（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)（十六）計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 理（普通生，含解析）一、選擇題1投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A0.648B0.432C0.36 D0.312解析：選A3次投籃投中2次的概率為P(k2)C×0.62×(10.6)，投中3次的概率為P(k3)0.63，所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k2)P(k3)C×0.62×(10.6)0.630.648.2小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)()A. B.C. D.解析：選A小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3108種可能性，4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能性有A4×3×2×124種，P(A|B).3(2018·全國(guó)卷)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX2.4，P(X4)<P(X6)，則p()A0.7 B0.6C0.4 D0.3解析：選B由題意可知，10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即XB(10，p)，所以DX10p(1p)2.4，所以p0.4或0.6.又因?yàn)镻(X4)<P(X6)，所以Cp4(1p)6<Cp6(1p)4，所以p>0.5，所以p0.6.4若5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20C20 D40解析：選D令x1，可得a12，a1，5的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為(1)3C22，x項(xiàng)的系數(shù)為C23，5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(1)3C22C2340.故選D.5(x22x3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A60 B180C520 D540解析：選D(x22x3y)5可看作5個(gè)(x22x3y)相乘，從中選2個(gè)y，有C種選法；再?gòu)氖Ｓ嗟娜齻€(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x2，最后一個(gè)括號(hào)選出x，有C·C種選法，所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C540.6在平面區(qū)域(x，y)|0x2，0y4內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足yx2的概率為()A. B.C. D.解析：選B不等式組表示的平面區(qū)域如圖中長(zhǎng)方形OABC，其面積為2×48，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為x2dxx3，因此所求的概率P.二、填空題7在(x24)5的展開式中，含x6的項(xiàng)為_解析：因?yàn)?x24)5的展開式的第r1項(xiàng)Tr1C(x2)5r(4)r(4)rCx102r，令102r6，解得r2，所以含x6的項(xiàng)為T3(4)2Cx6160x6.答案：160x68已知在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O­ABCD的體積不小于的概率為_解析：當(dāng)四棱錐O­ABCD的體積為時(shí)，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則有×22×h，解得h.如圖所示，在四棱錐P­ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為.因?yàn)镻A底面ABCD，且PA2，所以，又四棱錐P­ABCD與四棱錐P­EFGH相似，所以四棱錐O­ABCD的體積不小于的概率為P33.答案：9在一投擲竹圈套小玩具的游戲中，竹圈套住小玩具的全部記2分，竹圈只套在小玩具一部分上記1分，小玩具全部在竹圈外記0分某人投擲100個(gè)竹圈，有50個(gè)竹圈套住小玩具的全部，25個(gè)竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以頻率估計(jì)概率，則該人兩次投擲后得分的數(shù)學(xué)期望是_解析：將“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分別記為事件A，B，C，則P(A)，P(B)P(C).某人兩次投擲后得分的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(0)×，P(1)2××，P(2)×2××，P(3)2××，P(4)×.故的分布列為01234P所以E()0×1×2×3×4×.答案：三、解答題10(2019屆高三·貴陽(yáng)摸底考試)某高校學(xué)生社團(tuán)為了解“大數(shù)據(jù)時(shí)代”下畢業(yè)生對(duì)就業(yè)情況的滿意度，對(duì)20名畢業(yè)生進(jìn)行問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖，(1)計(jì)算男生打分的平均分，觀察莖葉圖，評(píng)價(jià)男、女生打分的分散程度；(2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)男生打分的平均分為×(55536265717073748681)69.由莖葉圖知，女生打分比較集中，男生打分比較分散(2)打分在80分以上的畢業(yè)生有3女2男，X的可能取值為1,2,3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布列為X123PE(X)1×2×3×.11為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機(jī)抽取300位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量0至5個(gè)6至10個(gè)11至15個(gè)16至20個(gè)20個(gè)以上合計(jì)頻數(shù)09090x15300頻率00.30.3yz1(1)求x，y，z的值；(2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生(數(shù)量很大)中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差解：(1)由已知得09090x15300，解得x105，所以y0.35，z0.05.(2)依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15的概率為P.X的所有可能取值為0,1,2,3.依題意得，XB.所以P(Xk)Ck3k(k0,1,2,3)所以X的分布列為X0123P所以E(X)3×，D(X)3××.12在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(Xk)，k0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3而P(A1)，P(A2)P(X2)，P(A3)P(X3)，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)P(A1)P(A2)P(A3).B組大題專攻補(bǔ)短練1(2019屆高三·阜陽(yáng)質(zhì)檢)從某市的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名同學(xué)的體重進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重超過(guò)60 kg的概率；(2)假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X服從正態(tài)分布N(57，2)利用(1)的結(jié)論估計(jì)該高一某個(gè)學(xué)生體重介于5457 kg之間的概率；從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記體重介于5457 kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結(jié)論，求Y的分布列及E(Y)解：(1)這400名學(xué)生中，體重超過(guò)60 kg的頻率為(0.040.01)×5，由此估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重超過(guò)60 kg的概率為.