第5講數(shù)列調(diào)研一等差數(shù)列與等比數(shù)列備考工具1an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項和為Sn，則an2已知Sn求an時應(yīng)注意的問題(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an3遞增數(shù)列：an1>an，遞減數(shù)列：an1<an.4等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式(1)ana1(n1)d；(2)Snna1.5等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an是等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn(p，qN*)也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)組成公差為md的等差數(shù)列(6)若an是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項與an首項相同，公差是an公差的.(7)若an是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為an的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列(8)S2n1(2n1)·an.(9)兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為.6等比數(shù)列的相關(guān)公式(1)通項公式通項公式通項公式的推廣ana1qn1 (揭示首末兩項的關(guān)系)anamqnm(揭示任意兩項之間的關(guān)系)(2)前n項和公式Sn或Sn7等比數(shù)列的性質(zhì)若an為等比數(shù)列，則(1)a，c·an(c0)都是等比數(shù)列(2)各項及公比都不為0.8等比數(shù)列項的運(yùn)算性質(zhì)若mnpq(m，n，p，qN*)，則am·anap·aq.(1)特別地，當(dāng)mn2k(m，n，kN*)時，am·ana.(2)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·ana2·an1ak·ank1.9等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)若Sn是等比數(shù)列的前n項和，則當(dāng)q1時，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比數(shù)列自測自評12019·全國卷記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S40，a55，則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n解析：解法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故選A.解法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，解得選項A，a12×153；選項B，a13×1107，排除B；選項C，S1286，排除C；選項D，S12，排除D.故選A.答案：A22019·全國卷已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15，且a53a34a1，則a3()A16B8C4D2解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.答案：C32019·太原一模已知等比數(shù)列an滿足a5a82，a6·a78，則a2a11()A5B5C7D7解析：設(shè)an的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5·a8a6·a78，所以a5，a8是方程y22y80的兩根，得或.若，則q3，所以q62，q93.由a5a8a1q4a1q7a1q(q3q6)a1q2，得a1q8，故a2a11a1q(1q9)a1q(8)×7.若，則q32，所以q6(2)24，q9(2)38.由a5a8a1q4a1q7a1q(q3q6)a1q(24)2，得a1q1，故a2a11a1q(1q9)a1q(18)1×(7)7.故選D.答案：D42019·福州質(zhì)檢等比數(shù)列an的各項均為正實(shí)數(shù)，其前n項和為Sn.若a34，a2a664，則S5()A32B31C64D63解析：通解：設(shè)首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S531，故選B.優(yōu)解：設(shè)首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由a2a6a64，a34，得q2，a11，所以S531，故選B.答案：B52019·廣州綜合測試一設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若m為大于1的正整數(shù)，且am1aam11，S2m111，則m()A11B10C6D5解析：由am1aam11可得2ama1，即a2am10，解得am1，由S2m1am×(2m1)11，可得2m111，得m6，選C.答案：C62019·惠州調(diào)研已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a11,2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，則數(shù)列an的前n項和Sn()A2n1B2n11C2n1D2n解析：通解：設(shè)an的公比為q(q>0)，由題意知2a52a33a4，2a3q22a33a3q，2q223q，q2或q(舍去)，所以an2n1，Sna1a2an122n12n1.優(yōu)解：當(dāng)n1時，21110a1,212a1，排除B，D；若Sn2n1，則S22212，得到a2211，這時a1a2a3a4a51，不滿足2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，排除C，選A.答案：A72019·福建寧德模擬等差數(shù)列an中，a49，a715，則數(shù)列(1)nan的前20項和等于()A10B20C10D20解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a49，a715，得a13d9，a16d15，解得a13，d2，則an32(n1)2n1，數(shù)列(1)nan的前20項和為3579111339412222×1020.故選D.答案：D82019·江蘇卷已知數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和若a2a5a80，S927，則S8的值是_解析：通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a5a8(a1d)(a14d)a17da4d25a1da17d0，S99a136d27，解得a15，d2，則S88a128d405616.優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.S99a527，a53，又a2a5a80，則3(33d)33d0，得d2，則S84(a4a5)4(13)16.答案：1692019·北京卷設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a23，S510，則a5_，Sn的最小值為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，即可得a5a14d0.Snna1d(n29n)，當(dāng)n4或n5時，Sn取得最小值，最小值為10.