《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(一)學(xué)案 北師大版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會用符號表達點、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論． 知識點一　空間圖形的基本位置關(guān)系 對于長方體有12條棱和6個面． 思考1　12條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？ 答案　相交，平行，既不平行也不相交． 思考2　棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？ 答案　棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交． 思考3　六個面之間有哪幾

2、種位置關(guān)系． 答案　平行和相交． 梳理　 位置關(guān)系 圖形表示 符號表示 空間點與直線的位置關(guān)系 點A在直線a外 A?a 點B在直線a上 B∈a 空間點與平面的位置關(guān)系 點A在平面α內(nèi) A∈α 點B在平面α外 B?α 空間兩條直線的位置關(guān)系 平行 a∥b 相交 a∩b＝O 異面 a與b異面 空間直線與平面的位置關(guān)系 線在面內(nèi) aα 線面相交 a∩α＝A 線面平行 a∥α 空間平面與平面的位置關(guān)系 面面平行 α∥β 面面相交 α∩β＝a 異面直線 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫

3、作異面直線 知識點二　空間圖形的公理 思考1　照相機支架只有三個腳支撐說明什么？ 答案　不在同一直線上的三點確定一個平面． 思考2　一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？ 答案　直尺在桌面上． 思考3　教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規(guī)律？ 答案　這些公共點在同一直線上． 梳理　(1)空間圖形的公理 公理 內(nèi)容 圖形 符號 作用 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?lα 用來證明直線在平面內(nèi) 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面

4、(即可以確定一個平面) A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α 用來確定一個平面 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線 P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l 用來證明空間的點共線和線共點 (2)公理2的推論 推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面(圖①)． 推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖②)． 推論3：兩條平行直線確定一個平面(圖③)． 1．8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚．(　×　) 2．空間不同三點確定一個平面．(　×　) 3．一條直線和一個點確定一個平面．(　×　)

5、 類型一　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化 例1　根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系． (1)點P與直線AB； (2)點C與直線AB； (3)點M與平面AC； (4)點A1與平面AC； (5)直線AB與直線BC； (6)直線AB與平面AC； (7)平面A1B與平面AC. 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 解　(1)點P∈直線AB. (2)點C?直線AB. (3)點M∈平面AC. (4)點A1?平面AC. (5)直線AB∩直線BC＝點B. (6)直線AB平面AC. (7)平面A1B∩平面AC＝直線AB

6、. 反思與感悟　(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示． (2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別． 跟蹤訓(xùn)練1　用符號語言表示下列語句，并畫成圖形． (1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點A，B； (2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點P； (3)直線l既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)； (4)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行． 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 解　(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈

7、l，如圖． (2)l?α，P∈l，P∈α.如圖 (3)lα，lβ.如圖． (4)α∩β＝l，mα，m∥l.如圖． 類型二　平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度1　點線共面問題 例2　如圖，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQα. 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　線共面問題 證明　因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線aβ，點P∈β.因為P∈b，bα，所以P∈α.又因為aα，P?α，所以α與β重合，所以PQα. 引申探究 將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．

8、解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：a，b，c和l共面． 證明：如圖，∵a∥b， ∴a與b確定一個平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)α. ∵b∥c，∴b與c確定一個平面β，同理lβ. ∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B， 由公理2的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面， ∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面． 反思與感悟　在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明： (1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)． (2)重合法：先說明一些直線在一個平面

9、內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　線共面問題 證明　方法一　(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2α，∴B∈α.同理可證C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α. ∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 方法二　(重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β. ∵A∈l2，l2α，

10、∴A∈α. ∵A∈l2，l2β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． ∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 命題角度2　點共線、線共點問題 例3　如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點． 求證：FE，HG，DC三線共點． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知 HC1∥EB，且HC1＝EB， ∴四邊形HC1BE是平行四邊形， ∴HE∥C1

11、B. 又C1G＝GC，CF＝BF， ∴GF∥C1B，且GF＝C1B. ∴GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG與EF相交．設(shè)交點為K， ∴K∈HG，HG平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF平面ABCD，∴K∈平面ABCD， ∴K∈(平面D1C1CD∩平面ABCD)＝DC， ∴EF，HG，DC三線共點． 反思與感悟　(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上． (2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余

12、兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點． 跟蹤訓(xùn)練3　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　方法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上， 同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三

13、點共線． 方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三點共線. 1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(　　) A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α C．Al，l?α D．Al，l?α 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　B 解析　∵點A在直線l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l(xiāng)?α.故選B

14、. 2．滿足下列條件，平面α∩平面β＝AB，直線aα，直線bβ且a∥AB，b∥AB的圖形是(　　) 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　D 3．下列推理錯誤的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lα B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　C 解析　當(dāng)l?α，A∈l時，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C錯． 4．如圖，α∩β＝l，A

