（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 理考情考向分析考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問題)此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)熱點(diǎn)一直線的方程及應(yīng)用1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2求直線方程要注意幾種直線方程的局限性點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線3兩個(gè)距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d(A2B20)(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d(A2B20)例1(1)(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)已知直線l1：x·sin y10，直線l2：x3y·cos 10，若l1l2，則sin 2等于()A. B± C D.答案D解析因?yàn)閘1l2，所以sin 3cos 0，所以tan 3，所以sin 22sin cos .(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kxy20與直線l2：xky20相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線xy40的距離的最大值為_答案3解析由題意得，當(dāng)k0時(shí)，直線l1：kxy20的斜率為k，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)，直線l2：xky20的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)，且直線l1l2，所以點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓C上，其中圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑為r，由圓心到直線xy40的距離為d2，所以點(diǎn)P到直線xy40的最大距離為dr23.當(dāng)k0時(shí)，l1l2，此時(shí)點(diǎn)P(2,2)點(diǎn)P到直線xy40的距離d2.綜上，點(diǎn)P到直線xy40的距離的最大值為3.思維升華(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時(shí)要考慮斜率不存在的情況(2)對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究跟蹤演練1(1)(2018·上海市虹口區(qū)模擬)直線ax(a1)y10與直線4xay20互相平行，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析當(dāng)a0時(shí)，解得a2.當(dāng)a0時(shí)，兩直線顯然不平行故a2.(2)(2018·齊齊哈爾模擬)圓x2y22x4y30的圓心到直線xay10的距離為2，則a等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因?yàn)?x1)222，所以2，所以a0.熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0，表示以為圓心，為半徑的圓例2(1)圓心為(2,0)的圓C與圓x2y24x6y40相外切，則C的方程為()Ax2y24x20Bx2y24x20Cx2y24x0Dx2y24x0答案D解析圓x2y24x6y40，即(x2)2(y3)29，圓心為(2,3)，半徑為3.設(shè)圓C的半徑為r.由兩圓外切知，圓心距為53r，所以r2.故圓C的方程為(x2)2y24，展開得x2y24x0.(2)已知圓M與直線3x4y0及3x4y100都相切，圓心在直線yx4上，則圓M的方程為()A.2(y1)21B.221C.221D.2(y1)21答案C解析到兩直線3x4y0及3x4y100的距離都相等的直線方程為3x4y50，聯(lián)立方程組解得兩平行線之間的距離為2，所以半徑為1，從而圓M的方程為221.故選C.思維升華解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)跟蹤演練2(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1.當(dāng)a2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當(dāng)a1時(shí)，原方程為x2y24x8y50，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，5為半徑的圓(2)(2018·天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_答案x2y22x0解析方法一設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0.圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，解得圓的方程為x2y22x0.方法二畫出示意圖如圖所示，則OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所求圓的方程為(x1)2y21，即x2y22x0.熱點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法(1)點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r直線與圓相交，dr直線與圓相切，d>r直線與圓相離(2)判別式法：設(shè)圓C：(xa)2(yb)2r2，直線l：AxByC0(A2B20)，方程組消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為，則直線與圓相離<0，直線與圓相切0，直線與圓相交>0.2圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離設(shè)圓C1：(xa1)2(yb1)2r，圓C2：(xa2)2(yb2)2r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下：(1)d>r1r2兩圓外離(2)dr1r2兩圓外切(3)|r1r2|<d<r1r2兩圓相交(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切(5)0d<|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含例3(1)設(shè)圓C1：x2y21與圓C2：(x2)2(y2)21，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是()A外離 B外切C相交 D內(nèi)含答案A解析圓心距為2>11，故兩圓外離(2)(2018·揭陽模擬)已知直線4x3ya0與C：x2y24x0相交于A，B兩點(diǎn)，且ACB120°，則實(shí)數(shù)a的值為()A3 B10C11或21 D3或13答案D解析圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程即(x2)2y24，作CDAB于點(diǎn)D，由圓的性質(zhì)可知ABC為等腰三角形，其中|CA|CB|，則|CD|CA|×sin 30°2×1，即圓心(2,0)到直線4x3ya0的距離為d1，據(jù)此可得1，即|a8|5，解得a3或a13.