（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文考情考向分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算1通項公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1·qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中am·anap·aq.例1(1)(2018·北京)設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項公式為_答案an6n3(nN*)解析方法一設(shè)公差為d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通項公式ana1(n1)d6n3(nN*)方法二設(shè)公差為d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通項公式an6n3(nN*)(2)(2018·華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a3a112a，且S4S12S8，則_.答案解析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，將q42代入計算可得.思維升華在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量跟蹤演練1(1)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S23a22，S43a42，則a1等于()A2 B1 C. D.答案B解析S4S2a3a43a43a2，即3a2a32a40，即3a2a2q2a2q20，即2q2q30，解得q1(舍)或q，當(dāng)q時，代入S23a22，得a1a1q3a1q2，解得a11.(2)(2018·全國)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項公式；記Sn為an的前n項和，若Sm63，求m.解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項，即證明2anan1an1(n2，nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2，nN*)例2已知數(shù)列an，bn，其中a13，b11，且滿足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求證：數(shù)列anbn為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.(1)證明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首項為4，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，anbn2，聯(lián)立得，an2n1，所以Tn(nN*)思維升華(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法(2)aan1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零跟蹤演練2(2018·新余模擬)已知an是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與的等差中項(1)求證：數(shù)列S為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設(shè)bn，求bn的前n項和Tn.(1)證明由題意知2Snan，即2Snana1，(*)當(dāng)n2時，有anSnSn1，代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又當(dāng)n1時，由(*)式可得a1S11，數(shù)列S是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)可得S1n1n，數(shù)列an的各項都為正數(shù)，Sn，當(dāng)n2時，anSnSn1，又a1S11滿足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1(1)()()()，當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn1(1)()()()，數(shù)列bn的前n項和Tn(1)n(nN*)熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項公式an與其前n項和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項，記bn的前n項和為Tn，若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，從而Sn(nN*)(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm8，m隨m的增加而減少，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn<Tm，則10<8，得>2.即實數(shù)的取值范圍為(2，)思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便(2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足an1，若bnt對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13an，得an1an，所以數(shù)列an是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以ann1(nN*)(2)由an1，得bnn1n·n1，所以bn1bn(n1)·nn·n1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.即t的取值范圍為.真題體驗1(2017·全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為_答案4解析設(shè)an的公差為d，由得解得d4.2(2017·浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的_條件答案充要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d>0，則21d>20d,10a121d>10a120d，即S4S6>2S5.若S4S6>2S5，則10a121d>10a120d，即21d>20d，d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充要條件方法二S4S6>2S5S4S4a5a6>2(S4a5)a6>a5a5d>a5d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充要條件3(2017·北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，由b4b1q3，得q38，q2.1.4(2017·江蘇)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3，S6，則a8_.答案32解析設(shè)an的首項為a1，公比為q，則解得所以a8×272532.押題預(yù)測1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7 C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和是數(shù)列最基本的知識點，也是高考的熱點，可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.2在等比數(shù)列an中，a33a22，且5a4為12a3和2a5的等差中項，則an的公比等于()A3 B2或3C2 D6押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點答案C解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項，可得10a412a32a5,10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.3已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項am，an使得 4a1，則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理得q2q20，解得q2或q1(不合題意，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即n2m4時取等號4定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A