第18講排列、組合與二項(xiàng)式定理1.(1)2017·全國(guó)卷安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有 ()A.12種B.18種C.24種D.36種(2)2018·全國(guó)卷從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 試做   命題角度排列組合應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵一:確定完成一件事需要分類還是分步;關(guān)鍵二:在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步;關(guān)鍵三:確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.注意題目中是否有特殊條件限制.2.(1)2018·全國(guó)卷x2+2x5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.80(2)2017·全國(guó)卷1+1x2(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35(3)2015·全國(guó)卷 (a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=. 試做   命題角度二項(xiàng)式定理解決二項(xiàng)式的有關(guān)問(wèn)題,關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式的正用和逆用.在求特定項(xiàng)時(shí),先準(zhǔn)確寫(xiě)出通項(xiàng)公式,再把系數(shù)和字母分離出來(lái)(特別注意符號(hào)),列出方程或不等式求解即可.小題1排列、組合的基本問(wèn)題1 (1)甲、乙兩人都計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)的七天假期中,到東亞文化之都泉州“二日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有 ()A.16種B.18種C.20種D.24種(2)某校舉辦了主題為“祖國(guó),你好”的詩(shī)歌朗誦比賽,高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的6名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加比賽,且當(dāng)甲、乙、丙都參加時(shí),甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么不同的朗誦順序的種數(shù)為 ()A.320B.324C.410D.416聽(tīng)課筆記    【考場(chǎng)點(diǎn)撥】排列、組合問(wèn)題的失分點(diǎn):(1)分類不能做到“不重不漏”;(2)分步不能做到“步驟完整”,即步與步之間不能做到連續(xù)獨(dú)立;(3)對(duì)于既需要“分步”又需要“分類”的綜合問(wèn)題,理不清先后關(guān)系;(4)不熟悉一些計(jì)數(shù)技巧,如:插入法、捆綁法、特殊元素分析法、特殊位置分析法等.【自我檢測(cè)】1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A,B,C三個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.若甲必須去A社區(qū),乙不去B社區(qū),則不同的安排方法的種數(shù)為 ()A.8B.7C.6D.52.六本不同的書(shū)在書(shū)架上擺成一排,要求甲、乙兩本書(shū)必須擺放在兩端,丙、丁兩本書(shū)必須相鄰,則不同的擺放方法有()A.24種B.36種C.48種D.60種3.從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球和2個(gè)不同的藍(lán)球中任取2個(gè),放入顏色分別為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)袋子中,每個(gè)袋子中至多放入1個(gè)球,且球的顏色與袋子的顏色不同,那么不同的放法有 ()A.42種B.36種C.72種D.46種小題2二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用2 (1)在(1-x)5(2x+1)的展開(kāi)式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)為 ()A.-5B.-15C.-25D.25(2)在3x-2xn的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為. 聽(tīng)課筆記    【考場(chǎng)點(diǎn)撥】(1)對(duì)于“多項(xiàng)式乘二項(xiàng)式”型的二項(xiàng)式問(wèn)題,通用的解法是系數(shù)配對(duì)法,即將多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)xk的系數(shù)與后面二項(xiàng)式展開(kāi)式中xr-k的系數(shù)相乘,然后把所有這些滿足條件的情況相加,即得到xr項(xiàng)的系數(shù).