（魯京遼）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積學案 新人教B版必修2學習目標1.理解棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積的概念，了解它們的側面展開圖.2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積公式，并會求它們的表面積.3.掌握球的表面積公式并會求球的表面積知識點直棱柱、正棱錐、正棱臺和旋轉體的表面積幾何體側面積公式表面積(全面積)直棱柱S直棱柱側ch棱柱、棱錐、棱臺的表面積側面積底面積正棱錐S正棱錐側ch正棱臺S正棱臺側(cc)h圓柱S圓柱側2Rh圓錐S圓錐側Rl球S球4R2其中c，c分別表示上、下底面周長，h表示高，h表示斜高，R表示球的半徑1多面體的表面積等于各個面的面積之和()2斜三棱柱的側面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側棱長，c為底面周長(×)3球的表面積等于它的大圓面積的2倍(×)類型一柱、錐、臺的側(表)面積命題角度1多面體的側(表)面積例1現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側面積解如圖，設底面對角線ACa，BDb，交點為O，對角線A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.該直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的側面積為4×8×5160.反思與感悟多面體表面積的求解方法(1)棱錐、棱臺的表面積為其側面積與底面積之和，底面積根據(jù)平面幾何知識求解，求側面積的關鍵是求斜高和底面周長(2)斜高、側棱及其在底面的射影與高、底面邊長等，往往可以構成直角三角形(或梯形)，利用好這些直角三角形(或梯形)是解題的關鍵跟蹤訓練1已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，其側面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺的高是()A2 B. C3 D.答案A解析如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，連接OE、O1E1，作E1HO1O，由題意，得×4936，EE1，在RtEHE1中，E1H2EEEH24，E1H2，O1O2，故選A.命題角度2圓柱與圓錐的側(表)面積例2(1)若圓錐的母線長為2 cm，底面圓的周長為2 cm，則圓錐的表面積為_ cm2.答案3解析因為底面圓的周長為2 cm，所以底面圓的半徑為1 cm，所以圓錐的底面積為 cm2，圓錐的側面積為×2×22(cm2)，所以圓錐的表面積為3 cm2.(2)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側面積為S，則圓錐的側面積為_答案解析設圓柱的高為h，則2rhS，h.設圓錐的母線為l，l .圓錐的側面積為rlr .反思與感悟由圓柱、圓錐的側面積公式可知，要求其側面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長跟蹤訓練2軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側面積是底面積的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍答案D解析設圓錐底面半徑為r，由題意知母線長l2r，則S側r×2r2r2，2.類型二簡單組合體的表面積例3牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01 m2)解上部分圓錐體的母線長為 m，其側面積為S1××(m2)下部分圓柱體的側面積為S2×5×1.8(m2)搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為SS1S2×××5×1.850.05(m2)反思與感悟(1)組合體的側面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個簡單組合體的基本量，注意方程思想的應用(2)在實際問題中，常通過計算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時應結合實際，明確實際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計算在內，哪些面實際沒有跟蹤訓練3有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的邊長分別為3a,4a,5a (a>0)用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍解兩個相同的直棱柱拼成一個三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種，邊長為5a的邊重合在一起，表面積為24a228.三棱柱有三種，邊長為4a的邊重合在一起，表面積為24a232；邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a236；兩個相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a248.最小的是一個四棱柱，即24a228<12a248，即a2<，又a>0，0<a<.a的取值范圍為.類型三球的表面積例4有三個球，第一個球內切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比解設正方體的棱長為a.(1)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面正方形的中心，經過四個切點及球心作截面，如圖，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.綜上可得S1S2S3123.反思與感悟(1)在處理球和長方體的組合問題時，通常先作出過球心且過長方體對角面的截面圖，然后通過已知條件求解(2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結構特征構造熟悉的正方體，長方體等，通過彼此關系建立關于球的半徑的等式求解跟蹤訓練4已知H是球O的直徑AB上一點，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_答案解析如圖，設球O的半徑為R，則由AHHB12，得HA·2RR，OH.截面面積為·(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R24·2.1已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側面積的比是()A. B. C. D.