（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：86分項(xiàng)練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 理1(2018·貴陽(yáng)模擬)如圖，在ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若a，b，則等于()A.abB.abC.abD.ab答案B解析在ABC中，BE是AC邊上的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，()，a，b，ab.2若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a|1，|b|2，|2ab|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)a，b的夾角為，0，則由|a|1，|b|2，|2ab|2，得(2ab)212，即(2a)24a·bb244a·b412，所以a·b1，所以cos ，所以.3(2018·上饒模擬)設(shè)D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且BC2，則·等于()A. B. C. D.答案C解析如圖，|2，60°，D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，···|2·|2×4×2×2××4.4(2018·南昌模擬)在周易中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有238(種)組合方法，這便是系辭傳所說(shuō)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有兩種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次有八種情況所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)陰爻的概率是()A. B. C. D.答案B解析在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為n2664，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件數(shù)為mC20，所以這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)陰爻的概率是P.5(2018·聊城模擬)在ABC中，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，則··的最小值為()A1 B2 C2 D1答案C解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0,2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則，(x，y)，故···2·2222，當(dāng)且僅當(dāng)x0，y1時(shí)等號(hào)成立所以··的最小值為2.6(2018·大連模擬)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：先請(qǐng)高二年級(jí) 500名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)(0<x<1,0<y<1)；若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為m；根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m估計(jì)的值假如本次試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m113，那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.答案A解析由題意，500對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)滿足面積為1，設(shè)能與1構(gòu)成銳角三角形的最大角為，則三邊的數(shù)對(duì)(x，y)需滿足cos >0且即x2y2>1且面積為1，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)能與1構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)m113，所以1，所以.7(2018·南平質(zhì)檢)我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作有周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、夏侯陽(yáng)算經(jīng)、孫丘建算經(jīng)、海島算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)、緝古算機(jī)等10部算書(shū)，被稱為“算經(jīng)十書(shū)”某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣一天，他們根據(jù)最近對(duì)這十部書(shū)的閱讀本數(shù)情況說(shuō)了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷保腥さ氖?，他們說(shuō)的這些話中，只有一個(gè)人說(shuō)的是真實(shí)的，而這個(gè)人正是他們四個(gè)人中讀書(shū)本數(shù)最少的一個(gè)(他們四個(gè)人對(duì)這十部書(shū)閱讀本數(shù)各不相同)甲、乙、丙、丁按各人讀書(shū)本數(shù)由少到多的排列是()A乙甲丙丁 B甲丁乙丙C丙甲丁乙 D甲丙乙丁答案D解析由題意可列表格如下：甲乙丙丁甲說(shuō)丁>乙乙說(shuō)甲>丙丙說(shuō)丙>丁丁說(shuō)丙>乙對(duì)于選項(xiàng)A，甲，丁說(shuō)的都對(duì)，不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，丙，丁說(shuō)的都對(duì)，也不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，乙說(shuō)的對(duì)，但乙不是最少的，不符合；對(duì)于選項(xiàng)D，甲說(shuō)的對(duì)，也正好是最少的，符合，選D.8已知在三角形ABC中，AB<AC，BAC90°，邊AB，AC的長(zhǎng)分別為方程x22(1)x40的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若斜邊BC上有異于端點(diǎn)的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF1，EAF，則tan 的取值范圍為 ()A. B.C. D.答案C解析由題意可知AB2，AC2，BC4.建立如圖所示的坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)設(shè)，則F(22，2)，E.所以·(22，2)·34342122316243162.因?yàn)辄c(diǎn)A到BC邊的距離d，所以AEF的面積SAEFEF·為定值所以tan ，故tan ，故選C.9已知向量a(2,4)，|b|2，|a2b|8，則a在ab方向上的投影為_(kāi)答案解析由a(2,4)，|b|2，|a2b|8，可知|a|2，(a2b)2a24b24a·b64，則a·b7，所以a在ab方向上的投影為.10(2018·東北師大附中模擬)孫子算經(jīng)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆問(wèn)：五人各得幾何？”其意思為：有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少個(gè)橘子這個(gè)問(wèn)題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是_答案18解析設(shè)第一個(gè)人分到的橘子個(gè)數(shù)為a1，由題意得S55a1×360，解得a16，則a5a1(51)×361218.11(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|1，|b|，則向量a2b與a的夾角為_(kāi)答案解析a·bcos ，a·(a2b)a22a·b，|a2b|1.設(shè)向量a2b與a的夾角為，cos ，又因?yàn)?，所以.12(2018·寧德質(zhì)檢)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人，他在張丘建算經(jīng)中給出一個(gè)解不定方程的百雞問(wèn)題，問(wèn)題如下：雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解其解題過(guò)程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)m的值為_(kāi)答案4解析由得y25x，故x必為4的倍數(shù)，當(dāng)x4t時(shí)，y257t，由y257t>0得，t的最大值為3，故判斷框應(yīng)填入的是t<4？，即m4.13(2018·湘潭模擬)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有倉(cāng)，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬(wàn)斛，問(wèn)高幾何？”其意思為：“今有一個(gè)長(zhǎng)方體(記為ABCDA1B1C1D1)的糧倉(cāng)，寬3丈(即AD3丈)，長(zhǎng)4丈5尺，可裝粟一萬(wàn)斛，問(wèn)該糧倉(cāng)的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是_(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))該糧倉(cāng)的高是2丈；異面直線AD與BC1所成角的正弦值為；長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的外接球的表面積為平方丈答案解析由題意，因?yàn)?0 000×2.730×45×AA1，解得AA120(尺)2(丈)，故正確；異面直線AD與BC1所成角為CBC1，則sinCBC1，故錯(cuò)誤，此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面積為42(平方丈)，所以是正確的14(2018·咸陽(yáng)模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個(gè)點(diǎn)，且，則ABC面積的最大值為_(kāi)答案1解析如圖所示，由知，四邊形ABDC為平行四邊形，又A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑，ABC的面積SAB·AC·AD2，當(dāng)AD是圓的直徑時(shí)，ABC的面積最大當(dāng)ABAC 時(shí)，ABC的面積取得最大值×41.