思維升華(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量(2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題跟蹤演練3(1)(2018·廣州名校聯(lián)考)已知直線yax與圓C：x2y22ax2y20交于兩點(diǎn)A，B，且CAB為等邊三角形，則圓C的面積為_答案6解析圓C化為(xa)2(y1)2a21，且圓心C(a,1)，半徑R(a2>1)直線yax和圓C相交，且ABC為等邊三角形，圓心C到直線axy0的距離為Rsin 60°×，即d.解得a27.圓C的面積為R2(71)6.(2)如果圓(xa)2(ya)28上總存在到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D3，11,3答案D解析圓心(a，a)到原點(diǎn)的距離為|a|，半徑r2，圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d.因?yàn)閳A(xa)2(ya)28上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則圓(xa)2(ya)28與圓x2y22有公共點(diǎn)，r，所以rr|a|rr，即1|a|3，解得1a3或3a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，11,3.真題體驗(yàn)1(2016·山東改編)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是_答案相交解析圓M：x2(ya)2a2，圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識(shí)得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)為N(1,1)，半徑r21，|MN|.又r1r23，r1r21，r1r2<|MN|<r1r2，兩圓相交2(2016·上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy10，則l1，l2的距離是_答案3(2018·全國(guó))直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.答案2解析由x2y22y30，得x2(y1)24.圓心C(0，1)，半徑r2.圓心C(0，1)到直線xy10的距離d，|AB|222.4(2018·全國(guó)改編)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是_答案2,6解析設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得|AB|2，所以ABP面積的最大值為|AB|·dmax6，ABP面積的最小值為|AB|·dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,6押題預(yù)測(cè)1已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)比為12，則圓C的方程為()A.2y2B.2y2Cx22Dx22押題依據(jù)直線和圓的方程是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用答案C解析由已知得圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對(duì)的圓心角為.設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，a)，半徑為r，則rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圓C的方程為x22.2設(shè)m，n為正實(shí)數(shù)，若直線(m1)x(n1)y40與圓x2y24x4y40相切，則mn()A有最小值1，無最大值B有最小值32，無最大值C有最大值32，無最小值D有最小值32，最大值32押題依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)，本題與基本不等式結(jié)合考查，靈活新穎，加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系，因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大答案B解析由直線(m1)x(n1)y40與圓(x2)2(y2)24相切，可得2，整理得mn1mn.由m，n為正實(shí)數(shù)可知，mn2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，令t，則2t1t2，因?yàn)閠>0，所以t1，所以mn32.故mn有最小值32，無最大值故選B.3若圓x2y24與圓x2y2ax2ay90(a>0)相交，公共弦的長(zhǎng)為2，則a_.押題依據(jù)本題已知公共弦長(zhǎng)，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路答案解析聯(lián)立兩圓方程可得公共弦所在直線方程為ax2ay50，故圓心(0,0)到直線ax2ay50的距離為(a>0)故22，解得a2，因?yàn)閍>0，所以a.A組專題通關(guān)1若<<2，則直線1必不經(jīng)過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析令x0，得ysin <0，令y0，得xcos >0，直線過(0，sin )，(cos ，0)兩點(diǎn)，因而直線不過第二象限2(2018·呼和浩特調(diào)研)設(shè)直線l1：x2y10與直線l2：mxy30的交點(diǎn)為A，P，Q分別為l1，l2上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M為P，Q的中點(diǎn)，若|AM|PQ|，則m的值為()A2 B2 C3 D3答案A解析根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示直線l1：x2y10 與直線l2：mxy30 的交點(diǎn)為A，M 為PQ 的中點(diǎn)，若|AM|PQ|，則PAQA，即l1l2，1×m(2)×10，解得m2.3我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)，這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就現(xiàn)作出圓x2y22的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為()Ax(1)y0 B(1)xy0Cx(1)y0 D(1)xy0答案C解析如圖所示可知A(，0)，B(1,1)，C(0，)，D(1,1)，所以直線AB，BC，CD的方程分別為y(x)，y(1)x，y(1)x整理為一般式即xy0，xy0，xy0，故選C.4(2018·吳忠模擬)與直線xy40和圓x2y22x2y0都相切的半徑最小的圓的方程是()A(x1)222 B(x1)224C(x1)222 D(x1)224答案C解析圓x2y22x2y0的圓心為(1,1)，半徑為，過圓心(1,1)與直線xy40垂直的直線方程為xy0，所求的圓心在此直線上，又圓心(1,1)到直線xy40的距離為3，則所求圓的半徑為，設(shè)所求圓心為(a，b)，且圓心在直線xy40的左上方，則，且ab0，解得a1，b1(a3，b3不符合半徑最小，舍去)，故所求圓的方程為(x1)222.5(2018·孝義模擬)已知點(diǎn)P是直線l：xyb0上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O：x2y21引切線，切點(diǎn)分別為M，N，且MPN90°，若滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則b等于()A2 B±2 