（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點(diǎn)增分 專題八 空間位置關(guān)系的判斷與證明講義 理（普通生，含解析）全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018直線與平面所成的角、正方體的截面·T12求異面直線所成的角·T9面面垂直的證明·T19(1)面面垂直的證明·T18(1)線面垂直的證明·T20(1)2017面面垂直的證明·T18(1)求異面直線所成的角·T10圓錐、空間線線角的求解·T16線面平行的證明·T19(1)面面垂直的證明·T19(1)2016求異面直線所成的角·T11空間中線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)·T14線面平行的證明·T19(1)面面垂直的證明·T18(1)翻折問題、線面垂直的證明·T19(1)(1)高考對此部分的命題較為穩(wěn)定，一般為“一小一大”或“一大”，即一道選擇題(或填空題)和一道解答題或只考一道解答題(2)選擇題一般在第911題的位置，填空題一般在第14題的位置，多考查線面位置關(guān)系的判斷，難度較小(3)解答題多出現(xiàn)在第18或19題的第一問的位置，考查空間中平行或垂直關(guān)系的證明，難度中等 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 大穩(wěn)定1.已知是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A垂直B相交C異面 D平行解析：選D因?yàn)槭且粋€(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，m，n，且Am，A，所以n在平面內(nèi)，m與平面相交，且A是m和平面相交的點(diǎn)，所以m和n異面或相交，一定不平行2.已知直線m，l，平面，且m，l，給出下列命題：若，則ml；若，則ml；若ml，則；若ml，則.其中正確的命題是()A BC D解析：選A對于，若，m，則m，又l，所以ml，故正確，排除B.對于，若ml，m，則l，又l，所以.故正確故選A.3.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF解析：選B根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變，得AH平面EFH，B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；由條件證不出HG平面AEF，D不正確故選B.4.(2018·全國卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A. B.C. D.解析：選C如圖，連接BE，因?yàn)锳BCD，所以AE與CD所成的角為EAB.在RtABE中，設(shè)AB2，則BE，則tan EAB，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.解題方略 判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的3種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定(3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷小創(chuàng)新1.設(shè)l，m，n為三條不同的直線，其中m，n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)l時(shí)，l垂直于內(nèi)的任意一條直線，由于m，n，故“l(fā)m且ln”成立，反之，因?yàn)槿鄙賛，n相交的條件，故不一定能推出“l(fā)”，故選A.2.某折疊餐桌的使用步驟如圖所示，有如下檢查項(xiàng)目項(xiàng)目：折疊狀態(tài)下(如圖1)，檢查四條桌腿長相等；項(xiàng)目：打開過程中(如圖2)，檢查OMONOMON；項(xiàng)目：打開過程中(如圖2)，檢查OKOLOKOL；項(xiàng)目：打開后(如圖3)，檢查123490°；項(xiàng)目：打開后(如圖3)，檢查ABCDABCD.在檢查項(xiàng)目的組合中，可以判斷“桌子打開之后桌面與地面平行”的是()A BC D解析：選BA選項(xiàng)，項(xiàng)目和項(xiàng)目可推出項(xiàng)目，若MON>MON，則MN較低，MN較高，所以不平行，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?23490°，所以平面ABCD平面ABCD，因?yàn)锳BAB，所以AA平行于地面，由知，O1O1AA平面MNNM，所以桌面平行于地面，故正確；C選項(xiàng)，由得，OMON，O1AAA，O1AAA，ABAB，所以AABB，但O1A與O1A是否相等不確定，所以不確定O1O1與BB是否平行，又O1O1MN，所以不確定BB與MN是否平行，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，OKOLOKOL，所以AABB，但不確定OM與ON，OM，ON的關(guān)系，所以無法判斷MN與地面的關(guān)系，故錯(cuò)誤綜上，選B.3.(2018·全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A8 B6C8 D8解析：選C如圖，連接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，AC1B30°.又ABBC2，在RtABC1中，AC14.在RtACC1中，CC12，V長方體AB×BC×CC12×2×28.4.(2018·全國卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_解析：如圖，SA與底面成45°角，SAO為等腰直角三角形設(shè)OAr，則SOr，SASBr.在SAB中，cos ASB，sin ASB，SSABSA·SB·sin ASB×(r)2×5，解得r2，SAr4，即母線長l4，S圓錐側(cè)rl×2×440.答案：40 空間平行、垂直關(guān)系的證明 析母題典例如圖，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四邊形ABED為平行四邊形BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.PACD.PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，PDEF，CDEF.又BECD且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.