（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線學(xué)案考情考向分析1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等)熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于點(diǎn)M.2求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值例1(1)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)為M，N，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)(異于M，N)，AF1B的周長(zhǎng)為4，且直線AM與AN的斜率之積為，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.y21答案C解析由AF1B的周長(zhǎng)為4，可知|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，解得a，則M，N(，0)設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)(x0±)，由直線AM與AN的斜率之積為，可得·，即y(x3)，又1，所以yb2，由解得b22.所以C的方程為1.(2)已知以圓C：(x1)2y24的圓心為焦點(diǎn)的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點(diǎn)，B點(diǎn)是拋物線C2：x28y上任意一點(diǎn)，BM與直線y2垂直，垂足為M，則|BM|AB|的最大值為()A1 B2 C1 D8答案A解析因?yàn)閳AC：(x1)2y24的圓心為C(1,0)，所以可得以C(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線方程為y24x，由解得A(1,2)拋物線C2：x28y的焦點(diǎn)為F(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)(A在B，F(xiàn)之間)三點(diǎn)共線時(shí)，可得最大值為1.思維升華(1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，注意當(dāng)焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定跟蹤演練1(1)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析點(diǎn)(3,4)在以|F1F2|為直徑的圓上，c5，可得a2b225.又點(diǎn)(3,4)在雙曲線的漸近線yx上，.由聯(lián)立，解得a3，b4，可得雙曲線的方程為1.(2)(2018·寧波模擬)已知雙曲線C的漸近線方程是y±2x，右焦點(diǎn)F(3,0)，則雙曲線C的方程為_(kāi)，又若點(diǎn)N(0,6)，M是雙曲線C的左支上一點(diǎn)，則FMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)答案x2162解析因?yàn)辄c(diǎn)F(3,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，則不妨設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，所以雙曲線的漸近線方程為y±x±2x，即2，又因?yàn)閍2b232，聯(lián)立，解得a1，b2，所以雙曲線的方程為x21，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，則FMN的周長(zhǎng)為|NF|MN|MF|NF|MN|2a|MF|NF|2a|NF|2|NF|2a62，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為直線NF與雙曲線的左支的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以FMN的周長(zhǎng)的最小值為62.熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e.(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系例2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若AF1F2的面積是BF1F2面積的三倍，cosAF2B，則橢圓E的離心率為()A. B. C. D.答案D解析設(shè)|F1B|k，依題意可得|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.cosAF2B，在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0，而ak>0，故a3k0，a3k，|AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|BF2|2|AF2|2|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形ca，橢圓的離心率e.(2)已知雙曲線M：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，2c.若雙曲線M的右支上存在點(diǎn)P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為()A. B.C(1,2) D.答案A解析根據(jù)正弦定理可知，所以，即|PF2|PF1|，2a，所以2a，解得，而>ac，即>ac，整理得3e24e1<0，解得<e<.又因?yàn)殡x心率e>1，所以1<e<，故選A.思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問(wèn)題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問(wèn)題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍跟蹤演練2(1)(2018·諸暨市適應(yīng)性考試)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線截橢圓y21所得弦長(zhǎng)為，則此雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.答案B解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，由橢圓的對(duì)稱性不妨取漸近線為yx，設(shè)漸近線與橢圓的交點(diǎn)為，則有解得2，則c2a2b23a2，則此雙曲線的離心率e，故選B.(2)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|c，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±2x Dy±4x答案B解析方法一由題意可設(shè)漸近線方程為yx，則直線l的斜率kl，直線l的方程為y，整理可得axbya20.焦點(diǎn)(c,0)到直線l的距離d，則弦長(zhǎng)為22c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.又雙曲線的離心率e>1，則e2，所以 ，所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.方法二圓心到直線l的距離為，c23ac2a20，c2a，ba，漸近線方程為y±x.熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問(wèn)題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)(2)幾何法：畫(huà)出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)例3(2018·浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適應(yīng)性考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，其右頂點(diǎn)A到上頂點(diǎn)的距離為，過(guò)點(diǎn)A的直線l：yk(xa)(k<0)與橢圓E交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若ABC是等邊三角形，求直線l的方程解(1)由題意可知，橢圓E的離心率e，a2b2c2，所以所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，連接CM，則由ABC為等邊三角形可知MCAB，且|MC|AB|.聯(lián)立可得(4k23)x216k2x16k2120.