（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第2課時(shí) 平面與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解面面垂直的定義，并能畫出面面垂直的圖形.2.掌握面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能進(jìn)行空間垂直的相互轉(zhuǎn)化.3.掌握面面垂直的證明方法，并能在幾何體中應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一平面與平面垂直的定義1條件：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直2結(jié)論：兩個(gè)平面互相垂直3記法：平面，互相垂直，記作.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的判定定理思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個(gè)重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點(diǎn)垂下時(shí)，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時(shí)鉛錘線與地面什么關(guān)系？答案都是垂直梳理平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，a知識(shí)點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直梳理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，CD，BA，BACD，B為垂足BA1若l，則過l有無數(shù)個(gè)平面與垂直()2若平面平面，任取直線l，則必有l(wèi).(×)3已知兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面(×)類型一面面垂直的判定例1如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上，求證：平面AEC平面PDB.證明設(shè)ACBDO，連接OE，ACBD，ACPD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.反思與感悟應(yīng)用判定定理證明平面與平面垂直的基本步驟跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90°，ACAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)證明：平面BDC1平面BDC.證明由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.類型二面面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)(3)直線必須垂直于它們的交線跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是DAB60°且邊長(zhǎng)為a的菱形側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)求證：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.證明(1)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又四邊形ABCD是菱形且DAB60°，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖所示，ABC為正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分別是AE，AC的中點(diǎn)，求證：(1)DEDA；(2)平面BDMN平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.解(1)取CE的中點(diǎn)F，連接DF，易知DFBC，因?yàn)镃E平面ABC，所以CEBC，所以CEDF.因?yàn)锽DCE，所以BD平面ABC，所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中，因?yàn)镋FCEDB，DFBCAB，所以RtEFDRtDBA，所以DEDA.(2)因?yàn)镋C平面ABC，所以ECBN，因?yàn)锳BC為正三角形，所以BNAC.因?yàn)镋CACC，所以BN平面ECA.又因?yàn)锽N平面BDMN，所以平面BDMN平面ECA.(3)因?yàn)镸，N分別是AE，AC的中點(diǎn)，所以MN綊CF綊BD，所以四邊形MNBD是平行四邊形，所以DMBN，由(2)知BN平面ECA，所以DM平面ECA.又因?yàn)镈M平面DEA，所以平面DEA平面ECA.反思與感悟在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四邊形ABED中，由ABAD可得，ABED為矩形，故有BECD.由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD.再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EFPD，CDEF.而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD平面BEF.由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.1下列四個(gè)命題垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行其中錯(cuò)誤的命題有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案B解析垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，不正確，如正方體的一個(gè)頂角的三個(gè)邊就不成立；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行，不正確，如正方體相鄰的三個(gè)面就不成立故選B.2如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B它們兩兩垂直C平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A.3如圖，在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC內(nèi)的正投影H必在()A直線AB上 B直線BC上C直線AC上 DABC內(nèi)部答案A解析在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC內(nèi)的射影H必在AB上故選A.4如圖所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，則EF_.答案6解析AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.又AFDE，四邊形AFED為平行四邊形，故EFAD6.5如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC平面ABCD，E為SA的中點(diǎn)求證：平面EBD平面ABCD.證明連接AC與BD交于O點(diǎn)，連接OE.O為AC的中點(diǎn)，E為SA的中點(diǎn)，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：2運(yùn)用平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需要作鋪助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直一、選擇題1設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m，則下列說法正確的是()A若l，則 B若，則lmC若l，則 D若，則lm答案A解析l，l，(面面垂直的判定定理)，故A正確2如果直線l，m與平面，滿足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且答案A解析B錯(cuò)，有可能m與相交；C錯(cuò)，可能m與相交；D錯(cuò)，有可能與相交3下列命題中正確的是()A平面和分別過兩條互相垂直的直線，則B若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線，則C若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則D若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則答案C解析當(dāng)平面和分別過兩條互相垂直且異面的直線時(shí)，平面和有可能平行，故A錯(cuò)；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯(cuò)，C正確4.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，則圖中互相垂直的平面有()A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D5對(duì)答案D解析DAAB，DAPA，DA平面PAB.同理BC平面PAB，又AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5對(duì)5如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，從而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.6下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果，那么內(nèi)所有直線都垂直于平面B如果，那么內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果不垂直于平面，那么內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果，l，那么l答案A解析若，則內(nèi)必有垂直于的直線，并非內(nèi)所有直線都垂直于，A錯(cuò)7過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面()A有且只有一個(gè) B有無數(shù)個(gè)C有且只有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D可能不存在答案C解析設(shè)兩點(diǎn)為A，B，平面為，若直線AB，則過A，B與垂直的平面有無數(shù)個(gè)；若直線AB與不垂直，即直線AB與平行、相交但不垂直或在平面內(nèi)，均存在唯一平面垂直于已知平面8在正四面體P­ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析如圖所示，BCDF，BC平面PDF，A正確由BCPE，BCAE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正確平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正確二、填空題9.如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在ABC中，AB2，ACBC，等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，則CD_.答案2解析如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DEAB.當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫鍭DB平面ABCAB，所以DE平面ABC.又CE平面ABC可知DECE.由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.10如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)若CD2，平面ABCD平面DCEF，則線段MN的長(zhǎng)為_答案解析取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG，因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MGCD，MG2，NG.因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.11.如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答題12.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1DB1C1.求證：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.證明(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)知EFBC.因?yàn)镋F平面ABC，BC平面ABC.所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因?yàn)锳1DB1C1，CC1B1C1C1，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.13.如圖，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E點(diǎn)為垂足(1)求證：PA平面ABC；(2)當(dāng)E為PBC的垂心時(shí)，求證：ABC是直角三角形證明(1)在ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DFAC于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫鍼AC平面ABC，且交線為AC，所以DF平面PAC，又PA平面PAC，所以DFAP.作DGAB于點(diǎn)G，同理可證DGAP.因?yàn)镈G、DF都在平面ABC內(nèi)，且DGDFD，所以PA平面ABC.(2)連接BE并延長(zhǎng)，交PC于點(diǎn)H.因?yàn)镋是PBC的垂心，所以PCBE.又已知AE是平面PBC的垂線，所以PCAE.又BEAEE，所以PC平面ABE.因?yàn)锳B平面ABE，所以PCAB.又因?yàn)镻A平面ABC，AB平面ABC，所以PAAB.又PCPAP，所以AB平面PAC.又AC平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形四、探究與拓展14如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)有以下四個(gè)命題：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號(hào))答案解析因?yàn)镻A平面MOB，所以不正確；因?yàn)镸OPA，而且MO平面PAC，所以正確；OC不垂直于AC，所以不正確；因?yàn)锽CAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC，所以正確15.如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說明理由(1)證明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)證明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又E為AB的中點(diǎn)，EF為PAB的中位線，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.