15、，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析　因為平面γ過A，B，C三點，M在直線AB上，所以γ與β的交線必通過點C和點M. 5.如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是________． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　P∈直線DE 解析　因為P∈A

16、B，AB平面ABC，所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE. 1．解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛． 2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想. 一、選擇題 1．下列有關(guān)平面的說法正確的是(　　) A．平行四邊形是一個平面 B．任何一個平面圖形都是

17、一個平面 C．平靜的太平洋面就是一個平面 D．圓和平行四邊形都可以表示平面 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　平面概念的應(yīng)用 答案　D 解析　我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，故A項不正確；平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，而平面無法度量，故B項不正確；太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C項不正確；在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D項正確． 2.如圖所示，用符號語言可表示為(　　) A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，nα，Am，A

18、n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　A 解析　α與β交于m，n在α內(nèi)，m與n交于點A，注意符號語言的正確運用，故選A. 3．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(　　) A．A，B，C，D四點中必有三點共線 B．A，B，C，D四點中不存在三點共線 C．直線AB與CD相交 D．直線AB與CD平行 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　B 解析　兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面． 4．空間中四點可確定的平面

19、有(　　) A．1個 B．3個 C．4個 D．1個或4個或無數(shù)個 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　確定平面問題 答案　D 解析　當(dāng)這四點共線時，可確定無數(shù)個平面；當(dāng)這四點不共線且共面時，可確定一個平面；當(dāng)這四點不共面時，其中任意三點可確定一個平面，此時可確定4個平面． 5．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有(　　) A．1條或2條 B．2條或3條 C．1條或3條 D．1條或2條或3條 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析　當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時，它們的交

20、線有2條；當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線． 6．空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中(　　) A．必有三點共線 B．可能有三點共線 C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　B 解析　如圖(1)(2)所示，A，C，D均不正確，只有B正確． 7．在空間四邊形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果GH，EF交于一點P，則(　　) A．P一定在直線BD上 B．P一定在直線AC上 C．P在直線AC或BD上 D．P既不在直線BD上，也不在

21、AC上 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　B 解析　由題意知GH平面ADC.因為GH，EF交于一點P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因為平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知點P一定在直線AC上． 8．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．C1，M，O三點共線 B．C1，M，O，C四點共面 C．C1，O，A，M四點共面 D．D1，D，O，M四點共面 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　D 解析

22、　如圖所示，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M， ∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線， ∴選項A，B，C均正確，D不正確． 二、填空題 9．已知點A，直線a，平面α. ①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，aα?A?α；③A∈a，aα?Aα. 其中說法正確的個數(shù)是________． 考點　平面的概念、畫法及表示 題點　自然語言、符號語言與圖形語言的互化 答案　0 解析?、僦小癮∈α”符號不對；②中A可以在α內(nèi)，也可在α外，故不正確；③中“Aα”符號錯． 10．若直線l上有兩個點在平面α內(nèi)

23、，則下列說法中正確的序號為________． ①直線l上至少有一個點在平面α外； ②直線l上有無窮多個點在平面α外； ③直線l上所有點都在平面α內(nèi)； ④直線l上至多有兩個點在平面α內(nèi) 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　線共面問題 答案　③ 11．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是______． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　確定平面問題 答案　1或3 解析　若三條直線兩兩相交共有三個交點，則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點時，可以確定3個平面或1個平面． 12．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是_

24、_______． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 答案　三點共線 解析　∵AC∥BD， ∴AC與BD確定一個平面， 記作平面β，則α∩β＝CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α， 又∵O∈AB，ABβ， ∴O∈β，∴O∈直線CD， ∴O，C，D三點共線． 三、解答題 13．已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：直線a，b，c，d共面． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　線共面問題 證明　(1)無三線共點情況，如圖所示，設(shè)a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S， ∵a∩d＝M，∴a，d可以確定一

25、個平面α， ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α， ∴NQα，即bα，同理cα，∴a，b，c，d共面． (2)有三線共點的情況，如圖所示， 設(shè)b，c，d三線相交于點K，與直線a分別相交于點N，P，M且K?a， ∵K?a，∴K和a確定一個平面， 設(shè)為β. ∵N∈a，aβ，∴N∈β，∴NKβ， 即bβ，同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面， 由(1)(2)可知a，b，c，d共面． 四、探究與拓展 14．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是__

26、______． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　平面基本性質(zhì)的其他簡單應(yīng)用 答案　36 解析　正方體的一條棱長對應(yīng)著2個“正交線面對”，12條棱長共對應(yīng)著24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應(yīng)著1個“正交線面對”，12條面對角線對應(yīng)著12個“正交線面對”，共有36個． 15．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面； (2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線． 考點　平面的基本性質(zhì) 題點　點共線、線共點、點在線上問題 證明　如圖． (1)因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1， 在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面． (2)在正方體AC1中， 設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β， 則Q是α與β的公共點， 同理，P點也是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β， 故R∈PQ.所以P，Q，R三點共線．