(2)常失分點(diǎn):混淆“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”概念,項(xiàng)的系數(shù)與a,b有關(guān),可正可負(fù),二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān),恒為正;注意“常數(shù)項(xiàng)”“有理項(xiàng)”“系數(shù)最大的項(xiàng)”等概念.【自我檢測(cè)】1.在x+1x-16的展開(kāi)式中,含x5項(xiàng)的系數(shù)為 ()A.6B.-6C.24D.-242.已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a7x7,若a0+a1+a7=0,則a3= ()A.-5B.-20C.15D.353.在2x+1x26的展開(kāi)式中,x-3的系數(shù)為. 4.在x+3xn的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和的比值為64,則x3的系數(shù)為. 模塊六概率與統(tǒng)計(jì)第18講排列、組合與二項(xiàng)式定理典型真題研析1.(1)D(2)16解析 (1)把4項(xiàng)工作分成3組,分法為C42種,再分配給3名志愿者,分配方法有A33種,故不同的安排方式共有C42·A33=36(種).(2)方法一:分兩種情況,即3人中1女2男的選法有C21C42種,3人中2女1男的選法有C22C41種.據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選法共有C21C42+C22C41=16(種).方法二:從6人中任選3人有C63種選法,若3人均為男生有C43種選法,所以至少有1位女生入選的不同選法有C63-C43=16(種).2.(1)C(2)C(3)3解析 (1)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5r(x2)5-r2xr=2rC5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為22C52=40.(2)(1+x)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C62,x4的系數(shù)為C64,所以1+1x2(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C62+C64=30.(3)(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)一部分來(lái)自第一個(gè)因式取a,第二個(gè)因式取C41x及C43x3;另一部分來(lái)自第一個(gè)因式取x,第二個(gè)因式取C40x0,C42x2及C44x4.所以系數(shù)之和為aC41+aC43+C40+C42+C44=8a+8=32,所以a=3.考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)C(2)B解析 (1)任意相鄰兩天組合在一起,一共有6種情況:,.若甲選或,則乙有4種選擇,若甲選或或或,則乙有3種選擇,故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有2×4+4×3=20(種).(2)方法一(直接法):分三種情況,一是甲、乙、丙中只有1人參加,不同的朗誦順序有C31A44種;二是甲、乙、丙中有2人參加,不同的朗誦順序有C32C32A44種;三是甲、乙、丙都參加,不同的朗誦順序有C31A22A32種.綜上可知不同的朗誦順序共有C31A44+C32C32A44+C31A22A32=324(種).方法二(間接法):6名學(xué)生中選派4名參加,不同的朗誦順序共有A64=360(種),當(dāng)甲、乙、丙都參加且甲、乙朗誦順序相鄰時(shí),不同的朗誦順序共有C31A22A33=36(種),所以所求的不同的朗誦順序的種數(shù)為360-36=324.【自我檢測(cè)】1.B解析 據(jù)題意,因?yàn)橐也蝗社區(qū),所以乙有兩種去法.若乙去A社區(qū),則丙、丁就去B,C社區(qū),有A22種方法;若乙去C社區(qū),則丙、丁一個(gè)去A社區(qū)一個(gè)去B社區(qū)或都去B社區(qū)或一個(gè)去B社區(qū)一個(gè)去C社區(qū),有(A22+1+A22)種方法.所以共有A22+A22+1+A22=7(種)方法.2.A解析 第一步:甲、乙兩本書(shū)必須擺放在兩端,有A22種排法;第二步:丙、丁兩本書(shū)必須相鄰,可視為整體與其他兩本書(shū)全排列,有A22A33種排法.所以不同的擺放方法共有A22A33A22=24(種).3.A解析 分以下兩種情況:取出的2個(gè)球同色,有3種可能,取出球后只能將2個(gè)球放在不同顏色的袋子中,有A22種不同的放法,故不同的放法有3A22=6(種).取出的2個(gè)球不同色時(shí),取球的方法數(shù)為C32C21C21=12,取球后將2個(gè)球放在袋子中的放法有3種,故不同的放法有12×3=36(種).綜上可得不同的放法有42種,故選A.小題2例2(1)B(2)112解析 (1)依題意有C54x4+C53(-x)3·2x=-15x4,故含x4項(xiàng)的系數(shù)為-15,故選B.(2)3x-2xn的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,n=8,展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C8r(-2)rx8-4r3,令8-4r3=0,得r=2,故所求常數(shù)項(xiàng)為C82·(-2)2x0=112.