（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 回扣1 集合、常用邏輯用語、不等式與推理證明學(xué)案 文 1．集合 (1)集合的運算性質(zhì) ①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB. (2)子集、真子集個數(shù)計算公式 對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2. (3)集合運算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1) (2)互為逆否命題的兩命題同真同假． 3．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假 (1)命題p∨q：若p，q中至少有一個為真，則命題為真命題，簡記為：一真則真． (2)命題p∧q：若p，q中至少有一個為假，則命題為假命題，p，q同為真時，命題才為真命題，簡記為：一假則假，同真則真． (3)命題綈p：與命題p真假相反． 4．全稱命題、特稱(存在性)命題及其否定 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，其否定為特稱(存在性)命題綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特稱(存在性)命題p：?x0∈M，p(x0)，其否定為全稱命題綈p：?x∈M，綈p(x)． 5．充分條件與必要條件的三種判定方法 (1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)． (2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充分不必要條件(B是A的必要不充分條件)；若A＝B，則A是B的充要條件． (3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題． 6．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。? 7．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 8．分式不等式 >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)? 9．基本不等式 (1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當且僅當a＝b時取等號． (2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件． 10．線性規(guī)劃 (1)可行域的確定，“線定界，點定域”． (2)線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得． (3)線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個． 11．推理 推理分為合情推理與演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理；演繹推理的一般模式是三段論． 合情推理的思維過程 (1)歸納推理的思維過程 ―→→ (2)類比推理的思維過程 ―→→ 12．證明方法 (1)分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知． 推理模式 框圖表示 →→→…→ (2)綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知． 推理模式 框圖表示：→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)． (3)反證法 一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 1．描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lg x}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函數(shù)圖象上的點集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一個實數(shù)；?是一個集合，它含有0個元素；{0}是以0為元素的單元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問題時，尤其要注意元素的互異性． 4．空集是任何集合的子集．由條件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A時，務(wù)必分析研究A＝?的情況． 5．區(qū)分命題的否定與否命題，已知命題為“若p，則q”，則該命題的否定為“若p，則綈q”，其否命題為“若綈p，則綈q”． 6．在對全稱命題和特稱(存在性)命題進行否定時，不要忽視對量詞的改變． 7．對于充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結(jié)論． 8．判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成．由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運算． 9．不等式兩端同時乘一個數(shù)或同時除以一個數(shù)時，如果不討論這個數(shù)的正負，容易出錯． 10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論． 11．求解分式不等式時應(yīng)正確進行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0. 12．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、 二定、三相等”導(dǎo)致錯解，如求函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解． 13．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解． 14．求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到點(1,1)的距離的平方等． 15．類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應(yīng)從本質(zhì)上類比． 1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，則M∩N等于(　　) A．(0,8) B．{3,5,7} C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7} 答案　D 解析　∵M＝{x|0<x<8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}， ∴M∩N＝{1,3,5,7}，故選D. 2．以下是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖： 在此流程圖中，①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是(　　) A．①—綜合法，②—分析法 B．①—分析法，②—綜合法 C．①—綜合法，②—反證法 D．①—分析法，②—反證法 答案　A 解析　由已知到可知，進而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法，由未知到需知，進而找到與已知的關(guān)系為分析法，故①②兩條流程線代表“推理與證明”中的思維方法是①—綜合法，②—分析法． 3．用反證法證明命題：三角形的內(nèi)角中至少有一個是鈍角．假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)至少有一個是鈍角 B．假設(shè)至少有兩個是鈍角 C．假設(shè)沒有一個是鈍角 D．