（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間中點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.2.了解軌跡和圖形的關(guān)系.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系知識點(diǎn)一構(gòu)成幾何體的基本元素思考1平面幾何研究的主要對象是什么？構(gòu)成平面圖形的基本元素是什么？答案平面圖形；點(diǎn)與直線思考2構(gòu)成幾何體的基本元素是什么？答案點(diǎn)、線、面梳理幾何體的定義(1)定義：只考慮一個物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個空間部分叫做一個幾何體(2)構(gòu)成空間幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面知識點(diǎn)二長方體思考長方體的基本元素有哪些？如何定義？答案6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)，長方體是由六個矩形(包括它的內(nèi)部)圍成的梳理長方體的概念(1)基本元素：長方體有12條棱，8個頂點(diǎn)，6個面(2)面：圍成長方體的各個矩形(3)棱：相鄰兩個面的公共邊(4)頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)知識點(diǎn)三平面思考平的鏡面是一個平面嗎？答案不是，數(shù)學(xué)中的平面是個抽象的概念，它是無限延展的梳理平面的概念(1)特征：平面是處處平直的面，是無限延展的(2)畫法：通常畫一個平行四邊形表示一個平面(3)命名：用希臘字母，來命名，還可以用表示它的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來命名知識點(diǎn)四空間中直線、平面的位置關(guān)系思考空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些？答案直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行平面與平面的位置關(guān)系有平面與平面平行、平面與平面相交兩種梳理特殊位置關(guān)系的幾個定義比較位置關(guān)系定義圖形及符號表示平行線面若直線和平面沒有公共點(diǎn)，則說直線和平面平行AB平面面面若兩個平面沒有公共點(diǎn)，則說這兩個平面平行平面平面垂直線面若一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則說直線與平面垂直l平面面面若兩個平面相交，并且其中一個平面通過另一個平面的一條垂線，則說這兩個平面互相垂直平面平面距離點(diǎn)面點(diǎn)到平面的垂線段的長度，稱作點(diǎn)到平面的距離兩平面夾在兩平行平面間垂線段的長度稱作兩平面間的距離18個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚(×)2空間不同三點(diǎn)確定一個平面(×)3一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面(×)類型一幾何體的基本元素例1試指出下圖中各幾何體的基本元素解(1)中幾何體有6個頂點(diǎn)，12條棱和8個面(2)中幾何體有12個頂點(diǎn)，18條棱和8個面(3)中幾何體有6個頂點(diǎn)，10條棱和6個面(4)中幾何體有2條曲線，3個面(2個平面和1個曲面)反思與感悟點(diǎn)是最基本的元素，只有位置，沒有大?。恢本€沒有粗細(xì)，向兩方無限延伸；平面沒有厚度，向周圍無限延展要熟記這三種基本元素的特點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中要多觀察幾何體，以便加深對構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識跟蹤訓(xùn)練1如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，下列說法正確的有_(填序號)長方體的頂點(diǎn)一共有8個；線段AA1所在的直線是長方體的一條棱；矩形ABCD所在的平面是長方體的一個面；長方體由六個平面圍成答案類型二空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定例2如圖所示，在長方體ABCDABCD中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個面延展為平面，那么在這12條直線與6個平面中：(1)與直線BC平行的平面有哪幾個？(2)與直線BC垂直的平面有哪幾個？(3)與平面BC平行的平面有哪幾個？(4)與平面BC垂直的平面有哪幾個？(5)平面AC與平面AC間的距離可以用哪些線段來表示？解(1)有平面ADDA與平面ABCD.(2)有平面ABBA、平面CDDC.(3)有平面ADDA.(4)有平面ABBA、平面CDDC、平面ABCD與平面ABCD.