（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 專題跟蹤檢測（十三）圓錐曲線的方程與性質 理（重點生，含解析）1直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.BC. D解析：選B不妨設直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B2(2019屆高三·湖南長郡中學模擬)已知F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個焦點，其關于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為()A. BC2 D解析：選C依題意，設雙曲線的漸近線yx的傾斜角為，則有3，tan ，雙曲線C的離心率e 2.3(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線1(b>0)的一個焦點與拋物線y28x的焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±3x Dy±x解析：選B由題意知，拋物線的焦點是(2,0)，即雙曲線1的一個焦點坐標是(2,0)，則c2，且雙曲線的焦點在x軸上，所以3b22，即b1，于是雙曲線的漸近線方程為y±x.4(2018·昆明調研)過拋物線C：y22px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若|MN|AB|，則l的傾斜角為()A15° B30°C45° D60°解析：選B分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A，B，Q，由拋物線的定義知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ|(|AA|BB|)|AB|，因為|MN|AB|，所以|NQ|MN|，所以MNQ60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°.5(2018·南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. BC1 D解析：選B如圖，設F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點，P是第一象限的點，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.設|F1F2|2c，又F1PF2，則在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化簡得(2)a(2)a4c2，設橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，4，又2，4，即e1·e2，橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.6(2018·長春質檢)已知O為坐標原點，設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點，P為雙曲線上任意一點，過點F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1 B2C4 D解析：選A不妨設P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點M，由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M，故PF1M為等腰三角形，|PF1|PM|且H為F1M的中點，所以OH為MF1F2的中位線，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|_.解析：拋物線C：y28x的焦點坐標為(2,0)，準線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設橢圓E的方程為1(a>b>0)，因為離心率e，所以a4，所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.答案：68(2018·南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點坐標是M(4，1)，則橢圓的離心率是_解析：設直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，因為AB的中點M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得，0，所以·，所以，于是橢圓的離心率e.答案：9(2019屆高三·惠州調研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，不妨設F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，則過點F1與漸近線yx平行的直線為yxc，聯(lián)立解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi)，故22<c2，化簡得b2<3a2，即c2a2<3a2，解得<2，又雙曲線的離心率e1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案：(1,2)10(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B，若BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為B(1)求橢圓C的方程；(2)設A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P交直線xm于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數(shù)m的值解：(1)由題意得F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，則2a2c6.直線BF2的方程為bxcybc0，所以b，即2ca.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，則直線A1P的方程為y(x2)，所以M.又點P在橢圓C上，所以y3.若以MP為直徑的圓過點A2，則A2MA2P，即·0，所以·(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又點P不同于點A1，A2，所以x0±2，所以m0，解得m14.11(2018·唐山模擬)在直角坐標系xOy中，長為1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動， .記點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點，當點M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積解：(1)設C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由| |1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點M坐標為(x1x2，y1y2)由題意知，直線AB的斜率存在設直線AB的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.所以|AB|x1x2|，又原點到直線AB的距離d，所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|·d.12(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，1，且原點O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程；(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點F且與橢圓E交于A，B兩點，若橢圓E上存在一點C滿足 2 0，求直線l的方程解：(1)橢圓E的短軸長為2，b1.依題意設直線n的方程為y1，由，解得a，故橢圓E的方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，當直線l的斜率為0時，顯然不符合題意當直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設直線l的方程為xty，由消去x，得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2， 20，x3x1x2，y3y1y2，又點C在橢圓E上，y221，又y1，y1，x1x2y1y20，將x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.二、強化壓軸考法拉開分1(2018·全國卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D解析：選C法一：不妨設一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因為|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.2(2018·合肥質檢)已知橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點P，設圓C在點P處的切線斜率為k1，橢圓M在點P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：選D由于橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點P，所以解得3<a2<5.設橢圓M：y21與圓C：x2y26a2在第一象限的公共點P(x0，y0)，則橢圓M在點P處的切線方程為y0y1，圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)3(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動直線l與拋物線C：x24y相交于A，B兩點，O為坐標原點，若2，則()242的最大值為()A24 B16C8 D16解析：選B由2知G是線段AB的中點，()，()242()2()24·.由A，B是動直線l與拋物線C：x24y的交點，不妨設A，B，4·44164216，()242的最大值為16.4(2018·合肥檢測)已知拋物線y24x的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A，B兩點，且|AF|3|FB|.直線l1，l2分別過點A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點M，N(M，N分別在點A，B的右側)，分別作ABN和BAM的角平分線并相交于點P，則PAB的面積為()A. BC. D解析：選C因為拋物線方程為y24x，所以其焦點F(1,0)，準線方程為x1，如圖所示，不妨設點B在x軸上方，過點B向l1作垂線，垂足為C.設A(xA，yA)，B(xB，yB)，因為|AF|3|FB|，所以xA13(xB1)，所以xAxB2(xB1)2|FB|，所以cosBAC，所以BAC60°，因為AP，BP分別為BAM與ABN的角平分線，所以BAP60°，ABP30°，所以APB90°，所以|AP|2|FB|2xB2，所以SPAB|AP|AB|sin 60°×2(xB1)×4(xB1)×2(xB1)2.由BAC60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y(x1)，聯(lián)立解得x或x3，易知xB，所以SPAB2×2.5已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2CD4，BAD60°，雙曲線以A，B為焦點，且與線段CD(包括端點C，D)有兩個交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析：以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點O，過點O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(2,0)，B(2,0)，C(1，)設以A，B為焦點的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則c2.由a2b2c2，得b24a2，當x1時，y2a25.要使雙曲線與線段CD(包括端點C，D)有兩個交點，則a253，解得a242或0a242，由a242得a12，舍去，a242，即0a1.雙曲線的離心率e1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是1，)答案：1，)6(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(x0，y0)，QF1P為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為_解析：設O為坐標原點，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R，因為P，R關于原點對稱，所以|OP|OR|，又|OF1|OF2|，PF1RQ，故四邊形F1RF2P為矩形設|PF1|m，由雙曲線的定義，得|PF2|m2a.法一：因為QF1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，|PQ|m，連接QF2，則|QF2|m2a.在QPF2中，QPF245°90°135°，由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)·m·cos 135°，化簡得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.法二：因為QF1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，連接QF2，則在RtQRF2中，|RQ|2m2a，|RF2|m，|QF2|m2a，由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2，化簡得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.答案：