(贛豫陜)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版必修1
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1、(贛豫陜)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版必修1 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.系統(tǒng)和深化對集合基礎(chǔ)知識的理解與掌握.2.重點掌握好集合間的關(guān)系與集合的基本運(yùn)算. 1.集合元素的三個特性:確定性,互異性,無序性. 2.元素與集合有且只有兩種關(guān)系:∈,?. 3.已經(jīng)學(xué)過的集合表示方法有列舉法,描述法,Venn圖,常用數(shù)集字母代號. 4.集合間的關(guān)系與集合的運(yùn)算 符號 定義 Venn圖 子集 A?B x∈A?x∈B 真子集 AB A?B且存在x0∈B但x0?A 并集 A∪B {x|x∈A或x∈B} 交集 A∩B {x|
2、x∈A且x∈B} 補(bǔ)集 ?UA(A?U) {x|x∈U且x?A} 5.常用結(jié)論 (1)??A; (2)A∪?=A;A∪A=A;A∪B=A?A?B. (3)A∩?=?;A∩A=A;A∩B=A?A?B. (4)A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 1.若A=,則x<0.( √ ) 2.任何集合至少有兩個子集.( × ) 3.若有且只有一個元素,則必有Δ=12-4a=0.( × ) 4.設(shè)A,B為全集的子集,則A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.( √ ) 類型一 集合的概念及表示法 例1 下列表示同一集合的是( ) A
3、.M={(2,1),(3,2)},N={(1,2)} B.M={2,1},N={1,2} C.M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈N} D.M={(x,y)|y=x2-1,x∈R},N={y|y=x2-1,x∈R} 考點 集合相等的概念 題點 判斷集合的相等關(guān)系 答案 B 解析 A選項中M,N兩集合的元素個數(shù)不同,故不可能相同; B選項中M,N均為含有1,2兩個元素的集合,由集合中元素的無序性可得M=N; C選項中M,N均為數(shù)集,顯然有MN; D選項中M為點集,即拋物線y=x2-1上所有點的集合,而N為數(shù)集,即拋物線y=x2-1上點的縱坐標(biāo),故選
4、B. 反思與感悟 要解決集合的概念問題,必須先弄清集合中元素的性質(zhì),明確是數(shù)集,還是點集等. 跟蹤訓(xùn)練1 設(shè)集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|2x-3y+4=0},則A∩B=________. 考點 交集的概念及運(yùn)算 題點 無限集合的交集運(yùn)算 答案 {(4,4)} 解析 由得∴A∩B={(4,4)}. 類型二 集合間的基本關(guān)系 例2 若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S?P,求由a的可能取值組成的集合. 考點 子集及其運(yùn)算 題點 根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的范圍 解 由題意得,P={-3,2}. 當(dāng)a=0時,S=?,滿足S?
5、P;
當(dāng)a≠0時,方程ax+1=0的解為x=-,
為滿足S?P,可使-=-3或-=2,
即a=或a=-.
故所求集合為.
反思與感悟 (1)在分類時要遵循“不重不漏”的原則,然后對于每一類情況都要給出問題的解答.
(2)對于兩集合A,B,當(dāng)A?B時,不要忽略A=?的情況.
跟蹤訓(xùn)練2 下列說法中不正確的是________.(只需填寫序號)
①若集合A=?,則??A;
②若集合A={x|x2-1=0},B={-1,1},則A=B;
③已知集合A={x|1
6、 ?是任何集合的子集,故①正確;
∵x2-1=0,∴x=±1,∴A={-1,1},
∴A=B,故②正確;
若A?B,則a≥2,故③錯誤.
類型三 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算
命題角度1 用符號語言表示的集合運(yùn)算
例3 設(shè)全集為R,A={x|3≤x<7},B={x|2 7、7≤x<10}.
反思與感悟 求解用不等式表示的數(shù)集間的集合運(yùn)算時,一般要借助于數(shù)軸求解,此法的特點是簡單直觀,同時要注意各個端點的畫法及取到與否.
跟蹤訓(xùn)練3 已知集合U={x|0≤x≤6,x∈Z},A={1,3,6},B={1,4,5},則A∩(?UB)等于( )
A.{1} B.{3,6}
C.{4,5} D.{1,3,4,5,6}
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 有限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
答案 B
解析 ∵U={0,1,2,3,4,5,6},B={1,4,5},
∴?UB={0,2,3,6},
又∵A={1,3,6},∴A∩(?UB)={3,6},故選B.
8、
命題角度2 用圖形語言表示的集合運(yùn)算
例4 設(shè)全集U=R,A={x|0 9、這個班有20名同學(xué)參賽,已知兩項都參賽的有6名同學(xué),兩項比賽中,這個班共有多少名同學(xué)沒有參加過比賽?
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 用并交補(bǔ)運(yùn)算表示Venn圖指定區(qū)域
解 設(shè)A={x|x為參加排球賽的同學(xué)},B={x|x為參加田徑賽的同學(xué)},則A∩B={x|x為參加兩項比賽的同學(xué)}.畫出Venn圖(如圖),
則沒有參加過比賽的同學(xué)有45-(12+20-6)=19(名).
