（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積學(xué)案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解祖暅原理的內(nèi)容.2.了解柱、錐、臺體的體積公式的推導(dǎo).3.掌握柱、錐、臺和球的體積公式知識點一祖暅原理思考取一摞紙張堆放在桌面上(如圖所示) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從這個事實中你得到什么啟發(fā)？答案體積沒有發(fā)生變化，從這個事實中能夠猜測出兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等梳理祖暅原理的含義及應(yīng)用(1)內(nèi)容：冪勢既同，則積不容異(2)含義：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等(3)應(yīng)用：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等知識點二柱、錐、臺、球的體積公式名稱體積(V)柱體棱柱VSh圓柱Vr2h錐體棱錐VSh圓錐Vr2h臺體棱臺Vh(S S)圓臺Vh(r2rrr2)球VR3其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑1錐體的體積等于底面面積與高之積(×)2臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差()3兩個球的半徑之比為12，則其體積之比為14.(×)類型一柱體、錐體、臺體的體積例1(1)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為_答案解析三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，三棱錐AB1BC1的高為，底面積為，故其體積為××.(2)如圖所示，在長方體ABCDABCD中，用截面截下一個棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比解設(shè)ABa，ADb，AAc，VCADDCD·SADDa·bcabc，剩余部分的體積為VABCDABCDVCADDabcabcabc，棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為15.反思與感悟(1)常見的求幾何體體積的方法公式法：直接代入公式求解等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積(2)求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺體的體積的計算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算跟蹤訓(xùn)練1已知一個三棱臺上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積解如圖，在三棱臺ABCABC中，取上、下底面的中心分別為O，O，BC，BC的中點分別為D，D，則DD是梯形BCCB的高所以S側(cè)3××(2030)×DD75DD.又因為AB20 cm，AB30 cm，則上、下底面面積之和為S上S下×(202302)325(cm2)由S側(cè)S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD×20(cm)，OD×305(cm)，所以棱臺的高h(yuǎn)OO 4(cm)由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為V(S上S下)×1 900(cm3)類型二球的體積例2(1)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案A解析作出該球軸的截面如圖所示，依題意BE2，AECE4，設(shè)DEx，故AD2x，因為AD2AE2DE2，解得x3，故該球的半徑AD5，所以VR3 (cm3)(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的體積為_答案a3解析長方體的體對角線是其外接球的直徑，由長方體的體對角線為a，得球的半徑為a，V3a3.反思與感悟(1)求球的體積，關(guān)鍵是求球的半徑R.(2)球與其他幾何體組合的問題，往往需要作截面來解決，所作的截面盡可能過球心、切點、接點等跟蹤訓(xùn)練2(1)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個平面的距離是2 cm，則該球的體積是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3答案B解析設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半徑ROA3(cm)，球的體積V××3336(cm3)(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.a2C.a2 D5a2答案B解析由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP×aa，OPa，所以球的半徑R滿足R2OA222a2，故S球4R2a2.類型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐ADED1的體積為_答案解析××1×1×1.反思與感悟(1)利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積(2)利用等體積法可求點到平面的距離跟蹤訓(xùn)練3如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求點A到平面A1BD的距離d.解在三棱錐A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，×a2·a××a×·a·d，da.命題角度2割補法例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積解如圖，連接EB，EC.四棱錐EABCD的體積V四棱錐EABCD×42×316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF，V三棱錐FEBCV三棱錐CEFBV三棱錐CABEV三棱錐EABC×V四棱錐EABCD4.多面體的體積VV四棱錐EABCDV三棱錐FEBC16420.反思與感悟當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，無法直接運用體積公式求解，這時一般通過分割與補形，將原幾何體分割或補形成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積跟蹤訓(xùn)練4如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積解用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為×22×520，故所求幾何體的體積為10.1.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A. B. C. D.