設(shè)B(x1，y1)，則2x1，所以x1，x0，將x0代入yk(x2)，得y0，所以M，|AB|x12|·，|MC|x0|·.由|MC|AB|，得···，解得|k|，又因?yàn)閗<0，所以k，所以直線l的方程為y(x2)，即3x4y60.思維升華解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解跟蹤演練3(2018·杭州質(zhì)檢)如圖，過(guò)拋物線M：yx2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，設(shè)G為ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，直線CG交y軸于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)A(x0，x)(x00)(1)求直線AB的方程；(2)求的值解(1)因?yàn)閥2x，所以直線AB的斜率ky2x0.所以直線AB的方程yx2x0(xx0)，即y2x0xx，即直線AB的方程為2x0xyx0.(2)由題意得，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yBx，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)C(x1，y1)，G(x2，y2)，直線CG的方程為xmyx0(m0)由聯(lián)立得m2y2(mx01)yx0.(mx01)24×m2×12mx0>0，即mx0<.因?yàn)镚為ABC的重心，所以y13y2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y24y2，y1y23y.所以，解得mx03±2，滿足>0.所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD，故4±6.真題體驗(yàn)1(2017·北京)若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a1，b2m，c，故雙曲線的離心率e，1m3，解得m2.2(2017·全國(guó)改編)若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線C的離心率為_(kāi)答案2解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2，得圓心到漸近線的距離為.由點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得b23a2.所以雙曲線C的離心率e2.3(2017·全國(guó)改編)過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為_(kāi)答案2解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線MF的方程為y(x1)聯(lián)立方程組解得 或點(diǎn)M在x軸的上方，M(3,2)MNl，N(1,2)|NF|4，|MF|MN|3(1)4.MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為2.4(2017·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)答案y±x解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24×，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為y±x.押題預(yù)測(cè)1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D2押題依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點(diǎn)答案A解析由F2(c,0)到漸近線yx的距離為db，即b，則3b.在AF2O中，c，tanF2OA，tanAOB，化簡(jiǎn)可得a22b2，即c2a2b2a2，即e，故選A.2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點(diǎn)在該橢圓上(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程押題依據(jù)橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等知識(shí)應(yīng)給予充分關(guān)注解(1)由題意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因?yàn)闄E圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以1，解得a24，所以b23，故橢圓C的方程為1.(2)由(1)知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，顯然>0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，所以|y1y2|，所以SAOB·|F1O|·|y1y2|，化簡(jiǎn)得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)又圓O的半徑r，所以r，故圓O的方程為x2y2.A組專題通關(guān)1(2017·全國(guó))已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.2(2018·嘉興市、麗水市教學(xué)測(cè)試)若雙曲線C：x2y21的右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且2，則直線l的斜率為()A± B±C±2 D±3答案D解析由題意得雙曲線的漸近線方程為x±y0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為±1或0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在且不等于±1和0時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，分別與雙曲線的兩條漸近線聯(lián)立，解得或則由2，得yP2yQ，即2×或2×，解得k3或k3，故選D.3(2018·全國(guó))已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|等于()A. B3 C2 D4答案B解析由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y± x.設(shè)兩漸近線的夾角為2，則有tan ，所以30°.所以MON260°.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.則在RtOMN中，|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.故選B.4(2018·浙江省衢州二中模擬)設(shè)橢圓E：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)A(2,1)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)P，使得|PA|PF|8，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F2(2,0)，則|PA|AF2|PF2|PA|AF2|，即|PA|1|PF2|PA|1，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，則2a|PF|PF2|7,9，則橢圓的離心率e，故選A.5拋物線C：y28x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)，若點(diǎn)P(，m)在拋物線C上，則線段PF的長(zhǎng)度為_(kāi)答案(2,0)2解析拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，因?yàn)辄c(diǎn)P(，m)在拋物線上，所以PF的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P(，m)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即|PF|2.6(2018·北京)已知橢圓M：1(a>b>0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_(kāi)；雙曲線N的離心率為_(kāi)答案12解析方法一雙曲線N的漸近線方程為y±x，則tan 60°，雙曲線N的離心率e1滿足e14，e12.由得x2.如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，由正六邊形的性質(zhì)得|ED|2xc，4x2c2.a2b2，得3a46a2b2b40，320，解得23.橢圓M的離心率e2滿足e142.e21.方法二雙曲線N的漸近線方程為y±x，則tan 60°.