B C D押題依據(jù)先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得，anan2a.f(an)f(an2)aa(a)2f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.A組專題通關(guān)1(2018·大慶質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an中，a49，S424，則a7等于()A3 B7 C13 D15答案D解析由于數(shù)列為等差數(shù)列，依題意得解得d2，所以a7a43d9615.2(2018·淮北模擬)已知等比數(shù)列an中，a52，a6a88，則等于()A2 B4 C6 D8答案A解析數(shù)列an是等比數(shù)列，a6a8a8，a72(與a5同號)，q2，從而q4()22.3(2018·株洲質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，則S9等于()A8 B6 C0 D10答案C解析a1，a3，a4成等比數(shù)列，aa1a4，(a12×2)2a1·(a13×2)，化為2a116，解得a18，則S98×9×20.4一個等比數(shù)列的前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列的項數(shù)是()A13 B12C11 D10答案B解析設(shè)等比數(shù)列為an，其前n項積為Tn，由已知得a1a2a32，anan1an24，可得(a1an)32×4，a1an2，Tna1a2an，T(a1a2an)2(a1an)(a2an1)(ana1)(a1an)n2n642212，n12.5(2018·荊州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足525·，且a2a4a69，則(a5a7a9)等于()A3 B3 C D.答案A解析25·，an1an2，數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為2.a2a4a69，3a49，a43.log(a5a7a9)log3a7log3(a46)log273.6(2018·資陽模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a19，a51，則使得Sn>0成立的最大的自然數(shù)n為_答案9解析因為a19，a51，所以d2，所以Sn9nn(n1)(2)>0，即n<10，因此使得Sn>0成立的最大的自然數(shù)n為9.7(2018·石嘴山模擬)在正項等比數(shù)列an中，若a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則_.答案32解析由于a1，a3，2a2成等差數(shù)列，所以a3a12a2，即a1q2a12a1q，q22q10，解得q1或q1(舍去)故q232.8已知數(shù)列an滿足a12，且an(n2，nN*)，則an_.答案解析由an，得，于是1(n2，nN*)又1，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故1，an(nN*)9意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1)F(2)1，F(xiàn)(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則b2 017_.答案1解析由題意得引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，此數(shù)列被3 整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，構(gòu)成以8項為周期的周期數(shù)列，所以b2 017b11.10(2018·天津)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn(nN*)，已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)由b11，b3b22，可得q2q20.因為q>0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1(nN*)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann，所以Sn(nN*)(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn，可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍去)或n4.所以n的值為4.B組能力提高11數(shù)列an是以a為首項，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn1a1a2an(n1,2，)，數(shù)列滿足cn2b1b2bn(n1,2，)，若為等比數(shù)列，則ab等于()A. B3 C. D6答案B解析由題意知，當(dāng)b1時，cn不是等比數(shù)列，所以b1.由anabn1，得bn11，則cn2n·2n，要使為等比數(shù)列，必有得ab3.12艾薩克·牛頓(1643年1月4日1727年3月31日)是英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點時給出一個數(shù)列滿足xn1xn，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列如果函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)有兩個零點1,2，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)anln ，已知a12，xn>2，則an的通項公式an_.答案2n解析 函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)有兩個零點1,2， 解得 f(x)ax23ax2a，則f(x)2ax3a.則xn1xnxn，2，則數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，又a12，數(shù)列an是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an2·2n12n.13(2018·攀枝花統(tǒng)考)記m，若是等差數(shù)列，則稱m為數(shù)列an的“dn等差均值”；若是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列an的“dn等比均值”已知數(shù)列an的“2n1等差均值”為2，數(shù)列bn的“3n1等比均值”為3.記cnklog3bn，數(shù)列的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n都有SnS6，則實數(shù)k的取值范圍是_答案解析由題意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，兩式相減得an(n2，nN*)當(dāng)n1時，a12，符合上式，所以an(nN*)又由題意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，兩式相減得bn32n(n2，nN*)當(dāng)n1時，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn(2k)n2k1.因為對任意的正整數(shù)n都有SnS6，所以解得k.14設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a(a1,1)，b(1，a10)，若a·b24，且S11143，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且滿足Tn(a11)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式及數(shù)列的前n項和Mn；(2)是否存在非零實數(shù)，使得數(shù)列bn為等比數(shù)列？并說明理由解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a(a1,1)，b(1，a10)，a·b24，得a1a1024，又S11143，解得a13，d2，因此數(shù)列an的通項公式是an2n1(nN*)，所以，所以Mn(nN*)(2)因為Tn(a11)(nN*)，且a13，所以Tn，當(dāng)n1時，b1；當(dāng)n2時，bnTnTn1，此時有4，若bn是等比數(shù)列，則有4，而b1，b2，彼此相矛盾，故不存在非零實數(shù)使數(shù)列bn為等比數(shù)列