答案：010102019·全國卷記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，aa6，則S5_.解析：通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：調(diào)研二數(shù)列求和備考工具1求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前n項和公式Snna1.等比數(shù)列的前n項和公式a當(dāng)q1時，Snna1；b當(dāng)q1時，Sn.(2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列(3)裂項相消：把一個數(shù)列的通項分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩有限項再求和(4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(5)倒序相加：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加，例如等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法(6)并項求和：將某些具有某種特殊性質(zhì)的項放在一起先求和，再求整體的和2常見的拆項公式(1)若an為各項都不為0的等差數(shù)列，公差為d(d0)，則；(2)；(3)；(4)logaloga(n1)logan(a>0且a1)3常見數(shù)列的前n項和(1)123n；(2)2462nn2n；(3)135(2n1)n2；(4)122232n2；(5)132333n32.自測自評12019·太原一模已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn(1)nan2n6(nN*)，則S100()A196B200C194D198解析：令n102，則S102a1022×1026，所以S102(S102S101)198，得S101198，令n101，則S101a1012×1016，所以S101(S101S100)196，得2S101S100196，將代入得S1002×196396196200，選B.答案：B22019·南昌一模楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(16231662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，則此數(shù)列前135項的和為()A21853B21852C21753D21752解析：n次的二項式系數(shù)對應(yīng)“楊輝三角”中的第n1行例如(x1)2x22x1，系數(shù)分別為1,2,1，對應(yīng)“楊輝三角”的第3行再令二項式中的x1，就可以求得該行系數(shù)之和第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推，可發(fā)現(xiàn)，每一行數(shù)除1外，第3行和為222，第4行和為232，第5行和為242，第18行和為2172.若去除所有為1的項，則剩下的，從第3行開始，每一行的個數(shù)為1,2,3,4，可以看出構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Tn，則Tn，可算得當(dāng)n16時，T16136，前135項到第18行倒數(shù)第3個數(shù)，而第18行最后兩個數(shù)為17,1，所以所求前135項的和為222232217217321721853，故選A.答案：A32019·廣東六校聯(lián)考一已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan(2n1)·3n.設(shè)bn，Sn為數(shù)列bn的前n項和，若Sn<(為常數(shù)，nN*)，則的最小值是()A.B.C.D.解析：a12a23a3nan(2n1)·3n，當(dāng)n2時，a12a23a3(n1)an1(2n3)·3n1，得，nan4n·3n1，即an4·3n1(n2)當(dāng)n1時，a134，所以an，bn.所以Sn，Sn，得，Sn，所以Sn<，所以的最小值是，故選C.答案：C42019·武漢調(diào)研已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn3Sn12n3(n2)，a11，則a4_.解析：解法一：由Sn3Sn12n3(n2)可得S23S113a11，即a22a111.根據(jù)Sn3Sn12n3(n2)，知Sn13Sn2n13，可得，an13an2n(n2)兩邊同時除以2n1可得·(n2)，令bn，可得bn1·bn(n2)bn11(bn1)(n2)，數(shù)列bn1是以b21為首項，為公比的等比數(shù)列bn1n2·(n2)，bn·n11(n2)又b1也滿足上式，bnn1·1(nN*)，又bn，an2nbn，即an3n12n.a4332411.解法二：由Sn3Sn12n3(n2)，a11，知S23S143，a21.S33S283，a31.S43S3163，a411.解法三：設(shè)Sna·2nb3(Sn1a·2n1b)(b2)，則，.Sn2n13(Sn12n)(n2)，為等比數(shù)列，首項為S14，公比為3.Sn2n1·3n1，Sn·3n12n1，a4S4S311.答案：1152019·石家莊一模已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn1Sn(nN*)，若a2<4，則Sn取最小值時n_.解析：Sn1Sn，a22a19，又n2時，SnSn1，an1ann10，a4a37，a6a55，a8a73，a10a91，a12a111，n11且n為奇數(shù)時，an1an>0，且S10a125<0，S2a1>S4a1>>S10a1，S10a1<S12a1<S14a1<，即S2>S4>>S10，S10<S12<S14<.a3a28，a5a46，a7a64，a9a82，a11a100，a13a122，n2且n為偶數(shù)時，an1an>0，S3a1>S5a1>>S9a1S11a1，S11a1<S13a1<S15a1<，即S3>S5>>S9S11，S11<S13<S15<，又S11S1045，2S102a150，S11S102a15，a2<4，a22a19，2a1>5，S11S10>0，S11>S10，Sn取得最小值時n10.答案：1062019·長沙、南昌聯(lián)考已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a18，an12an2n3，cn，bn，且數(shù)列bn的前n項和為Tn，則使Tn>10的n的最小值為_解析：由an12an2n3，得an12an4·2n1，所以4，即4，即cn1cn4，所以數(shù)列cn是首項為c14，公差為4的等差數(shù)列，故cn44(n1)4n.所以bn，于是Tnb1b2bn(1)()()1.則由1>10，解得n>120，故使Tn>10的n的最小值為121.答案：12172019·安徽五校質(zhì)檢二設(shè)數(shù)列an滿足a15，且對任意正整數(shù)n，總有(an13)(an3)4an4成立，則數(shù)列an的前2 018項的和為_解析：由(an13)(an3)4an4，得an13，因為a15，所以a20，a3，a45，a55，則數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，因為2 018504×42，且a1a2a3a4，即一個周期的和為，所以數(shù)列an的前2 018項的和為×50450835.答案：83582019·江西五校聯(lián)考在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)記Sn為數(shù)列的前n項和，若Sn，則n_.解析：由anan1(n2)得，令bn，則bn1(n2)，所以式變形為bnbn1(n2)，即(n2)，則當(dāng)n1時，b1a11，當(dāng)n2時，bnb1××××××1××××××.所以bn，即2，所以Sn22，解得n49.答案：4911