(5)可用線段AA，BB，CC，DD來表示反思與感悟(1)解決此類問題的關(guān)鍵在于識圖，根據(jù)圖形識別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直(2)長方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對其認(rèn)識有助于進(jìn)一步認(rèn)識立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2下列關(guān)于長方體ABCDA1B1C1D1中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的說法正確的是_(填序號)直線AA1與直線BB1平行；直線AA1與平面C1D1DC相交；直線AA1與平面ABCD垂直；點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平面ABCD的距離相等答案解析正確，由于AA1與BB1是矩形ABB1A1的一組對邊，所以AA1BB1；不正確，由于直線AA1與平面C1D1DC沒有交點(diǎn)，所以AA1平面C1D1DC；正確，由于直線AA1與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AB，AD垂直，所以AA1平面ABCD；正確，點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為AA1，點(diǎn)B1到平面ABCD的距離為BB1，又AA1BB1，因此距離相等類型三幾何體的表面展開圖例3把如圖所示的幾何體沿線段AA及與上、下底相關(guān)的棱剪開，然后放在平面上展開，試畫出這些圖形解畫出的相應(yīng)圖形如圖所示反思與感悟多面體表面展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型在解題過程中，給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖(2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖跟蹤訓(xùn)練3一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，ABC_.答案60°解析將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖由圖可知ABBCAC，所以ABC為等邊三角形所以ABC60°.1有以下結(jié)論：平面是處處平的面；平面是無限延展的；平面的形狀是平行四邊形；一個平面的厚度可以是0.001 cm.其中正確的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)平面的概念、面法及表示題點(diǎn)平面概念的應(yīng)用答案B解析平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，兩種說法是正確的；兩種說法是錯誤的故選B.2下列結(jié)論正確的個數(shù)有()曲面上可以存在直線；平面上可存在曲線；曲線運(yùn)動的軌跡可形成平面；直線運(yùn)動的軌跡可形成曲面；曲面上不能畫出直線A3 B4 C5 D2答案B解析由空間中構(gòu)成幾何體的基本元素可判斷均正確，而曲面上可以畫出直線，所以錯誤，故選B.3下列說法正確的是()A在空間中，一個點(diǎn)運(yùn)動成直線B在空間中，直線平行移動形成平面C在空間中，直線繞該直線上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動形成平面或錐面D在空間中，矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動形成長方體答案C解析一個點(diǎn)運(yùn)動也可以成曲線，故A錯；在空間中，直線平行移動可以形成平面或曲面，故B錯；在空間中，矩形上各點(diǎn)沿鉛垂線向上(或向下)移動相同距離所形成的幾何體是長方體，故D錯4.在長方體ABCDA1B1C1D1中(如圖所示)，和棱A1B1不相交的棱有_條答案7解析在長方體中一共有12條棱，除去與A1B1相交的與其本身，還剩7條5如圖，一個封閉的長方體，它的六個表面各標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個字母之一，現(xiàn)放置成如圖三種不同的位置，則字母A，B，C對面的字母分別為_答案E，D，F(xiàn)解析第一個正方體已知A，C，D，第二個正方體已知B，C，E，第三個正方體已知A，B，C，且不同的面上寫的字母各不相同，則可知，A對面標(biāo)的是E，B對面標(biāo)的是D，C對面標(biāo)的是F.1點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素2平面是無限延展的，通常畫一個平行四邊形表示一個平面3平面的記法(1)平面一般用希臘字母、來命名；(2)平面圖形頂點(diǎn)法4認(rèn)識空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系，我們可以動手制作一些模型或畫出圖形，來幫助我們理解和提高空間想象能力一、選擇題1下列不屬于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的是()A點(diǎn) B線段C曲面 D多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))答案D解析空間中的幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，而線有直線和曲線之分，面有平面和曲面之分，只有多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素2下列說法正確的是()A水平放置的平面是大小確定的平行四邊形B平面ABCD即平行四邊形ABCD的四條邊圍起來的部分C一條直線和一個平面一定會有公共點(diǎn)D平面是光滑的，可向四周無限延展答案D解析平面可以用平行四邊形來表示，但平行四邊形只是平面的一部分，不能理解為平面，A錯；平面是一個抽象的概念，是無限延展的，沒有大小、厚薄之分，B錯；直線和平面可以沒有公共點(diǎn)，此時直線和平面平行，C錯故選D.3下列關(guān)于長方體的敘述中不正確的是()A將一個矩形沿豎直方向平移一段距離一定能形成一個長方體B長方體中相對的面互相平行C長方體某一底面上的高就是這一面與其所對面的距離D兩相對面之間的棱互相平行且等長答案A解析A選項(xiàng)中，若矩形斜放，則不會形成長方體，故選A.4下列四個長方體中，由圖中的紙板折成的是()答案A解析根據(jù)題圖中紙板的折疊情況及特殊面的陰影部分可以判斷B，C，D不正確，故選A.5.某同學(xué)制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為()答案A解析兩個不能并列相鄰，B、D錯誤；兩個不能并列相鄰，C錯誤，故選A.也可通過實(shí)物制作檢驗(yàn)來判定6兩個平面可以將空間分成()A3部分 B4部分C2或4部分 D3或4部分答案D解析當(dāng)兩平面平行時，將空間分成3部分；當(dāng)兩平面相交時，將空間分成4部分，故選D.二、填空題7下列說法：任何一個幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面；一個幾何體可以沒有頂點(diǎn)；一個幾何體可以沒有棱；一個幾何體可以沒有面其中正確的是_(填序號)答案解析球只有一個曲面圍成，故錯，對，由于幾何體是空間圖形，故一定有面，錯8.在如圖所示的長方體ABCDABCD中，互相平行的平面共有_對，與AA垂直的平面是_答案3平面ABCD，平面ABCD解析平面ABCD與平面ABCD平行，平面ABBA與平面CDDC平行，平面ADDA與平面BCCB平行，共3對與AA垂直的是平面ABCD，平面ABCD.9線段AB的長為5 cm，在水平面上向右移動4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3 cm后記為CD，再將CD沿水平方向向左移動4 cm后記為AB，依次連接構(gòu)成長方體ABCDABCD.(1)該長方體的高為_ cm.(2)平面ABBA與平面CDDC間的距離為_ cm.(3)點(diǎn)A到平面BCCB的距離為_ cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如圖，(1)該長方體的高為3 cm.(2)平面ABBA與平面CDDC間的距離為4 cm.(3)A到平面BCCB的距離為5 cm.10一個正方體去掉一個“角”后減少了一個頂點(diǎn)，這個幾何圖形是_(填序號)答案解析正方體共有8個頂點(diǎn)，去掉一個“角”后減少了一個頂點(diǎn)即有7個頂點(diǎn)11如圖是一個正方體的表面展開圖，A，B，C均為所在棱的中點(diǎn)，D為正方體的頂點(diǎn)若正方體的棱長為2，則封閉折線ABCDA的長為_答案2解析如圖，ABBCCDDA2，即折線ABCDA的長為2.ABBCCDDA2.三、解答題12如圖所示，指出幾何體的點(diǎn)、線、面解其中的點(diǎn)有A，B，C，D，M，N.其中的線有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13如圖所示是一個正方體表面的展開圖，圖中四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中的位置關(guān)系是什么？解選擇一個面為底面，將圖形向上折成正方體，如圖，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，則線段AB與EF相交，線段HG與CD相交，線段EF與CD平行四、探究與拓展14如圖，模塊均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊由15個棱長為1的小正方體構(gòu)成現(xiàn)從模塊中選出三個放到模塊上，使得模塊成為一個棱長為3的大正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為()A模塊， B模塊，C模塊， D模塊，答案A解析先將放入中的空缺部分，然后在上層放入，可得正方體，而可驗(yàn)證其余不合題意故選A.15如圖是邊長為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住，請制作出模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線解通過正方體的展開圖(如圖所示)，可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A，B兩點(diǎn)間的線段的長，為(m)由展開圖可以發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn)爬行的最短路線如圖(1)(6)所示