專題突破一三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)由于公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)勗诮馊切螘r(shí)，題目中隱含條件的挖掘隱含條件1.兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍解設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.c>b>a，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cosC<0.k24k12<0，解得2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k(k2)>k4，k>2，綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.反思感悟雖然是任意兩邊之和大于第三邊，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就可以跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，AB6，AC8，第三邊上的中線ADx，則x的取值范圍是_答案(1,7)解析以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，則BEAC8.AE2x.由解得1x7.x的取值范圍是(1,7)隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍例2已知ABC中，B30°，AB2，AC2，則ABC的面積是_答案2或解析由正弦定理，得sinC.C60°或C120°.當(dāng)C60°時(shí)，A90°，則SABCAB·AC·sinA2；當(dāng)C120°時(shí)，A30°，則SABCAB·AC·sinA.ABC的面積是2或.反思感悟利用正弦定理解決“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”問題時(shí)，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確出錯(cuò)跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，則B_.答案或解析由正弦定理，得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB.0B，sinB0.sinAcosCcosAsinC，sin(AC)，sin(B).sinB.又B(0，)，B或B.例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.，試判斷三角形的形狀解由和正弦定理，得，又A，B(0，)，即sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B.AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟在ABC中，sin Asin BAB是成立的，但sin 2Asin 2B2A2B或2A2B180°.跟蹤訓(xùn)練3ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ca2acos B，則B2A_.答案0解析由正弦定理，得sinCsinA2sinAcosB.ABC，C(AB)，sinCsinAsin(AB)sinAsinAcosBcosAsinBsinA2sinAcosB，sinBcosAcosBsinAsinA，sin(BA)sinA.A，B(0，)BAA或BAA(舍)B2A0.例4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.B3A，求的取值范圍解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1.ABC180°，B3A，AB4A<180°，0°<A<45°，<cosA<1，1<4cos2A1<3，1<<3.反思感悟解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗跟蹤訓(xùn)練4若在銳角ABC中，B2A，則A的取值范圍是_答案解析由ABC為銳角三角形，得解得A.例5設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2bsinA.(1)求B的大?。?2)求cosAsinC的取值范圍解(1)由正弦定理及a2bsinA得，2b，sinB，又B，B.(2)由ABC為銳角三角形，得解得A，cosAsinCcosAsinsin，A.sin，sin.cosAsinC的取值范圍為.反思感悟事實(shí)上，銳角三角形三個(gè)內(nèi)角均為銳角對角A的范圍都有影響，故CABA.由此得A.跟蹤訓(xùn)練5銳角ABC中，B60°，b，求ABC面積S的取值范圍解由正弦定理，asin Asin A2sin A.同理c2sin C，Sacsin B·2sin A·2sin C·sin 60°sin Asin C，ABC，CABA.又A，C為銳角，0<A<，<A<，Ssin Asinsin Asin Acos Asin2Asin 2A·sin，<A<，<2A<，<sin1，<sin.即S的取值范圍為.1在ABC中，必有()AsinAsinB0BsinAcosB0CsinAcosB0DcosAcosB0答案D解析在ABC中，AB，0AB.cosAcos(B)cosB.cosAcosB0.2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析由已知得sinC<sinBcosA，sin(AB)<sinBcosA，sinA·cosBcosA·sinB<sinB·cosA，又sinA>0，cosB<0，B為鈍角，故ABC為鈍角三角形3在ABC中，已知sinA，cosB，則cosC_.答案解析若A為鈍角，由sinA，知A.又由cosB.知B.從而AB.與ABC矛盾A為銳角，cosA.由cosB，得sinB.cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB).4在ABC中，C120°，ca，則a與b的大小關(guān)系是a_b.答案解析方法一由余弦定理cosC，得cos120°，整理得a2b2abb2，ab.方法二由正弦定理，得，整理得sin Asin 30°.C120°，AB60°，A30°，B30°，ab.5在ABC中，若b2ac，則的取值范圍是_答案解析設(shè)q，則由b2ac，得q.baq，caq2.由得解得q.6在鈍角ABC中，2BAC，C為鈍角，m，則m的取值范圍是_答案(2，)解析由ABC3B，知B.又C，0A，(，)·2，m(2，)7在ABC中，若c，C，求ab的取值范圍解C，AB，外接圓直徑2R2.ab2Rsin A·2Rsin B2sin Asin B2sin Asinsin.0A，A，sin1.1sin.即ab(1，)一、選擇題1已知三角形三邊之比為578，則最大角與最小角的和為()A90°B120°C135°D150°答案B解析設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為，則由余弦定理可得49256480cos ，解得cos ，(0°，180°)，60°.則最大角與最小角的和為180°60°120°.2在ABC中，A，BC3，AB，則C等于()A.或B.C.D.答案C解析由，得sin C.BC3，AB，A>C，則C為銳角，故C.3在ABC中，a15，b20，A30°，則cosB等于()A±B.CD.答案A解析因?yàn)?，所以，解得sin B. 因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B±.4已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k，則k的取值范圍是()A(2，) B(，0) C.D.答案D解析由正弦定理得amk，bm(k1)，c2mk(m>0)，即k>.5在ABC中，三邊長分別為a2，a，a2，最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的面積為()A.B.C.D.答案B解析三邊不等，最大角大于60°.設(shè)最大角為，故所對的邊長為a2，sin ，120°.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故a5，故三邊長為3，5，7，SABC×3×5×sin 120°.6ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，則ABC的形狀是()A等邊三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形答案C解析lg alg clg sin Blg ，sin B，sin B.B，B.，sin Csin Asin，cos C0，C(0，)，C.ABC.ABC是等腰直角三角形故選C.7(2017·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C等于()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)閍2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin CsinAcos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A×.由A知，C為銳角，故C.故選B.二、填空題8設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，sinB，C，則b_.答案1解析因?yàn)閟inB且B(0，)，所以B或.又因?yàn)镃，所以B，ABC.又因?yàn)閍，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A××.10若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析由余弦定理得a2c2b22accos B.S(a2c2b2)，acsin B×2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C為鈍角，CA，0A.由正弦定理得·.0tan A，×2，即2.的取值范圍是(2，)三、解答題11在ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C，c，求ABC周長的取值范圍解由正弦定理得2，a2sin A，b2sin B，則ABC的周長為Labc2(sin Asin B)2222sin .0<BA<，0<A<，<A<，<sin1，2<2sin2，ABC周長的取值范圍是(2，212在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因?yàn)閍c，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.13.(2018·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)如圖，在ABC中，B，D為邊BC上的點(diǎn)，E為AD上的點(diǎn)，且AE8，AC4，CED.(1)求CE的長；(2)若CD5，求cosDAB的值解(1)由題意可得AEC，在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AE·CEcosAEC，所以16064CE28CE，整理得CE28CE960，解得CE4.故CE的長為4.(2)在CDE中，由正弦定理得，即，所以5sinCDE4sin 4×4，所以sinCDE.因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以CDE>B，而<，所以CDE只能為鈍角，所以cosCDE，所以cosDABcoscosCDEcossinCDEsin××.14(2018·福建省三明市第一中學(xué)月考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2a2bc，A，則角C等于()A.B.或C.D.答案D解析在ABC中，由余弦定理，得cos A，即，b2c2a2bc，又b2a2bc，c2bcbc，c(1)b<b，ab，cos C，C(0，)，C，故選D.15銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，則b2c2的取值范圍是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析因?yàn)?ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，A，BC，又ABC為銳角三角形，<B<，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24442cos，又<B<，可得b2c2(5,615