（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理（重點(diǎn)生，含解析）卷卷卷2018直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算·T8雙曲線的幾何性質(zhì)·T5雙曲線的幾何性質(zhì)·T11雙曲線的幾何性質(zhì)·T11直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)·T12直線與拋物線的位置關(guān)系·T162017直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的應(yīng)用·T10雙曲線的幾何性質(zhì)·T9雙曲線的漸近線及標(biāo)準(zhǔn)方程·T5雙曲線的幾何性質(zhì)·T15拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程·T16橢圓的幾何性質(zhì)·T102016雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程·T5雙曲線的定義、離心率問(wèn)題·T11直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率問(wèn)題·T11拋物線與圓的綜合問(wèn)題·T10縱向把握趨勢(shì)卷3年6考，且每年都有2個(gè)小題同時(shí)出現(xiàn)，涉及雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，特別是雙曲線的幾何性質(zhì)及拋物線屬每年必考內(nèi)容預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)延續(xù)以上命題方式，注意圓錐曲線與其他問(wèn)題的綜合卷3年5考，且3年均考查了雙曲線的幾何性質(zhì)在2018年高考中考查了橢圓的幾何性質(zhì)，且難度較大預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查雙曲線的幾何性質(zhì)或橢圓的幾何性質(zhì)卷3年5考，涉及雙曲線的幾何性質(zhì)、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，既有選擇題，也有填空題，難度適中預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查雙曲線或橢圓的方程及性質(zhì)橫向把握重點(diǎn)1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容以選擇題、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第412或1516題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中等2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，弦長(zhǎng)、面積中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題，一般難度中等.圓錐曲線的定義與方程A2B3C4 D5解析：選B設(shè)|PF2|m，則|PF1|PF2|2a，即m42a.在PF1F2中，由余弦定理得42m22×m×4×cos 120°4(a22)聯(lián)立，解得a3.2已知雙曲線1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對(duì)稱性，得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長(zhǎng)為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.3(2018·唐山模擬)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2|BF|6，則p_.解析：設(shè)直線AB的方程為xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)A作ACl，垂足為C，過(guò)B作BDl，垂足為D，因?yàn)閨AF|2|BF|6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：44(2018·合肥質(zhì)檢)拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)拋物線E上一點(diǎn)P(在第一象限內(nèi))作l的垂線PQ，垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長(zhǎng)為16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)P(x，y)，其中x>0，y>0，由拋物線的定義知|PF|PQ|x1.根據(jù)題意知|AF|2，|QA|y，則或(舍去)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)答案：(4,4)系統(tǒng)方法1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值圓錐曲線的幾何性質(zhì)由題知法(2018·陜西質(zhì)檢)過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是()A. B.C2 D.解析因?yàn)镺MPF，且M為FP的中點(diǎn)，所以POF為等腰直角三角形，即PFO45°，則不妨令切線FM的方程為xyc，由圓心到切線的距離等于半徑得a，所以e.答案A(2018·全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120°，則C的離心率為()A. B.C. D.解析如圖，作PBx軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|PF2|2，則c1.由F1F2P120°，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.答案D如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|4，則線段AB的長(zhǎng)為()A5 B6C. D.學(xué)解題法一：直接法(學(xué)生用書(shū)不提供解題過(guò)程)如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ADl交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p.法二：性質(zhì)法(學(xué)生用書(shū)提供解題過(guò)程)如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ADl交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)?，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.答案C類題通法1橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值或范圍2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為0，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程利用e求離心率3拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)若線段AB為拋物線y22px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2；(2)焦半徑|AF|x1；(3)；(4)弦長(zhǎng)lx1x2p.當(dāng)弦ABx軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p，此時(shí)的弦又叫通徑應(yīng)用通關(guān)1(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2，則有tan ，所以30°.所以MON260°.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.在RtOMN中，|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.故選B.法二：因?yàn)殡p曲線y21的漸近線方程為y±x，所以MON60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90°，則MFO60°，又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2,0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM| ，所以|MN|OM|3，故選B.2(2018·貴陽(yáng)模擬)過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM，切點(diǎn)為M，交y軸于點(diǎn)P，若，且雙曲線的離心率e，則()A1 B2C3 D4解析：選B如圖，|OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根據(jù)射影定理得|PF|，所以|PM|b，所以.因?yàn)閑212，所以.所以2.3已知橢圓x21(0<b<1)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，C，上頂點(diǎn)為B.