答案D解析VSh××3.2若兩球的體積之和是12，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6，則兩球的半徑之差為()A1 B2 C3 D4考點柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點與球有關(guān)的體積、表面積問題答案A解析設(shè)兩球的半徑分別為R，r(Rr)，則由題意得解得Rr1.3現(xiàn)有一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降()A0.6 cm B0.15 cm C1.2 cm D0.3 cm答案A解析設(shè)杯里的水下降h cm，由題意知2h×20××32，解得h0.6 cm.4圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16，則圓錐的體積是()A. B. C64 D128答案A解析設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r.由題意知，lr，S側(cè)rl16，由可得r4，l4，V圓錐r2hr2.5設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，那么它的體積為_答案解析依題意得正六棱錐的高為2，所以VSh×6××2.1計算柱體、錐體和臺體的體積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的圓面2在求不規(guī)則的幾何體的體積時，可利用分割幾何體或補全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺、球的體積計算問題一、選擇題1如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于()A B2 C4 D8答案B解析設(shè)圓柱母線長為l，底面半徑為r，由題意得解得V圓柱r2l2.2.如圖，在正方體中，四棱錐SABCD的體積占正方體體積的()A. B.C. D不確定答案B解析由于四棱錐SABCD的高與正方體的棱長相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐SABCD的體積占正方體體積的，故選B.3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示則球的半徑是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm答案C解析設(shè)球半徑為r，則由3V球V水V柱，可得3×r3r2×6r2×6r，解得r3.4.如圖是一個下半部分為正方體、上半部分為正棱柱的盒子(中間連通)若其表面積為(44832)cm2，則其體積為()A512128 cm3B216128 cm3C51264 cm3D21664 cm3答案A解析設(shè)正方體的棱長為a cm，則5a22a2a2×244832，解得a8(cm)該幾何體的體積為a3a2·a512128(cm3)5將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A. B. C. D.答案A解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，半徑為1，其體積是××13.6一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2 cm，那么該棱柱的表面積為()A(24) cm2 B(48) cm2C(816) cm2 D(1632) cm2答案C解析一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，正四棱柱的體對角線為4，正四棱柱的底面對角線長為2，正四棱柱的高為2，該棱柱的表面積為2×224×2×2816，故選C.7.如圖，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D2答案C解析由題意，知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個圓錐(如圖)，該幾何體的體積為×12×2××12×1.8長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為，則它的外接球表面積為()A9 B8 C4 D5答案A解析設(shè)長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，則解得外接球半徑為，外接球表面積為4×29.二、填空題9如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為_考點柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點若干個幾何體的體積、表面積關(guān)系答案312解析設(shè)球的半徑為R，則V柱R2·2R2R3，V錐R2·2RR3，V球R3，故V柱V錐V球2R3R3R3312.10圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，若其弧長為2 cm，半徑為 cm，則該圓錐的體積為_ cm3.答案解析圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2 cm，半徑為 cm，故圓錐的底面周長為2 cm，母線長為 cm，則圓錐的底面半徑為1，高為1，則圓錐的體積V··12·1.11如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐AFED的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2的值為_答案解析設(shè)三棱柱的高為h，F(xiàn)是AA1的中點，則三棱錐FADE的高為，D，E分別是AB，AC的中點，SADESABC，V1SADE·，V2SABC·h，.三、解答題12有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為VV圓錐V球·(r)2·3rr3r3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V·2·hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度為r.13.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，截下一個棱錐CA1DD1，求棱錐CA1DD1的體積與剩余部分的體積之比解已知長方體是直四棱柱，設(shè)它的底面ADD1A1的面積為S，高為h，則它的體積為VSh.而棱錐CA1DD1的底面積為S，高為h，故三棱錐CA1DD1的體積×ShSh，余下部分體積為ShShSh.故棱錐CA1DD1的體積與剩余部分的體積之比為15.四、探究與拓展14如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是_答案解析VCABCVABCABC，VCAABB1.15一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請你設(shè)計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計)，使冰淇淋融化后不會溢出杯子，怎樣設(shè)計最省材料？解如圖所示，設(shè)圓錐形杯子的高為h cm，要使冰淇淋融化后不會溢出杯子，則必須V圓錐V半球，而V半球×r3××43，V圓錐Shr2h×42×h.依題意：×42×h××43，解得h8，即當(dāng)圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時，冰淇淋融化后不會溢出杯子又因為S圓錐側(cè)rlr，當(dāng)圓錐高取最小值8時，S圓錐側(cè)最小，所以高為8 cm時，制造的杯子最省材料