練子題1在本例條件下，證明平面BEF平面ABCD.證明：如圖，連接AE，AC，設(shè)ACBEO，連接FO.ABCD，CD2AB，且E為CD的中點(diǎn)，AB綊CE.四邊形ABCE為平行四邊形O為AC的中點(diǎn)，則FO綊PA，又PA平面ABCD，F(xiàn)O平面ABCD.又FO平面BEF，平面BEF平面ABCD.2在本例條件下，若ABBC，求證BE平面PAC.證明：如圖，連接AE，AC，設(shè)ACBEO.ABCD，CD2AB，且E為CD的中點(diǎn)AB綊CE.又ABBC，四邊形ABCE為菱形，BEAC.又PA平面ABCD，BE平面ABCD，PABE.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，BE平面PAC.解題方略1直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.2直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.多練強(qiáng)化1.(2019屆高三·鄭州模擬)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE平面MNG.2.如圖，在四棱錐P­ABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BCCDAD.(1)求證：PACD.(2)求證：平面PBD平面PAB.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因?yàn)镻AAB，所以PA平面ABCD，又CD平面ABCD，所以PACD.(2)取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，由已知得，BCED，且BCED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，又CDAD，BCCD，所以四邊形BCDE是正方形，連接CE，所以BDCE.又因?yàn)锽CAE，BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以CEAB，則BDAB.由(1)知PA平面ABCD，所以PABD，又因?yàn)镻AABA，所以BD平面PAB，因?yàn)锽D平面PBD，所以平面PBD平面PAB. 平面圖形中的折疊問題 典例(2019屆高三·湖北五校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，ADC90°，ABCD，ADCDAB2，E為AC的中點(diǎn)，將ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，如圖.在圖所示的幾何體D­ABC中(1)求證：BC平面ACD；(2)點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD平面BEF，求幾何體F­BCE的體積解(1)證明：AC 2，BACACD45°，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22AC×AB×cos 45°8，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E為AC的中點(diǎn)，EF為ACD的中位線，由(1)知，VF­BCEVB­CEF×SCEF×BC，SCEFSACD××2×2，VF­BCE××2.解題方略平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形多練強(qiáng)化如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EFAB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF平面ECDF，如圖.(1)求證：NC平面MFD；(2)若EC3，求證：NDFC；(3)求四面體NEFD體積的最大值解：(1)證明：四邊形MNEF和四邊形EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MN綊CD.四邊形MNCD是平行四邊形，NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)證明：連接ED，平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，F(xiàn)CNE.ECCD，四邊形ECDF為正方形，F(xiàn)CED.又EDNEE，ED，NE平面NED，F(xiàn)C平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)設(shè)NEx，則FDEC4x，其中0<x<4，由(2)得NE平面FEC，四面體NEFD的體積為VNEFDSEFD·NEx(4x)V四面體NEFD22，當(dāng)且僅當(dāng)x4x，即x2時(shí)，四面體NEFD的體積最大，最大值為2.邏輯推理轉(zhuǎn)化思想在平行、垂直證明中的應(yīng)用典例如圖，在三棱錐A­BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB，又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.素養(yǎng)通路本題(1)證明線面平行的思路是轉(zhuǎn)化為證明線線平行，即證明EF與平面ABC內(nèi)的一條直線平行，從而得到EF平面ABC；(2)證明線線垂直可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，由平面ABD平面BCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得BC平面ABD，則可證明AD平面ABC，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得到ADAC.考查了邏輯推理這一核心素養(yǎng) 一、選擇題1已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線EF和GH肯定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要條件2關(guān)于直線a，b及平面，下列命題中正確的是()A若a，b，則abB若，m，則mC若a，a，則D若a，ba，則b解析：選CA是錯(cuò)誤的，因?yàn)閍不一定在平面內(nèi)，所以a，b有可能是異面直線；B是錯(cuò)誤的，若，m，則m與可能平行，可能相交，也可能線在面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C是正確的，由直線與平面垂直的判斷定理能得到C正確；D是錯(cuò)誤的，直線與平面垂直，需直線與平面中的兩條相交直線垂直3已知空間兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，n，則mnD若m，n，則mn解析：選D若m，n，則m與n平行或異面，即A錯(cuò)誤；若m，n，則m與n相交或平行或異面，即B錯(cuò)誤；若m，n，則m與n相交、平行或異面，即C錯(cuò)誤，故選D.4.