假設(shè)沒有一個是鈍角或至少有兩個是鈍角 答案　C 解析　原命題的結(jié)論為至少有一個是鈍角，則反證法需假設(shè)結(jié)論的反面．“至少有一個”的反面為“沒有一個”，即假設(shè)沒有一個是鈍角． 4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，則A∩B等于(　　) A．? B．[0,1)∩(3，＋∞) C．A D．B 答案　C 解析　由題意，得集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{y|y≥0}，那么A∩B＝{x|1<x<3}＝A. 5．設(shè)f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．q＝r<p B．q＝r>p C．p＝r<q D．p＝r>q 答案　C 解析　∵0<a<b，∴>， 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 故f>f()，即q>p. 又r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p. 故p＝r<q.故選C. 6．設(shè)有兩個命題，命題p：關(guān)于x的不等式(x－3)·≥0的解集為{x|x≥3}；命題q：若函數(shù)y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32<k<0，那么(　　) A．“p且q”為真命題 B．“p或q”為真命題 C．“綈p”為真命題 D．“綈q”為假命題 答案　C 解析　不等式(x－3)·≥0的解集為{x|x≥3或x＝1}，所以命題p為假命題．若函數(shù)y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32<k≤0，所以命題q也是假命題，所以“綈p”為真命題． 7．已知x，y滿足條件則z＝的最大值為(　　) A．－ B. C．2 D．3 答案　D 解析　作出可行域如圖陰影部分所示． 因為z＝＝，經(jīng)過點(－3,1)的直線斜率最大的是直線x－y＋5＝0與直線x＋y＝0的交點與該點的連線，故zmax＝＝3，故選D. 8．設(shè)命題甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是實數(shù)集R；命題乙：0<a<1，則命題甲是命題乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由命題甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是實數(shù)集R可知，當a＝0時，原式＝1>0恒成立， 當a≠0時，需滿足 解得0<a<1，所以0≤a<1， 所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分條件， 故選C. 9．已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　因為向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b， 所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2. 所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4 ， 所以2m＋4n的最小值為4，故選C. 10．(2016·山東)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示， x2＋y2是可行域上的動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取得最大值，最大值為10.故選C. 11．下列四個結(jié)論： ①若x>0，則x>sin x恒成立； ②命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”； ③“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件； ④命題“?x∈R，x－ln x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln x0<0”． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　對于①，令y＝x－sin x，則y′＝1－cos x≥0，則函數(shù)y＝x－sin x在R上單調(diào)遞增，則當x>0時，x－sin x>0－0＝0，即當x>0時，x>sin x恒成立，故①正確； 對于②，命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”，故②正確； 對于③，命題p∨q為真即p，q中至少有一個為真，p∧q為真即p，q都為真，可知“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件，故③正確； 對于④，命題“?x∈R，x－ln x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④錯誤． 綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為3，故選C. 12．小明用電腦軟件進行數(shù)學(xué)解題能力測試，每答完一道題，軟件都會自動計算并顯示出當前的正確率(正確率＝已答對題目數(shù)÷已答題目總數(shù))，小明依次共答了10道題，設(shè)正確率依次為a1，a2，a3，…，a10.現(xiàn)有三種說法：①若a1<a2<a3<…<a10，則必是第一道題答錯，其余題均答對；②若a1>a2>a3>…>a10，則必是第一道題答對，其余題均答錯；③有可能a5＝2a10，其中正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析?、佗陲@然成立，③前5個全答對，后5個全答錯，符合題意，故選D. 13．已知集合M＝，若3∈M,5?M，則實數(shù)a的取值范圍是______________． 答案　∪(9,25] 解析　∵集合M＝， 得(ax－5)(x2－a)<0， 當a＝0時，顯然不成立， 當a>0時，原不等式可化為(x－)(x＋)<0， 若<，只需滿足解得1≤a<； 若>，只需滿足 解得9<a≤25，當a<0時，不符合條件． 綜上，a的取值范圍為∪(9,25]． 14．若“?x∈，m≤tan x＋1”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________． 答案　0 解析　令f(x)＝tan x＋1，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，故f(x)的最小值為f＝0， ∵?x∈，m≤tan x＋1， 故m≤(tan x＋1)min， ∴m≤0，故實數(shù)m的最大值為0. 15．在△ABC中，AD平分∠A的內(nèi)角且與對邊BC交于D點，則＝，將命題類比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面ADE平分二面角B－AD－C且與對棱BC交于E點，則可得到的正確命題的結(jié)論為_______________________________________________________． 答案?。? 解析　在△ABC中，作DE⊥AB，DF⊥AC，則DE＝DF，所以＝＝，根據(jù)面積類比體積，長度類比面積可得＝，即＝. 16．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是20元/m2，側(cè)面造價是10元/m2，則該容器的最低總造價是________元． 答案　160 解析　由題意知，體積V＝4 m3，高h＝1 m， 所以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設(shè)總造價是y元，則y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，當且僅當2x＝，即x＝2時取得等號．