過(guò)F，B，C三點(diǎn)作圓P，其中圓心P的坐標(biāo)為(m，n)，當(dāng)mn>0時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選A由題意知F，B，C的坐標(biāo)分別為(c,0)，(0，b)，(1,0)，則FC，BC的垂直平分線分別為x，y，聯(lián)立解得mn>0，即bbcb2c>0，整理得(1b)(bc)>0，b>c，從而b2>c2，即a2>2c2，e2<，又e>0，0<e<.4(2019屆高三·武漢調(diào)研)過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且3，則|_.解析：過(guò)點(diǎn)P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1，由3，得|PM|2|PF|，又由拋物線的定義知|PF|PP1|，所以|PM|2|PP1|.由三角形相似得，所以|PP1|，所以|.答案：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系多維例析角度一直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e<.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8，面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C上一點(diǎn)，直線l的方程為3x0x4y0y120，求證：直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)解(1)依題意，設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，焦距為2c，由題設(shè)條件知，4a8，a2，2××2c×b2，b2c2a24，所以b，c1或b1，c(經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去)，故橢圓C的方程為1.(2)證明：當(dāng)y00時(shí)，由1，可得x0±2，當(dāng)x02，y00時(shí)，直線l的方程為x2，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0)當(dāng)x02，y00時(shí)，直線l的方程為x2，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0)當(dāng)y00時(shí)，直線l的方程為y，聯(lián)立消去y，得(4y3x)x224x0x4816y0.由點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C上一點(diǎn)，得1，可得4y3x12.于是方程可以化簡(jiǎn)為x22x0xx0，解得xx0，將xx0代入方程y可得yy0，故直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(x0，y0)，綜上，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為P(x0，y0)類題通法直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來(lái)確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.并且解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧角度二弦長(zhǎng)及面積問(wèn)題(2018·蘭州檢測(cè))已知橢圓K：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的半焦距為半徑的圓與直線xy20相切(1)求K的方程；(2)過(guò)F2的直線l交K于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交K于點(diǎn)C，若四邊形OACB的面積S滿足：a2S，求直線l的斜率解(1)由題意得解得故橢圓K的方程為y21.(2)由于直線l的傾斜角不可為零，所以設(shè)直線l的方程為myx1，與y21聯(lián)立并化簡(jiǎn)可得(m22)y22my10.設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，可得y0，x0my01.設(shè)C(x，y)，又 (>0)，所以xx0，yy0.因?yàn)镃在K上，故21m222.設(shè)h1為點(diǎn)O到直線l的距離，h2為點(diǎn)C到直線l的距離，則h2(1)h1.又由點(diǎn)到直線的距離公式得，h1.而|AB|·，所以S|AB|(h1h2)·.由題意知，S，所以.將代入式得m±1，所以直線l的斜率為±1.類題通法弦長(zhǎng)問(wèn)題的解題策略(1)在涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解(2)弦長(zhǎng)計(jì)算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)|AB|· ·，其中k為弦AB所在直線的斜率角度三弦的中點(diǎn)問(wèn)題已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程解由題意可知F，設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.(1)證明：記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上，所以ab10，記直線AR的斜率為k1，直線FQ的斜率為k2，所以k1，k2b，又因?yàn)閍b10，所以k1b，所以k1k2，即ARFQ.(2)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，所以SABF|ab|FD|ab|×，又SPQF，所以由題意可得SPQF2SABF，即2××|ab|×，解得x10(舍去)或x11.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kABkDE，可得(x1)又，所以y2x1(x1)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，所以所求軌跡方程為y2x1.類題通法弦中點(diǎn)及弦問(wèn)題的解題策略(1)對(duì)于弦的中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件>0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交(2)圓錐曲線以P(x0，y0)(y00)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是k，k，k(拋物線y22px)其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦的端點(diǎn)坐標(biāo)綜合訓(xùn)練1(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使得PB2QB2，求直線l的方程解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)因?yàn)锳B1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290°，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2，得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2.由題設(shè)條件SAB1B24，得b24，所以a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為xmy2，代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又(x12，y1)， (x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得·0，即16m2640，解得m±2.所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.2.(2018·惠州調(diào)研)如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(|PM|>|PN|)，若SPAMSPBN，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)因?yàn)锽F1x軸，所以點(diǎn)B，所以解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)因?yàn)?>2)，所以.由(1)可知P(0，1)，設(shè)直線MN：ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立化簡(jiǎn)得(4k23)x28kx80.則x1x2，x1x2.又(x1，y11)， (x2，y21)，則x1x2，即，所以22，即.因?yàn)閗>，所以(1,4)，則1<<4且>24<<42.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為(4,42) 重難增分圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)的綜合問(wèn)題典例細(xì)解(2017·全國(guó)卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0,19，)B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析當(dāng)0m3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得0m1.