線AB與CD所成角等于MN與ME所成的角,即EMN或其補(bǔ)角.AE平面BCD,DE平面BCD,AEDE.N為RtAED斜邊的中點(diǎn),NE=AD=,MN=AB=,ME=,cos =|cosEMN|=(3)解 記點(diǎn)B到平面ACD的距離為d,則三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=d·SACD.又由(1)知AE是三棱錐A-BCD的高,BDCD,VB-ACD=VA-BCD=AE·SBCD=E為BC中點(diǎn),AEBC,AC=AB=又DC=1,AD=,ACD為等腰三角形,SACD=DC1,點(diǎn)B到平面ACD的距離d=