（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 系列4選講 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文考情考向分析高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線的位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)熱點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則例1(2018·東北三省四市模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：cos 3，曲線C2：4cos .(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)Q在C2上，求動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程解(1)聯(lián)立得cos ±，0<，2，所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(2)設(shè)P，Q且04cos 0，0，由已知，得4cos ，即10cos ，點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程為10cos ，.思維升華(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一(2)在與曲線的直角坐標(biāo)方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性跟蹤演練1(2018·山西省榆社中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t>0且t)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)將曲線M的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線M與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,0<2)解(1)t，x，即y(x2)，又t>0且t，由x，得t，>0且，x>2或x<0，曲線M的普通方程為y(x2)(x>2或x<0)4cos ，24cos ，x2y24x，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24xy20.(2)由得x24x30，x11(舍去)，x23，則交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，)，極坐標(biāo)為.熱點(diǎn)二參數(shù)方程與普通方程的互化1直線的參數(shù)方程過定點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2圓的參數(shù)方程圓心為點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))3圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))例2(2018·全國(guó))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.思維升華(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標(biāo)出x，y的取值范圍跟蹤演練2(2018·北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是.(1)求直線l的普通方程；(2)求直線l上的點(diǎn)到點(diǎn)M距離最小時(shí)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)解(1)直線l的普通方程為3xy60.(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(1，)，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M即為所求的直線l上到點(diǎn)M距離最小的點(diǎn)直線MM的方程是y(x1)，即yx.由解得所以直線l上到點(diǎn)M距離最小的點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.熱點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等例3(2018·泉州質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線m：(>0)(1)求C和l的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是m與C的一個(gè)交點(diǎn)(異于原點(diǎn))，點(diǎn)B是m與l的交點(diǎn)，求的最大值解(1)曲線C的普通方程為(x1)2y21，由得22sin21，化簡(jiǎn)得C的極坐標(biāo)方程為2cos .因?yàn)閘的普通方程為xy40，所以極坐標(biāo)方程為cos sin 40，所以l的極坐標(biāo)方程為sin2.(2)設(shè)A(1，)，B(2，)，則2cos ·(sin cos cos2)sin，由射線m與C，直線l相交，則不妨設(shè)，則2，所以當(dāng)2，即時(shí)，取得最大值，即max.思維升華(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義(2)在解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，常常將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于認(rèn)識(shí)方程所表示的曲線，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用跟蹤演練3(2018·黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)若曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；(2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0,1)，且曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為P，Q，求的取值范圍解(1)2cos ，22cos ，又2x2y2，cos x，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，曲線C2的普通方程為x2(y1)2t2.(2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin24>0，sin.t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t21>0，t1t21>0，t1，t2同號(hào)，|t1|t2|t1t2|.由點(diǎn)A在曲線C2上，根據(jù)t的幾何意義，可得2(2,2(2,2真題體驗(yàn)1(2018·全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan ·x2tan ，當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.2(2017·全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)，由題設(shè)知，|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (>0)所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos .于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos 4cos |sin 2cos 2|22.當(dāng)2，即時(shí)，S取得最大值2，所以O(shè)AB面積的最大值為2.押題預(yù)測(cè)1已知曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos .以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，求直線的傾斜角的值押題依據(jù)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合問題一直是高考命題的熱點(diǎn)本題考查了等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，代數(shù)式變形能力，邏輯推理能力，是一道頗具代表性的題解(1)由4cos ，得24cos .因?yàn)閤2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.(2)將代入圓的方程(x2)2y24，得(tcos 1)2(tsin )24，化簡(jiǎn)得t22tcos 30.設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得所以|AB|t1t2|，故4cos21，解得cos ±.因?yàn)橹本€的傾斜角0，)，所以或.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，其中a>b>0.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2cos ，射線l：(0)若射線l與曲線C1交于點(diǎn)P，當(dāng)0時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)Q，|PQ|1；當(dāng)時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)O，|OP|.