當(dāng)m3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)答案A啟思維本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的對(duì)稱性，求解本題時(shí)，要注意橢圓的長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸，題目中只說(shuō)A，B為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，并未說(shuō)明橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸，因此，需要根據(jù)m與3的大小關(guān)系，討論橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸(2017·全國(guó)卷)過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為()A. B2C2 D3解析法一：依題意，得直線FM的傾斜角為60°，則|MN|MF|cos 60°2，由拋物線的定義，得|MN|MF|4.又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60°，因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2.法二：由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x軸的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60°，因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2.答案C啟思維本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)涉及拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)充分利用拋物線的定義求解本題中直線的傾斜角為特殊角60°，通過(guò)解三角形更快捷(2016·全國(guó)卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B.C. D.解析如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)設(shè)E(0，m)，由PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.答案A啟思維本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解決本題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用綜合訓(xùn)練1(2018·福州模擬)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M，N在E上，MNF1F2，|MN|F1F2|，線段F2M交E于點(diǎn)Q，且，則E的離心率為()A. B.C2 D.解析：選B設(shè)雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，MNF1F2，|MN|F1F2|，|MN|c，不妨設(shè)M.，Q是線段F2M的中點(diǎn)，Q.把M，Q分別代入E的方程1(a>0，b>0)，可得15，e.2已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.解析：選D拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，因?yàn)辄c(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點(diǎn)為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x，消去x，化簡(jiǎn)得y2y2k30(k0)，由14××(2k3)0，得k2或k，因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中得y8，再將y8代入y28x中，得x8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.3.(2018·石家莊模擬)如圖，兩個(gè)橢圓的方程分別為1(a>b>0)和1(a>b>0，m>1)，從大橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別向小橢圓引切線AC，BD，若AC，BD的斜率之積恒為，則大橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選A易知大橢圓和小橢圓的離心率相等大橢圓的方程為1，則A(ma,0)，B(0，mb)，設(shè)切線AC的方程為yk1(xma)，聯(lián)立消去y，得(a2kb2)x22mka3xm2ka4a2b20，由(2mka3)24(ka2b2)(m2ka4a2b2)0，化簡(jiǎn)得ka2m2ka2b20k·，設(shè)直線BD的斜率為k2，同理可得k(m21)，kk··(m21)2，e .專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P193)一、全練保分考法保大分1直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為()A.B.C. D.解析：選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B.2(2019屆高三·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為()A. B.C2 D.解析：選C依題意，設(shè)雙曲線的漸近線yx的傾斜角為，則有3，tan ，雙曲線C的離心率e 2.3(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±3x Dy±x解析：選B由題意知，拋物線的焦點(diǎn)是(2,0)，即雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，則c2，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以3b22，即b1，于是雙曲線的漸近線方程為y±x.4(2018·昆明調(diào)研)過(guò)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若|MN|AB|，則l的傾斜角為()A15° B30°C45° D60°解析：選B分別過(guò)A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，B，Q，由拋物線的定義知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ|(|AA|BB|)|AB|，因?yàn)閨MN|AB|，所以|NQ|MN|，所以MNQ60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°.5(2018·南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. B.C1 D.解析：選B如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.設(shè)|F1F2|2c，又F1PF2，則在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化簡(jiǎn)得(2)a(2)a4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，4，又2，4，即e1·e2，橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.6(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1 B2C4 D.解析：選A不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M，故PF1M為等腰三角形，|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為MF1F2的中位線，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|_.解析：拋物線C：y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，因?yàn)殡x心率e，所以a4，所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.答案：68(2018·南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4，1)，則橢圓的離心率是_解析：設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得，0，所以·，所以，于是橢圓的離心率e.