2022年高考數(shù)學大二輪復(fù)習 專題六 解析幾何 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線練習1(2018·全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A. BC. D解析：a24228，a2，e.答案：C2一個焦點為(，0)且與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.1 B1C.1 D1解析：設(shè)所求雙曲線方程為t(t0)，因為一個焦點為(，0)，所以|13t|26，又焦點在x軸上，所以t2，即雙曲線方程為1.選B.答案：B3若點P為拋物線y2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A2 BC. D解析：由題意知x2y，則F，設(shè)P(x0,2x)，則|PF|2x，所以當x0時，|PF|min.答案：D4雙曲線1(a>0，b>0)的實軸為A1A2，虛軸的一個端點為B，若三角形A1A2B的面積為b2，則雙曲線的離心率為()A. BC. D解析：設(shè)B(0，b)，則|A1A2|2a，因為三角形A1A2B的面積為b2，所以S×2a·babb2，即ab，則離心率e.答案：B5設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，點O為坐標原點，離心率為.點A的坐標為(a,0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，且滿足|BM|2|MA|，則直線OM的斜率為()A. BC. D解析：由題意知，點M，又e，故，即1，故1，即，故kOM，故選C.答案：C6(2018·北京卷)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y24ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_解析：由題知直線l的方程為x1，則直線與拋物線的交點為(1，±2)(a>0)又直線被拋物線截得的線段長為4，所以44，即a1.所以拋物線的焦點坐標為(1,0)答案：(1,0)7已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率e，2，則一條漸近線與x軸所成角的取值范圍是_解析：e，2，24，又c2a2b2，24，13，1，設(shè)所求角為，則tan ，1tan ，.答案：8過橢圓C：1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則等于_解析：由已知條件得橢圓C的左焦點F(1,0)，直線l的方程為y(x1)由得5x28x0，解得x0或x，A(0，)，B.又F(1,0)，|AF|2，|BF|.答案：9(2018·成都市第一次診斷性檢測)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F(，0)，長半軸與短半軸的比值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點A(1,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N.若點B(0,1)在以線段MN為直徑的圓上，求直線l的方程解析：(1)由題可知c，2，a2b2c2，a2，b1.橢圓C的方程為y21.(2)易知當直線l的斜率為0或直線l的斜率不存在時，不合題意當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立，得消去x可得(4m2)y22my30.16m248>0，y1y2，y1y2.點B在以MN為直徑的圓上，·0，·(my11，y11)·(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，(m21)(m1)20，整理，得3m22m50，解得m1或m.直線l的方程為xy10或3x5y30.10已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長為4.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點(0,1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，求OAB的面積解析：(1)依題意可得解得雙曲線的標準方程為x21.(2)由題意得直線l的方程為yx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得3x22x50.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|·× .原點O到直線l的距離d，SOAB·|AB|·d××.即OAB的面積為.B級1(2018·全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左，右焦點，O是坐標原點過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D解析：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因為|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.故選C.答案：C2(2018·全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90°，則k_.解析：法一：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k.設(shè)AB中點M(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點，M為AB的中點，MM平行于x軸，y1y22，k2.法二：由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90°，得·0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：23已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，其一個頂點是拋物線x24y的焦點(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，求直線l的方程和點M的坐標解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得b，解得a2，c1.故橢圓C的標準方程為1.(2)因為過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因為直線l與橢圓C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得96(2k1)0，解得k.所以直線l的方程為y(x2)1x2.將k代入式，可以解得M點的橫坐標為1，故切點M的坐標為.4已知橢圓1的右焦點為F，設(shè)直線l：x5與x軸的交點為E，過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點，M為線段EF的中點(1)若直線l1的傾斜角為，求ABM的面積S的值；(2)過點B作直線BNl于點N，證明：A，M，N三點共線解析：(1)由題意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)直線l1的傾斜角為，k1.直線l1的方程為yx1，即xy1.代入橢圓方程，可得9y28y160.y1y2，y1y2.SABM·|FM|·|y1y2|.(2)證明：設(shè)直線l1的方程為yk(x1)代入橢圓方程，得(45k2)x210k2x5k2200，則x1x2，x1x2.直線BNl于點N，N(5，y2)kAM，kMN.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0，kAMkMN.故A，M，N三點共線