考點柱體、錐體、臺體的表面積題點柱體的表面積答案A解析設圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l2r，S側l242r2.S表S側2r242r22r22r2(21)，.2若正三棱錐的斜高是高的倍，則該正三棱錐的側面積是底面積的_倍答案2解析， .設底面邊長為a，正三棱錐的側面積為3·ha，正三棱錐的底面積為3··OM·a，則正三棱錐的側面積與底面積的比為hOM2，故該正三棱錐的側面積是底面積的2倍3一個高為2的圓柱，底面周長為2，則該圓柱的表面積為_答案6解析設圓柱的底面半徑為r，高為h.由2r2，得r1，S圓柱表2r22rh246.4表面積為3的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為_答案2解析設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.1多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和棱柱的表面積等于它的側面積加兩個底面積；棱錐的表面積等于它的側面積加底面積；棱臺的表面積等于它的側面積加兩個底的面積2有關旋轉體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結到軸截面中求解而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關知識求解一、選擇題1圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是()A4S B2S CS D.S答案A解析底面半徑是，所以正方形的邊長是22，故圓柱的側面積是(2)24S.2正三棱錐的底面邊長為a，高為a，則此棱錐的側面積等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析側棱長為 a，斜高為 ，S側×3×a×a2.3兩個球的表面積之差為48，它們的大圓周長之和為12，則這兩球的半徑之差為()A4 B3 C2 D1答案C解析由題意，得即Rr2，故選C.4正方體的內切球與其外接球的體積之比為()A1 B13 C13 D19答案C解析設正方體的棱長為1，則正方體內切球的半徑為棱長的一半即為，外接球的直徑為正方體的體對角線，外接球的半徑為，其體積比為×3×313.5正六棱臺的上，下兩底面的邊長分別是1 cm,2 cm，高是1 cm，則它的側面積為()A. cm2 B. cm2C9 cm2 D8 cm2答案A解析正六棱臺的側面是6個全等的等腰梯形，上底長為1 cm，下底長為2 cm，高為正六棱臺的斜高又邊長為1 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，邊長為2 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，則梯形的高為 (cm)，所以正六棱臺的側面積為6××(12)×(cm2)6一個直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉軸，旋轉而成的圓錐的側面積為()A15 B20C12 D15或20答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉軸，旋轉而成的圓錐，有以下兩種情況：根據(jù)圓錐的側面積計算公式S側面積r×l母線長以直角邊3為旋轉軸時，旋轉而成的圓錐的側面積S4×520；以直角邊4為旋轉軸時，旋轉而成的圓錐的側面積S3×515.故選D.7底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面，且側棱長為5，它的體對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側面積是()A160 B80C40 D240答案A解析設底面邊長是a，底面的兩條對角線分別為l1，l2，所以l15252，l9252.又ll4a2，即1525292524a2，所以a8，所以S側面積ch4×8×5160.8若一個圓臺的軸截面如圖所示，則其側面積等于()A3 B. C3 D.答案A解析圓臺的母線長為，S圓臺側(12)·3.二、填空題9若一個圓錐的側面展開圖是半圓，則這個圓錐的底面面積與側面積的比是_答案12解析設該圓錐體的底面半徑為r，母線長為l，根據(jù)題意得2rl，所以l2r，所以這個圓錐的底面面積與側面積的比是r2l2r2(2r)212.10如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為_答案(2)a2解析由已知可得正方體的邊長為a，新幾何體的表面積為S表2×a×a4×2(2)a2.11.有一塔形幾何體由3個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點已知最底層正方體的棱長為2，則該塔形幾何體的表面積為_答案36解析易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，1，S表2×224×22()21236.該幾何體的表面積為36.12如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側面積，同時減去兩個圓的面積，即S6×424×22×12966.三、解答題13已知一個表面積為120 cm2的正方體的四個頂點在半球的球面上，四個頂點在半球的底面上，求半球的表面積解如圖所示為過正方體對角面的截面圖設正方體的棱長為a，半球的半徑為R，由6a2120，得a220，在RtAOB中，ABa，OBa，由勾股定理，得R2a2230.所以半球的表面積為S2R2R23R23×3090(cm2)四、探究與拓展14已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84，則該圓臺較小底面的半徑為_答案7解析設圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.由S側3(r3r)84，解得r7.15.如圖，一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個半徑為x的內接圓柱(1)試用x表示圓柱的高；(2)當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大側面積是多少？解(1)設所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖，BO1，PO3，圓柱的高為h，由圖，得，即h33x(0x1)(2)S圓柱側2hx2(33x)x6(xx2)，當x時，圓柱的側面積取得最大值為.當圓柱的底面半徑為時，它的側面積最大為.