C. D±答案B解析由題意得PMOPNOMON90°，|MO|ON|1，四邊形PMON是正方形，|PO|，滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，OP垂直于直線xyb0，b±2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O的方程為x2y24，直線l的方程為yk(x2)，若在圓O上至少存在三點(diǎn)到直線l的距離為1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知，若圓O：x2y24上至少存在三點(diǎn)到直線l：yk(x2)的距離為1，則圓心(0,0)到直線kxy2k0的距離d應(yīng)滿足d1，即1，解得k2，即k，故選B.7(2018·安陽模擬)已知圓C1：x2y2kx2y0與圓C2：x2y2ky40的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)P(a，b)，且點(diǎn)P在直線mxny20上，則mn的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由x2y2kx2y0與x2y2ky40，相減得公共弦所在直線方程kxy40，即k(xy)0，所以由得x2，y2，即P，因此2m2n20，所以mn1，mn2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取最大值)8(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)直線xysin 30(R)的傾斜角的取值范圍是_答案解析若sin 0，則直線的傾斜角為；若sin 0，則直線的斜率k，設(shè)直線的傾斜角為，則tan ，故 ，綜上可得直線的傾斜角的取值范圍是.9(2018·安徽省“皖南八?！甭?lián)考)若過點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2y22x2ym10相切，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(1,1)解析由題意過點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2y22x2ym10相切，則點(diǎn)(2,0)在圓外，即222×2m1>0，解得m>1；由方程x2y22x2ym10表示圓，則(2)2224(m1)>0，解得m<1.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,1)10已知直線l：mxy1.若直線l與直線xmy10平行，則m的值為_；動(dòng)直線l被圓x22xy2240截得的弦長(zhǎng)的最小值為_答案12解析當(dāng)m0時(shí)，兩直線不平行；當(dāng)m0時(shí)，由題意得，所以m±1.當(dāng)m1時(shí)，兩直線重合，所以m1舍去，故m1.因?yàn)閳A的方程為x22xy2240，所以(x1)2y225，所以它表示圓心為C(1,0)，半徑為5的圓由于直線l：mxy10過定點(diǎn)P(0，1)，所以過點(diǎn)P且與PC垂直的弦長(zhǎng)最短，且最短弦長(zhǎng)為22.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x1)2y22，點(diǎn)A(2,0)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足|MA|2|MO|210，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|2|MO|210，所以(x2)2y2x2y210，即x2y22x30，因?yàn)?x1)2y22，所以y22(x1)2，所以x22(x1)22x30，化簡(jiǎn)得x.因?yàn)閥22(x1)2，所以y2，所以y.12設(shè)圓C滿足：截y軸所得弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31；圓心到直線l：x2y0的距離為d.當(dāng)d最小時(shí)，圓C的面積為_答案2解析如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，b)，則即2b2a21，所以圓心C(a，b)到直線x2y0的距離d，故d2(a24b24ab)由于a2b22ab，即4ab2a22b2，故d2(a24b24ab)(2b2a2)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))，此時(shí)r2a212，故圓的面積Sr22.B組能力提高13已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)且|AB|2，過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2y21相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：；2；2.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A B C D答案D解析根據(jù)題意，利用圓中的特殊三角形，求得圓心及半徑，即得圓的方程為(x1)2(y)22，并且可以求得A(0，1)，B(0，1)，因?yàn)镸，N在圓O：x2y21上，所以可設(shè)M(cos ，sin )，N(cos ，sin )，所以|NA|，|NB|，所以1，同理可得1，所以，(1)2，2，故都正確14若對(duì)圓(x1)2(y1)21上任意一點(diǎn)P(x，y)，的取值與x，y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa4 B4a6Ca4或a6 Da6答案D解析表示圓上的點(diǎn)到直線l1：3x4y90的距離的5倍，表示圓上的點(diǎn)到直線l2：3x4ya0的距離的5倍，所以的取值與x，y無關(guān)，即圓上的點(diǎn)到直線l1，l2的距離與圓上點(diǎn)的位置無關(guān)，所以直線3x4ya0與圓相離或相切，并且l1和l2在圓的兩側(cè)，所以d1，并且a>0，解得a6，故選D.15(2018·合肥質(zhì)檢)為保護(hù)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為A，B，C三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站，集中處理A，B，C三個(gè)自然村的垃圾，受當(dāng)?shù)貤l件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km，且與C村相距 km的地方已知B村在A村的正東方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，則垃圾處理站M與B村相距_ km.答案2或7解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心，5為半徑的圓A上，同時(shí)又在以C(3,3)為圓心，為半徑的圓C上，兩圓的方程分別為x2y225和(x3)2(y3)231.由解得或垃圾處理站M的坐標(biāo)為(5,0)或，|MB|2或|MB| 7，即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km.16點(diǎn)P(x，y)是直線2xy40上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2(y1)21的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則PAB面積的最小值為_答案解析由圓的方程C：x2(y1)21，可得圓心C(0,1)，半徑r1，則圓心到直線2xy40的距離為d，設(shè)|PC|m，則m，則SPAB|PA|2sin 2APC|PA|2sinAPCcosAPC|PA|2··，令S，m，所以S>0，所以函數(shù)S在上單調(diào)遞增，所以SminS.即(SPAB)min.