如圖，在三棱錐P­ABC中，不能證明APBC的條件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：選BA中，因?yàn)锳PPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC平面APC，平面BPC平面APCPC，BCPC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以APBC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出APBC，故選B.5如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐D­ABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的結(jié)論是()A BC D解析：選B由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，結(jié)合知正確；由知不正確故選B.6(2018·全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A. B.C. D.解析：選A如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD­A1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN6××××sin 60°.故選A.二、填空題7(2018·天津六校聯(lián)考)設(shè)a，b為不重合的兩條直線，為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：若a且b，則ab；若a且a，則；若，則一定存在平面，使得，；若，則一定存在直線l，使得l，l.其中真命題的序號是_解析：中a與b也可能相交或異面，故不正確垂直于同一直線的兩平面平行，正確中存在，使得與，都垂直，正確中只需直線l且l就可以，正確答案：8若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正確的個(gè)數(shù)是_解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正確的只有.答案：9.如圖，ACB90°，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，則三棱錐D­AEF 體積的最大值為_解析：因?yàn)镈A平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF.又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB.又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE為三棱錐D­AEF的高因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE，設(shè)AFa，F(xiàn)Eb，則AEF的面積Sab××(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)等號成立)，所以(VD­AEF)max××.答案：三、解答題10.(2018·長春質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面ACE；(2)設(shè)PA1，AD，PCPD，求三棱錐P­ACE的體積解：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE.在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由題意得ACAD，所以VP­ACEVP­ACDVP­ABCD×SABCD·PA××2××()2×1.11.如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1上一點(diǎn)(1)當(dāng)CF2時(shí)，證明：B1F平面ADF；(2)若FDB1D，求三棱錐B1­ADF的體積解：(1)證明：因?yàn)锳BAC，D是BC的中點(diǎn)，所以ADBC.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，因?yàn)锽B1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因?yàn)锽CB1BB，所以AD平面B1BCC1.因?yàn)锽1F平面B1BCC1，所以ADB1F.在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90°，所以B1FFD.因?yàn)锳DFDD，所以B1F平面ADF.(2)由(1)知AD平面B1DF，CD1，AD2，在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.因?yàn)镕DB1D，所以RtCDFRtBB1D，所以，即DF×，所以VB1­ADFVA­B1DFSB1DF×AD××××2.12(2018·石家莊摸底)如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，ABPDDA2PE，CD3PE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(1)求證：BF平面ADP；(2)已知O是BD的中點(diǎn)，求證：BD平面AOF.證明：(1)取PD的中點(diǎn)為G，連接FG，AG，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，F(xiàn)G是梯形CDPE的中位線，CD3PE，F(xiàn)G2PE，F(xiàn)GCD，CDAB，AB2PE，ABFG，ABFG，即四邊形ABFG是平行四邊形，BFAG，又BF平面ADP，AG平面ADP，BF平面ADP.(2)延長AO交CD于M，連接BM，F(xiàn)M，BAAD，CDDA，ABAD，O為BD的中點(diǎn)，四邊形ABMD是正方形，則BDAM，MD2PE.MD綊FG.四邊形DMFG為平行四邊形FMPD，PD平面ABCD，F(xiàn)M平面ABCD，F(xiàn)MBD，AMFMM，BD平面AMF，即BD平面AOF.