【自我檢測(cè)】1.B解析 展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)為C65x5·1x0·(-1)1=-6x5,故選B.2.A解析 在(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a7x7中,令x=1,得2(a-1)6=a0+a1+a7=0,a=1.(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6,又(1-x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6r(-x)r=(-1)rC6rxr,a3=(-1)3×C63+(-1)2×C62=-5.故選A.3.160解析 展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6r(2x)6-r·1x2r=C6r·26-r·x6-3r,令6-3r=-3,得r=3,所以x-3的系數(shù)為C63×23=160.4.135解析 在x+3xn的展開(kāi)式中,令x=1,得各項(xiàng)系數(shù)的和為4n,又展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n,4n2n=64,解得n=6.二項(xiàng)式x+3x6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6r·3r·x6-32r,令6-32r=3,得r=2,故展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C62×32=135.備選理由 例1為涉及立體幾何圖形的染色問(wèn)題,需要分類分析,容易出現(xiàn)計(jì)數(shù)的重復(fù)與遺漏,要能結(jié)合圖形掌握分類與分步的標(biāo)準(zhǔn);例2是一道常見(jiàn)的組合問(wèn)題,可直接求解或用間接法求解;例3考查二項(xiàng)展開(kāi)式的賦值法;例4為三項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題,有難度,要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式來(lái)處理.例1配例1使用用6種不同的顏色對(duì)正四棱錐P-ABCD的8條棱染色,每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的顏色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400種B.28 800種C.38 880種D.43 200種解析 C從P點(diǎn)出發(fā)的4條側(cè)棱一定要用4種不同的顏色,有A64=360(種)不同的方案,接下來(lái)底面4條棱的染色根據(jù)是否使用剩下的2種顏色分類計(jì)數(shù).不使用新的顏色,有2種顏色方案.使用1種新的顏色,分為兩類:第一類,染1條棱,有2×4×4=32(種)方案;第二類,染2條對(duì)棱,有2×2×4=16(種)方案.使用2種新的顏色,分為四類:第一類,染2條相鄰的棱,有4×2×3=24(種)方案;第二類,染2條對(duì)棱,有2×2×4=16(種)方案;第三類,染3條棱,有4×2×2=16(種)方案;第四類,染4條棱,有2種方案.因此不同的染色方案總數(shù)為360×2+(32+16)+(24+16+16+2)=38 880,故選C.例2配例1使用某醫(yī)院響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧號(hào)召,準(zhǔn)備從3名護(hù)士和6名醫(yī)生中選取5人組成一個(gè)醫(yī)療小組到扶貧一線工作,要求醫(yī)療小組中既有醫(yī)生又有護(hù)士,則不同的選擇方案種數(shù)是.(用數(shù)字作答) 答案 120解析 根據(jù)題意可知從3名護(hù)士和6名醫(yī)生中選取5人組成一個(gè)醫(yī)療小組,有C95=126(種)選取方法,其中只有醫(yī)生的選取方法有C65=6(種),則醫(yī)療小組中既有醫(yī)生又有護(hù)士的選取方法有126-6=120(種).例3配例2使用設(shè)2x+1x(4x-1)9=bx+a0+a1x+a2x2+a10x10,則a0+a12+a222+a10210=. 答案 5解析 由題易知,b=C99×(-1)9=-1,令x=12,可得3=2b+a0+a12+a222+a10210,所以a0+a12+a222+a10210=5.例4配例2使用 (2x-1)n的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則(2x2+x-1)n的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為. 答案 -30解析 由(2x-1)n的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,可得2n=32,解得n=5.(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5,所以(2x2+x-1)5的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)為C52x3·C55·(-1)5+C53x2·C54·2x·(-1)4+C54x·C53(2x)2·(-1)3+C55·C52·(2x)3·(-1)2=-30x3,所以所求系數(shù)為-30.8