2022年人教A版高中數學 高三一輪（文） 第三章 3-5兩角和與差的三角函數值教案1兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()；cos()cos cos sin sin (C()；sin()sin cos cos sin (S()；sin()sin cos cos sin (S()；tan()(T()；tan()(T()2二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3在準確熟練地記住公式的基礎上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等如T(±)可變形為tan ±tan tan(±)(1tan tan )，tan tan 11.【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)存在實數，使等式sin()sin sin 成立()(2)在銳角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定(×)(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對任意角，都成立(×)(4)存在實數，使tan 22tan .()(5)設sin 2sin ，(，)，則tan 2.()1(xx·浙江改編)已知R，sin 2cos ，則tan 2 .答案解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2.化簡得：4sin 23cos 2，tan 2.2若，則tan 2 .答案解析由，等式左邊分子、分母同除cos 得，解得tan 3，則tan 2.3(xx·課標全國)設為第二象限角，若tan，則sin cos .答案解析tan，tan ，即且為第二象限角，解得sin ，cos .sin cos .4(xx·課標全國)函數f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值為 答案1解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值為1.題型一三角函數公式的基本應用例1(1)設tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan()的值為 (2)若0<<，<<0，cos()，cos()，則cos() .答案(1)3(2)解析(1)由根與系數的關系可知tan tan 3，tan tan 2.tan()3.(2)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()0<<，則<<，sin().又<<0，則<<，則sin().故cos()××.思維升華三角函數公式對使公式有意義的任意角都成立使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補、互余等關系(1)若(，)，tan()，則sin .(2)計算：sin 10°(tan 5°) .答案(1)(2)解析(1)tan()，tan ，cos sin .又sin2cos21，sin2.又(，)，sin .(2)原式sin 10°·.題型二三角函數公式的靈活應用例2(1)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)·cos(110°x)的值為 (2)化簡： .(3)求值： .答案(1)(2)cos 2x(3)解析(1)原式sin(65°x)·cos(x20°)cos(65°x)cos90°(x20°)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)sin(x20°)sin(65°x)(x20°)sin 45°.(2)原式cos 2x.(3)原式tan(45°15°).思維升華運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()·(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉化的能力(1)已知(0，)，化簡： .(2)在ABC中，已知三個內角A，B，C成等差數列，則tantantantan的值為 答案(1)cos (2)解析(1)原式.因為(0，)，所以cos>0，所以原式(cossin)·(cossin)cos2sin2cos .(2)因為三個內角A，B，C成等差數列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .題型三三角函數公式運用中角的變換例3(1)已知，均為銳角，且sin ，tan().則sin() ，cos .(2)(xx·課標全國改編)已知sin 2，則cos2 .答案(1)(2)解析(1)，(0，)，從而<<.又tan()<0，<<0.sin()，cos().為銳角，sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin()××().(2)因為cos2，所以cos2.思維升華1.解決三角函數的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”2常見的配角技巧：2()()，()，()()等(1)設、都是銳角，且cos ，sin()，則cos .(2)已知cos()sin ，則sin()的值是 答案(1)(2)解析(1)依題意得sin ，cos()±±.又，均為銳角，所以0<<<，cos >cos()因為>>，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)cos()sin ，cos sin ，(cos sin )，sin()，sin()，sin()sin().高考中的三角函數求值、化簡問題典例：(1)若tan 22，<2<2，則 .(2)(xx·課標全國改編)設(0，)，(0，)，且tan ，則2 .(3)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2 .(4) .思維點撥(1)注意和差公式的逆用及變形(2)“切化弦”，利用和差公式、誘導公式找，的關系(3)可以利用sin2cos21尋求sin ±cos 與sin cos 的聯系(4)利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉化解析(1)原式，又tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .<2<2，<<.tan ，故原式32.(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.(3)方法一sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos >0，2k<<2k(kZ)，4k<2<4k(kZ)，2為第三象限角，cos 2.方法二由sin cos 兩邊平方得12sin cos ，2sin cos .為第二象限角，sin >0，cos <0，sin cos .由得cos 22cos21.(4)原式sin 30°.答案(1)32(2)(3)(4)溫馨提醒(1)三角函數的求值化簡要結合式子特征，靈活運用或變形使用公式(2)三角求值要注意角的變換，掌握常見的配角技巧方法與技巧1巧用公式變形：和差角公式變形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2，sin2，配方變形：1±sin 2，1cos 2cos2，1cos 2sin2.2重視三角函數的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當的三角公式恒等變形失誤與防范1運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通2在(0，)范圍內，sin()所對應的角不是唯一的3在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值.A組專項基礎訓練 (時間：40分鐘)1已知tan()，tan，那么tan .答案解析因為，所以()，所以tantan.2若，sin 2，則sin .答案解析由sin 2和sin2cos21得(sin cos )21()2，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .3已知tan 4，則的值為 答案解析，tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos2得.4(xx·重慶)4cos 50°tan 40° .答案解析4cos 50°tan 40°.5已知cos(x)，則cos xcos(x)的值是 答案1解析cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin x(cos xsin x)cos(x)1.6 .答案解析.7已知、均為銳角，且cos()sin()，則tan .答案1解析根據已知條件：cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin )sin (cos sin )0，即(cos sin )(cos sin )0.又、為銳角，則sin cos >0，cos sin 0，tan 1.8. .答案4解析原式4.9已知 2tan ，試確定使等式成立的的取值集合解因為 ，所以2tan .所以sin 0或|cos |cos >0.故的取值集合為|k或2k<<2k或2k<<2k，kZ10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因為sin cos ，兩邊同時平方，得sin .又<<，所以cos .(2)因為<<，<<，所以<<，故<<.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin()××.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1函數ysin(x)(>0)的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，記APB，則sin 2的值是 答案解析由周期公式可知函數周期為2，AB2.過P作PDAB于D，由函數的最大值為1，知PD1，根據函數的圖象，可得AD，BD.在RtAPD和RtBPD中，sinAPD，cosAPD，sinBPD，cosBPD.所以sin sin(APDBPD)，cos cos(APDBPD)，故sin 22sin cos 2××.2若，且sin2cos 2，則tan 的值為 答案解析，且sin2cos 2，sin2cos2sin2，cos2，cos 或(舍去)，tan .3若tan ，(0，)，則sin(2) .答案解析因為sin 2，又由(0，)，得2(0，)，所以cos 2，所以sin(2)sin 2coscos 2sin××.4已知函數f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0<<，求證：f()220.(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值為2.(2)證明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，兩式相加得2cos cos 0，0<<，f()224sin220.5已知f(x)(1)sin2x2sin(x)·sin(x)(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.所以sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范圍是.