(2)XN(57，2)，由(1)知P(X>60)，P(X<54)，P(54<X<60)12×，P(54<X<57)×，即高一某個(gè)學(xué)生體重介于5457 kg之間的概率是.該市高一學(xué)生總體很大，所以從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，可以視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中體重介于5457 kg之間的人數(shù)YB，P(Yi)Ci3i，i0,1,2,3.Y的分布列為Y0123PE(Y)3×.2(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在100,150)，150,200)，200,250)，250,300)，300,350)，350,400(單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示(1)現(xiàn)按分層抽樣的方法，從質(zhì)量為250,300)，300,350)的芒果中隨機(jī)抽取9個(gè)，再?gòu)倪@9個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記隨機(jī)變量X表示質(zhì)量在300,350)內(nèi)的芒果個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10 000個(gè)，經(jīng)銷商提出如下兩種收購(gòu)方案：A：所有芒果以10元/千克收購(gòu)；B：對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于250克的以3元/個(gè)收購(gòu)?fù)ㄟ^(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？解：(1)由頻率分布直方圖可得，隨機(jī)抽取的9個(gè)芒果中，質(zhì)量在250,300)和300,350)內(nèi)的分別有6個(gè)和3個(gè)則X的可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×1.(2)設(shè)選擇方案A可獲利y1元，則y1(125×0.002175×0.002225×0.003275×0.008325×0.004375×0.001)×50×10 000×10×0.00125 750.設(shè)選擇方案B，從質(zhì)量低于250克的芒果中獲利y2元；從質(zhì)量高于或等于250克的芒果中獲利y3元，則y2(0.0020.0020.003)×50×10 000×27 000.y3(0.0080.0040.001)×50×10 000×319 500.y2y37 00019 50026 500.由于25 750<26 500，故B方案獲利更多，應(yīng)選B方案32017年央視3·15晚會(huì)曝光了一些飼料企業(yè)瞞天過(guò)海地往飼料中非法添加各種“禁藥”，包括“人用西藥”，讓所有人驚出一身冷汗某地區(qū)質(zhì)量監(jiān)督部門對(duì)該地甲、乙兩家畜牧用品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行了突擊抽查，若已知在甲企業(yè)抽查了一次，抽中某種動(dòng)物飼料的概率為，用數(shù)字1表示抽中該動(dòng)物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來(lái)表示沒(méi)有抽中；在乙企業(yè)抽查了兩次，每次抽中該動(dòng)物飼料的概率為，用數(shù)字2表示抽中該動(dòng)物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來(lái)表示沒(méi)有抽中該部門每次抽查的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該部門完成以上三次抽查(1)求該部門恰好有一次抽中動(dòng)物飼料這一產(chǎn)品的概率；(2)設(shè)X表示三次抽查所記的數(shù)字之和，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：記“恰好抽中一次動(dòng)物飼料這一產(chǎn)品”為事件A，“在甲企業(yè)抽中”為事件B，“在乙企業(yè)第一次抽中”為事件C，“在乙企業(yè)第二次抽中”為事件D，則由題意知P(B)，P(C)P(D).(1)因?yàn)锳BCD，所以P(A)P(B CD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)·P()P()P()P(D)×1×11××11×1×.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.所以P(X0)P()1P(B)1P(C)·1P(D)××.P(X1)P(B)P(B)1P(C)1P(D)××，P(X2)P(CD)P(C)P(D)××××.P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××××，P(X4)P(CD)1P(B)P(C)P(D)××，P(X5)P(BCD)P(B)P(C)P(D)××.故X的分布列為X012345P所以E(X)0×1×2×3×4×5×.4某地政府?dāng)M在該地一水庫(kù)上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電如圖是根據(jù)該水庫(kù)歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位：萬(wàn)立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X0,120，歷年中日泄流量在區(qū)間30,60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計(jì)(1)請(qǐng)把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；(2)該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能都運(yùn)行，但每30萬(wàn)立方米的日泄流量才夠運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，如60X<90時(shí)才夠運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)若運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，每天可獲利潤(rùn)為4 000元；若不運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)每天虧損500元以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，問(wèn)：為使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)？解：(1)在區(qū)間30,60)的頻率為，.設(shè)在區(qū)間0,30)上，a，則×301，解得a.補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖如圖所示(2)記水電站日利潤(rùn)為Y元由(1)知，無(wú)法運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為，恰好運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為，恰好運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為，恰好運(yùn)行三臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為.若安裝一臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的所有可能取值為500，4 000，其分布列為Y5004 000PE(Y)500×4 000×.若安裝兩臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的所有可能取值為1 000，3 500，8 000，其分布列為Y1 0003 5008 000PE(Y)1 000×3 500×8 000×.若安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的所有可能取值為1 500，3 000，7 500,12 000，其分布列為Y1 5003 0007 50012 000PE(Y)1 500×3 000×7 500×12 000×.因?yàn)?>>，所以要使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī)