第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【課程要求】1理解命題的概念及命題構(gòu)成，了解“若p，則q”形式命題的逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系2理解必要條件、充分條件與充要條件的意義對應(yīng)學(xué)生用書p4【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)“對頂角相等”是命題()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”()(3)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件()(4)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立()(5)若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件()答案 (1)(2)×(3)(4)(5)2選修21p8T3下列命題是真命題的是()A矩形的對角線相等B若ab，cd，則acbdC若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)D命題“若x20，則x1”的逆否命題答案A3選修21p12T2(2)“x30”是“(x3)(x4)0”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要4命題“若x2>y2，則x>y”的否命題是()A若x<y，則x2<y2B若xy，則x2y2C若x2>y2，則x<yD若x2y2，則xy解析根據(jù)原命題和其否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的否命題是“若x2y2，則xy”答案D5若xR，則“x>1”是“<1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析當(dāng)x>1時(shí)，<1成立，而當(dāng)<1時(shí)，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件，選A.答案A6已知命題：“若x0，y0，則xy0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4解析由題得原命題“若x0，y0，則xy0”是真命題，所以其逆否命題也是真命題逆命題為：“若xy0，則x0，y0”，是假命題，所以否命題也是假命題，所以四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為2.答案B【知識要點(diǎn)】1命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以_判斷真假_的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做_真命題_，判斷為假的語句叫做_假命題_2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題間的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有_相同_的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性_沒有關(guān)系_3充要條件充分條件與必要條件的定義從集合角度理解若pq，則p是q的_充分_條件，q是p的_必要_條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的_充分不必要_條件pq且q/pA是B的_真子集_p是q的_必要不充分_條件p/q且qpB是A的_真子集_p是q的_充要_條件pqABp是q的_既不充分也不必要_條件p/q且q/pA，B互不_包含_集合與充要條件的關(guān)系對應(yīng)學(xué)生用書p4四種命題及其相互關(guān)系例1(1)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是()A若x<y，則x2<y2B若xy，則x2y2C若x>y，則x2>y2D若xy，則x2y2解析根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若xy，則x2y2”答案B(2)(多選)下列命題是真命題的是()A“若a2<b2，則a<b”的否命題B“全等三角形的面積相等”的逆命題C“若a>1，則ax22axa3>0的解集為R”的逆否命題D“若x(x0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題解析對于A，否命題為“若a2b2，則ab”，為假命題；對于B，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，為假命題；對于C，當(dāng)a>1時(shí)，12a<0，原命題為真，從而其逆否命題為真；對于D，原命題為真命題，從而其逆否命題為真命題答案CD小結(jié)(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提(2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假1命題“已知a>1，若x>0，則ax>1”的否命題為()A已知0<a<1，若x>0，則ax>1B已知a>1，若x0，則ax>1C已知a>1，若x0，則ax1D已知0<a<1，若x0，則ax1解析命題中，“已知a>1”是大前提，在四種命題中不能改變；“x>0”是條件，“ax>1”是結(jié)論由于命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，故該命題的否命題為“已知a>1，若x0，則ax1”故選C.答案C2設(shè)原命題：“若ab2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”，則原命題與其逆命題的真假情況是()A原命題真，逆命題假B原命題假，逆命題真C原命題與逆命題均為真命題D原命題與逆命題均為假命題解析可以考慮原命題的逆否命題，即“a，b都小于1，則ab<2”，顯然為真其逆命題，即“若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則ab2”為假，如a1.2，b0.2，則ab<2.答案A充分、必要條件的判斷例2(1)對于直線m，n和平面，m成立的一個(gè)充分條件是()Amn，nBm，Cm，n，nDmn，n，解析對于選項(xiàng)C，因?yàn)閙，n，所以mn，又n，所以m，故選C.答案C(2)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析法一：數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d，2S510a120d.若d0，則21d20d，10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，則10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件故選C.法二：S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0，“d0”是“S4S62S5”的充要條件故選C.答案C小結(jié)充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題3已知條件p：x>1或x<3，條件q：5x6>x2，則綈p是綈q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由5x6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以qp，p/q，所以綈p綈q，綈q/綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選A.答案A4在ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由正弦定理知2R(R為ABC外接圓半徑)若sinA>sinB，則>，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要條件答案C根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍例3(1)已知集合A，Bx|xm26若“xA”是“xB”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析由yx在上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增，得2y<，A.由xm26，得x6m2，Bx|x6m2“xA”是“xB”的充分不必要條件，AB，6m22，解得m2或m2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案(2)已知集合A，Bx|1<x<m1，xR，若xB成立的一個(gè)充分不必要條件是xA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析Ax|1<x<3，xB成立的一個(gè)充分不必要條件是xA，AB，m1>3，即m>2.答案小結(jié)充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解；(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)5若“x>2m23”是“1<x<4”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A3，3 B(，33，)C(，11，) D1，1解析“x>2m23”是“1<x<4”的必要不充分條件，(1，4)(2m23，)，2m231，解得1m1，故選D.答案D6已知p：|x1|>2，q：x22x1a20(a>0)，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由題可得p：x>3或x<1, q：x22x1a20，x(1a)·x(1a)0，a0，1a1a，解得x1a或x1a.因?yàn)閝是p的必要不充分條件，故解得0a2.答案 (0，2充要條件的證明例4設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知條件p：對n，mN*，當(dāng)n>m時(shí)，總有SnSmSnmmd( 其中d為常數(shù))，條件q：數(shù)列是等差數(shù)列求證：條件p是條件q的充要條件解析 (充分性)當(dāng)nm時(shí)，總有SnSmSnmmd，當(dāng)n2時(shí)，SnSn1S1(n1)d，即ana1(n1)d，且n1也成立，當(dāng)n2時(shí)，anan1a1(n1)da1(n2)dd，數(shù)列an是等差數(shù)列；(必要性)數(shù)列an是等差數(shù)列，當(dāng)nm時(shí)，SnSmSnmam1am2anSnm(nm)am1d(nm)(am1a1)m(nm)d，SnSmSnmm(nm)d，條件p：“對n，mN*，當(dāng)n>m時(shí)，總有SnSmSnmmd( 其中d為常數(shù))”是條件q: “數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件小結(jié)充分條件、必要條件以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為高考命題的熱點(diǎn)高考主要考查充分條件、必要條件的判斷，常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題充分條件、必要條件作為一個(gè)重要載體，考查的數(shù)學(xué)知識面較廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識各個(gè)方面對應(yīng)學(xué)生用書p6(2019·全國卷理)設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是()A內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B內(nèi)有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面解析由面面平行的判定定理知：內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的充分條件；由面面平行的性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的必要條件故的充要條件是內(nèi)有兩條相交直線與平行故選B.答案B9