答案：9(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，則過(guò)點(diǎn)F1與漸近線yx平行的直線為yxc，聯(lián)立解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi)，故22<c2，化簡(jiǎn)得b2<3a2，即c2a2<3a2，解得<2，又雙曲線的離心率e1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案：(1,2)10(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若BF1F2的周長(zhǎng)為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為B.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線xm于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值解：(1)由題意得F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，則2a2c6.直線BF2的方程為bxcybc0，所以b，即2ca.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，則直線A1P的方程為y(x2)，所以M.又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y3.若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2，則A2MA2P，即·0，所以·(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x0±2，所以m0，解得m14.11(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)， .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形AOBM的面積解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2，y1y2)由題意知，直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.所以|AB|x1x2|，又原點(diǎn)到直線AB的距離d，所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|·d.12(2019屆高三·洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)已知短軸長(zhǎng)為2的橢圓E：1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，1，且原點(diǎn)O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程；(2)直線l經(jīng)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足 2 0，求直線l的方程解：(1)橢圓E的短軸長(zhǎng)為2，b1.依題意設(shè)直線n的方程為y1，由，解得a，故橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，顯然不符合題意當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時(shí)，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為xty，由消去x，得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2， 20，x3x1x2，y3y1y2，又點(diǎn)C在橢圓E上，y221，又y1，y1，x1x2y1y20，將x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開(kāi)分1(2018·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D.解析：選C法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如圖，過(guò)點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.2(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：選D由于橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3<a2<5.設(shè)橢圓M：y21與圓C：x2y26a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0，y0)，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為y0y1，圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)3(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動(dòng)直線l與拋物線C：x24y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2，則()242的最大值為()A24 B16C8 D16解析：選B由2知G是線段AB的中點(diǎn)，()，()242()2()24·.由A，B是動(dòng)直線l與拋物線C：x24y的交點(diǎn)，不妨設(shè)A，B，4·44 164216，()242的最大值為16.4(2018·合肥檢測(cè))已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|3|FB|.直線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N(M，N分別在點(diǎn)A，B的右側(cè))，分別作ABN和BAM的角平分線并相交于點(diǎn)P，則PAB的面積為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)閽佄锞€方程為y24x，所以其焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方，過(guò)點(diǎn)B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因?yàn)閨AF|3|FB|，所以xA13(xB1)，所以xAxB2(xB1)2|FB|，所以cosBAC，所以BAC60°，因?yàn)锳P，BP分別為BAM與ABN的角平分線，所以BAP60°，ABP30°，所以APB90°，所以|AP|2|FB|2xB2，所以SPAB|AP|AB|sin 60°×2(xB1)×4(xB1)×2(xB1)2.由BAC60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y(x1)，聯(lián)立解得x或x3，易知xB，所以SPAB2×2.5已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2CD4，BAD60°，雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2,0)，B(2,0)，C(1，)設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則c2.由a2b2c2，得b24a2，當(dāng)x1時(shí)，y2a25.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則a253，解得a242或0a242，由a242得a12，舍去，a242，即0a1.雙曲線的離心率e1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是1，)答案：1，)6(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，連接PF1并過(guò)F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(x0，y0)，QF1P為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為_(kāi)解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R，因?yàn)镻，R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|OP|OR|，又|OF1|OF2|，PF1RQ，故四邊形F1RF2P為矩形設(shè)|PF1|m，由雙曲線的定義，得|PF2|m2a.法一：因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，|PQ|m，連接QF2，則|QF2|m2a.在QPF2中，QPF245°90°135°，由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)·m·cos 135°，化簡(jiǎn)得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.法二：因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，連接QF2，則在RtQRF2中，|RQ|2m2a，|RF2|m，|QF2|m2a，由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2，化簡(jiǎn)得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.答案：