又c12m，雙曲線N的離心率為2.如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點(diǎn)，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則|FC|2c22，即c21.又E為橢圓M上一點(diǎn)，則|EF|EC|2a，即12a，a.橢圓M的離心率為1.7已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓x2pxy2p20交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|3|CD|，則直線l的斜率為_(kāi)答案±解析由題意得F，由x2pxy2p20，配方得2y2p2，所以直線l過(guò)圓心，可得|CD|2p，若直線l的斜率不存在，則l：x，|AB|2p，|CD|2p，不符合題意，直線l的斜率存在可設(shè)直線l的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立化為x2x0，所以x1x2p，所以|AB|x1x2p2p，由|AB|3|CD|，所以2p6p，可得k2，所以k±.8已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB斜率的絕對(duì)值之和為1，則橢圓C的離心率的取值范圍是_答案解析不妨設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，則B，所以1，1，兩式相減得，所以，所以直線PA，PB斜率的絕對(duì)值之和為2，由題意得1，所以a24b24a24c2，即3a24c2，所以e2，又因?yàn)?<e<1，所以e<1.9(2018·全國(guó))設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題意知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為xy10.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018·天津)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0)，且|FB|·|AB|6.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：ykx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若sinAOQ(O為原點(diǎn))，求k的值解(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有 ，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，由|FB|·|AB|6，可得ab6，從而a3，b2.所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2，y2)由已知有y1>y2>0，故|PQ|sinAOQy1y2.又因?yàn)閨AQ|，而OAB，所以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1 .由題意求得直線AB的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，兩邊平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值為或.B組能力提高112000多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Apollonius)發(fā)現(xiàn)：平面截圓錐的截口曲線是圓錐曲線已知圓錐的高為PH，AB為地面直徑，頂角為2，那么不過(guò)頂點(diǎn)P的平面與PH夾角>a>時(shí)，截口曲線為橢圓；與PH夾角a時(shí)，截口曲線為拋物線；與PH夾角>a>0時(shí)，截口曲線為雙曲線如圖，底面內(nèi)的直線AMAB，過(guò)AM的平面截圓錐得到的曲線為橢圓，其中與PB的交點(diǎn)為C，可知AC為長(zhǎng)軸那么當(dāng)C在線段PB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，截口曲線的短軸端點(diǎn)的軌跡為()A圓的一部分 B橢圓的一部分C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分答案D解析如圖，因?yàn)閷?duì)于給定的橢圓來(lái)說(shuō)，短軸的端點(diǎn)Q到焦點(diǎn)F的距離等于長(zhǎng)半軸a，但短軸的端點(diǎn)Q到直線AM的距離也是a，即說(shuō)明短軸的端點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離等于到定直線AM的距離，且點(diǎn)F不在定直線AM上，所以由拋物線的定義可知，短軸的端點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，故選D.12已知直線MN過(guò)橢圓y21的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，直線PQ過(guò)原點(diǎn)O與MN平行，且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則_.答案2解析方法一特殊化，設(shè)MNx軸，則，24, 2.方法二由題意知F(1,0)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|，|PQ|2b2，則2；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的斜率為k，則MN方程為yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程整理得(2k21)x24k2x2k220.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2，則|MN|·.直線PQ的方程為ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則解得x2，y2，則|OP|2x2y2，又|PQ|2|OP|，所以|PQ|24|OP|2，2.13(2018·浙江省杭州二中月考)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1且斜率為1的直線與x2y21相切，點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，G，I分別是F1PF2的重心與內(nèi)心，且，則橢圓的方程為_(kāi)答案1解析過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1且斜率為1的直線的方程為xyc0，因?yàn)槠渑c圓x2y21相切，所以1，解得c.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則F1PF2的重心G的坐標(biāo)為，即G，又因?yàn)?，所以GI平行于x軸，則F1PF2的內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為，則F1PF2的內(nèi)切圓的半徑為，則F1PF2的面積為××(|F1F2|PF1|PF2|)×|y0|×|F1F2|，即××(2c2a)×|y0|×2c，化簡(jiǎn)得a2c2，則b2a2c26，所以橢圓的方程為1.14(2018·浙江)已知點(diǎn)P(0,1)，橢圓y2m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足2，則當(dāng)m_時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大答案5解析方法一如圖，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于橢圓具有對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則xB>0，yB>0.P(0,1)，2，(xA,1yA)2(xB，yB1)xA2xB，即xA2xB.設(shè)直線AB：ykx1(k>0)將ykx1代入y2m，得(14k2)x28kx44m0.(*)xAxBxB，xB2，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)，xB取到最大值2，此時(shí)方程(*)化為x22x22m0，xA·xB2x8，即22m8，解得m5.當(dāng)點(diǎn)B在其他象限時(shí)，同理可解方法二設(shè)直線AB：ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由P(0,1)，2，得xA2xB.由得(14k2)x28kx44m0，xAxBxB，xAxB2x.消去xB，得m1.|xB|2，當(dāng)且僅當(dāng)|k|時(shí)，|xB|max2，此時(shí)m5.