2022年高考數(shù)學大二輪復(fù)習 專題六 解析幾何 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線練習
2022年高考數(shù)學大二輪復(fù)習 專題六 解析幾何 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線練習1(2018·全國卷)已知橢圓C:1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()A. BC. D解析:a24228,a2,e.答案:C2一個焦點為(,0)且與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.1 B1C.1 D1解析:設(shè)所求雙曲線方程為t(t0),因為一個焦點為(,0),所以|13t|26,又焦點在x軸上,所以t2,即雙曲線方程為1.選B.答案:B3若點P為拋物線y2x2上的動點,F(xiàn)為拋物線的焦點,則|PF|的最小值為()A2 BC. D解析:由題意知x2y,則F,設(shè)P(x0,2x),則|PF|2x,所以當x0時,|PF|min.答案:D4雙曲線1(a>0,b>0)的實軸為A1A2,虛軸的一個端點為B,若三角形A1A2B的面積為b2,則雙曲線的離心率為()A. BC. D解析:設(shè)B(0,b),則|A1A2|2a,因為三角形A1A2B的面積為b2,所以S×2a·babb2,即ab,則離心率e.答案:B5設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0),點O為坐標原點,離心率為.點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,且滿足|BM|2|MA|,則直線OM的斜率為()A. BC. D解析:由題意知,點M,又e,故,即1,故1,即,故kOM,故選C.答案:C6(2018·北京卷)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸,若l被拋物線y24ax截得的線段長為4,則拋物線的焦點坐標為_解析:由題知直線l的方程為x1,則直線與拋物線的交點為(1,±2)(a>0)又直線被拋物線截得的線段長為4,所以44,即a1.所以拋物線的焦點坐標為(1,0)答案:(1,0)7已知雙曲線1(a>0,b>0)的離心率e,2,則一條漸近線與x軸所成角的取值范圍是_解析:e,2,24,又c2a2b2,24,13,1,設(shè)所求角為,則tan ,1tan ,.答案:8過橢圓C:1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A,B兩點,則等于_解析:由已知條件得橢圓C的左焦點F(1,0),直線l的方程為y(x1)由得5x28x0,解得x0或x,A(0,),B.又F(1,0),|AF|2,|BF|.答案:9(2018·成都市第一次診斷性檢測)已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點為F(,0),長半軸與短半軸的比值為2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點A(1,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M,N.若點B(0,1)在以線段MN為直徑的圓上,求直線l的方程解析:(1)由題可知c,2,a2b2c2,a2,b1.橢圓C的方程為y21.(2)易知當直線l的斜率為0或直線l的斜率不存在時,不合題意當直線l的斜率存在且不為0時,設(shè)直線l的方程為xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2)聯(lián)立,得消去x可得(4m2)y22my30.16m248>0,y1y2,y1y2.點B在以MN為直徑的圓上,·0,·(my11,y11)·(my21,y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20,(m21)(m1)20,整理,得3m22m50,解得m1或m.直線l的方程為xy10或3x5y30.10已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率為,虛軸長為4.(1)求雙曲線的標準方程;(2)過點(0,1),傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,求OAB的面積解析:(1)依題意可得解得雙曲線的標準方程為x21.(2)由題意得直線l的方程為yx1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由得3x22x50.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2,x1x2,|AB|x1x2|·× .原點O到直線l的距離d,SOAB·|AB|·d××.即OAB的面積為.B級1(2018·全國卷)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a>0,b>0)的左,右焦點,O是坐標原點過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|OP|,則C的離心率為()A. B2C. D解析:如圖,過點F1向OP的反向延長線作垂線,垂足為P,連接PF2,由題意可知,四邊形PF1PF2為平行四邊形,且PPF2是直角三角形因為|F2P|b,|F2O|c,所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|,|PP|2a,所以|F2P|ab,所以ca,所以e.故選C.答案:C2(2018·全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C:y24x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點若AMB90°,則k_.解析:法一:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則yy4(x1x2),k.設(shè)AB中點M(x0,y0),拋物線的焦點為F,分別過點A,B作準線x1的垂線,垂足為A,B,則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0,y0)為AB中點,M為AB的中點,MM平行于x軸,y1y22,k2.法二:由題意知,拋物線的焦點坐標為F(1,0),設(shè)直線方程為yk(x1),直線方程與y24x聯(lián)立,消去y,得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x21,x1x2.由M(1,1),得(1x1,1y1),(1x2,1y2)由AMB90°,得·0,(x11)(x21)(y11)(y21)0,x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1,y1y2k(x1x22),11k2k10,整理得10,解得k2.答案:23已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓C的離心率為,其一個頂點是拋物線x24y的焦點(1)求橢圓C的標準方程;(2)若過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M,求直線l的方程和點M的坐標解析:(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),由題意得b,解得a2,c1.故橢圓C的標準方程為1.(2)因為過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切,所以直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因為直線l與橢圓C相切,所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理,得96(2k1)0,解得k.所以直線l的方程為y(x2)1x2.將k代入式,可以解得M點的橫坐標為1,故切點M的坐標為.4已知橢圓1的右焦點為F,設(shè)直線l:x5與x軸的交點為E,過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A,B兩點,M為線段EF的中點(1)若直線l1的傾斜角為,求ABM的面積S的值;(2)過點B作直線BNl于點N,證明:A,M,N三點共線解析:(1)由題意,知F(1,0),E(5,0),M(3,0)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)直線l1的傾斜角為,k1.直線l1的方程為yx1,即xy1.代入橢圓方程,可得9y28y160.y1y2,y1y2.SABM·|FM|·|y1y2|.(2)證明:設(shè)直線l1的方程為yk(x1)代入橢圓方程,得(45k2)x210k2x5k2200,則x1x2,x1x2.直線BNl于點N,N(5,y2)kAM,kMN.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0,kAMkMN.故A,M,N三點共線