(1)求曲線C1的普通方程；(2)設(shè)直線l：(t為參數(shù)，t0)與曲線C2交于點(diǎn)R，若，求OPR的面積押題依據(jù)將橢圓和直線的參數(shù)方程、圓和射線的極坐標(biāo)方程相交匯，考查相應(yīng)知識(shí)的理解和運(yùn)用，解題中，需要將已知條件合理轉(zhuǎn)化，靈活變形，符合高考命題趨勢(shì)解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，且a>b>0，所以曲線C1的普通方程為1，而其極坐標(biāo)方程為1.將0(0)代入1，得a，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為；將0(0)代入2cos ，得2，即點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)閨PQ|1，所以|PQ|a2|1，所以a1或a3.將(0)代入1，得b，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，因?yàn)閨OP|，所以b.又因?yàn)閍>b>0，所以a3，所以曲線C1的普通方程為1.(2)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，所以直線l的普通方程為yx(x0)，而其極坐標(biāo)方程為(R，0)，所以將直線l的方程代入曲線C2的方程2cos ，得1，即|OR|1.因?yàn)閷⑸渚€l的方程(0)代入曲線C1的方程1，得，即|OP|，所以SOPR|OP|OR|sinPOR××1×sin .A組專題通關(guān)1(2018·河南省六市聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為(0<<，R)，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，若|AB|4，求實(shí)數(shù)的值解(1)由曲線 C1 的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線 C1 的普通方程為(x2)2y24.又曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為4sin ，得24sin ， C2 的直角坐標(biāo)方程為 x2 y24y，整理得x2(y2)24.(2)曲線 C1：(x2)2y24 化為極坐標(biāo)方程為4cos .設(shè) A(1，1)，B(2，2)，又曲線 C3 的極坐標(biāo)方程為，0<<，R，點(diǎn) A是曲線C3 與 C1 的交點(diǎn)，B是曲線 C3 與C2 的交點(diǎn)，且均異于原點(diǎn)O，且|AB|4，|AB|12|4sin 4cos |44 ，sin±1，又0<<，<<，解得 .2(2018·石嘴山適應(yīng)性測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為6cos .(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的值解(1)由消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為xy10.又由6cos ，得26cos ，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y26x0.(2)將代入x2y26x0中，得t24t70，則t1t24，t1t27>0，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|4.3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：y21，曲線C2：(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線l：(0)與曲線C1，C2分別交于點(diǎn)A，B(異于原點(diǎn)O)，當(dāng)0<<時(shí)，求|OA|2|OB|2的取值范圍解(1)因?yàn)镃2：所以曲線C2的普通方程為x2(y1)21，由得曲線C2的極坐標(biāo)方程2sin .對(duì)于曲線C1：y21，由得曲線C1的極坐標(biāo)方程為2.(2)由(1)得|OA|22，|OB|224sin2，|OA|2|OB|24sin244.因?yàn)?<<，1<1sin2<，所以|OA|2|OB|2.4(2018·濰坊模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點(diǎn)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足a(a>0且a1)，點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C2的方程，并說明C2是什么曲線；(2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，已知AOB面積的最大值為42，求a的值解(1)設(shè)P(x，y)，M，由a，得點(diǎn)M在C1上，即(為參數(shù))，消去參數(shù)，得2y24a2(a>0且a1)曲線C2是以為圓心，以2a為半徑的圓(2)方法一A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)，直線OA的普通方程為yx，即xy0.設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(2a2acos ，2asin )，則B點(diǎn)到直線xy0的距離da.當(dāng)時(shí)，dmax(2)a.SAOB的最大值為×2×(2)a42，a2.方法二將xcos ，ysin 代入2y24a2，并整理得4acos ，令，得4acos .B.SAOB|OA|·|OB|·sinAOB4acos a|2sin cos 2cos2|a|sin 2cos 2|a，當(dāng)時(shí)，SAOB取得最大值(2)a，依題意知(2)a42，a2.5(2018·揭陽(yáng)模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的圓心為，半徑為，現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M，N是圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足MON，求|OM|ON|的最小值解(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x22，即x2y2y0，化為極坐標(biāo)方程為2sin 0，整理可得sin .(2)設(shè)M，N，|OM|ON|12sin sinsin cos sin.由得0，故sin1，即|OM|ON|的最小值為.B組能力提高6在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線E經(jīng)過點(diǎn)P，其參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l交E于點(diǎn)A，B，且OAOB，求證：為定值，并求出這個(gè)定值解(1)將點(diǎn)P代入曲線E的方程，得解得a23，所以曲線E的普通方程為1，極坐標(biāo)方程為21.(2)不妨設(shè)點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為A(1，)，B，1>0，2>0，則即所以，即，所以為定值.7已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos(為參數(shù))(1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若Q為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l：2cos 4sin 的距離的最小值解(1)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，由2cos，得2cos sin ，將2x2y2，cos x，sin y代入，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為221.(2)直線2cos 4sin 的直角坐標(biāo)方程為2x4y0，設(shè)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為，則M，點(diǎn)M到直線l的距離d，其中tan .d(當(dāng)且僅當(dāng)sin()1時(shí)取等號(hào))，點(diǎn)M到直線l：2cos 4sin 的距離的最小值為.8已知0，)，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))；在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l2的極坐標(biāo)方程為cos()2sin(為參數(shù))(1)求證：l1l2；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，P為直線l1，l2的交點(diǎn)，求|OP|AP|的最大值(1)證明易知直線l1的普通方程為xsin ycos 0.又cos()2sin可變形為cos cos sin sin 2sin，即直線l2的直角坐標(biāo)方程為xcos ysin 2sin0.因?yàn)閟in cos (cos )sin 0，根據(jù)兩直線垂直的條件可知，l1l2.(2)解當(dāng)2，時(shí)，cos()2cos2sin，所以點(diǎn)A在直線cos()2sin上設(shè)點(diǎn)P到直線OA的距離為d，由l1l2可知，d的最大值為1.于是|OP|AP|d·|OA|2d2，所以|OP|AP|的最大值為2.