答 這個班共有19名同學(xué)沒有參加過比賽.
類型四 關(guān)于集合的新定義題
例5 設(shè)A為非空實數(shù)集,若對任意的x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,則稱A為封閉集.
①集合A={-2,-1,0 10、,1,2}為封閉集;
②集合 A={n|n=2k,k∈Z}為封閉集;
③若集合A1,A2為封閉集,則A1∪A2為封閉集;
④若A為封閉集,則一定有0∈A.
其中正確結(jié)論的序號是________.
考點 集合各類問題的綜合
題點 新定義題
答案?、冖?
解析?、偌螦={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4不在集合A中,所以不是封閉集;②設(shè)x,y∈A,則x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,故x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,故②正確;③反例是:集合A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z}為封閉集,但A1 11、∪A2不是封閉集,故③不正確;④若A為封閉集,則取x=y(tǒng),得x-y=0∈A.故填②④.
反思與感悟 新定義題是近幾年高考中集合題的熱點題型,解答這類問題的關(guān)鍵在于閱讀理解,也就是要在準(zhǔn)確把握新信息的基礎(chǔ)上,利用已有的知識來解決問題.
跟蹤訓(xùn)練5 設(shè)數(shù)集M=,N=,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果b-a叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“長度”,那么集合M∩N的“長度”的最小值是( )
A. B. C. D.
考點 集合各類問題的綜合
題點 新定義題
答案 C
解析 方法一 由已知可得
解得0≤m≤,≤n≤1.
取字母m的最小值0,字母n的最大值1,
12、
可得M=,N=,
所以M∩N=∩=,
此時得集合M∩N的“長度”為-=.
方法二 集合M的“長度”為,集合N的“長度”為.
由于M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,
而{x|0≤x≤1}的“長度”為1,由此可得集合M∩N的“長度”的最小值是-1=.
1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,則P的子集共有( )
A.2個 B.4個
C.6個 D.8個
考點 子集個數(shù)
題點 求集合的子集個數(shù)
答案 B
2.下列關(guān)系中正確的個數(shù)為( )
①∈R;②0∈N+;③{-5}?Z.
A.0 B.1 C.2 D.3
考點 13、 常用的數(shù)集及表示
題點 常用的數(shù)集及表示
答案 C
解析?、佗壅_.
3.設(shè)全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},則集合(?UA)∩B等于( )
A.{x|0 14、
C.{b,e} D.{a,c}
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 有限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
答案 A
5.已知集合U=R,集合A=,B=,則(?UA)∩B=________.
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 無限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
答案
解析 由圖知(?UA)∩B=.
1.要注意區(qū)分兩大關(guān)系:一是元素與集合的從屬關(guān)系,二是集合與集合的包含關(guān)系.
2.在利用集合中元素相等列方程求未知數(shù)的值時,要注意利用集合中元素的互異性這一性質(zhì)進(jìn)行檢驗,忽視集合中元素的性質(zhì)是導(dǎo)致錯誤的常見原因之一.
一、選擇題
1.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x 15、-4)·(x-1)=0},則M∩N等于( )
A.{1,4} B.{-1,-4}
C.{0} D.?
考點 交集的概念及運(yùn)算
題點 有限集合的交集運(yùn)算
答案 D
解析 因為M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},所以M∩N=?,故選D.
2.已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是( )
A.A=B B.A∩B=?
C.A?B D.B?A
考點 集合的包含關(guān)系
題點 集合包含關(guān)系的判定
答案 D
解析 A={x|x>-3},B={x|x≥2},結(jié)合 16、數(shù)軸(圖略)可得:B?A.
3.已知全集U=R,A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},則集合A∩(?UB)等于( )
A.{1} B.{1,2}
C.{1,2,3} D.{0,1,2}
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 無限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
答案 B
解析 ∵?UB={x∈R|x<3},
∴A∩(?UB)={1,2}.
4.已知集合A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,若A∩B={1,3},(?UA)∩B={5},則集合B等于( )
A.{1,3} B.{3,5}
C.{1,5} D.{1,3,5}
考點 Venn圖表達(dá)的集合關(guān) 17、系及運(yùn)用
題點 Venn圖的應(yīng)用
答案 D
解析 畫出滿足題意的Venn圖,由圖可知B={1,3,5}.
5.設(shè)集合M={-1,0,1},N={a,a2},若M∩N=N,則a的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.1或-1
考點 集合的交集、并集性質(zhì)及應(yīng)用
題點 利用集合的交集、并集性質(zhì)求參數(shù)的值
答案 A
解析 由M∩N=N得N?M.
當(dāng)a=0時,與集合中元素的互異性矛盾;
當(dāng)a=1時,也與集合中元素的互異性矛盾;
當(dāng)a=-1時,N={-1,1},符合題意.
6.設(shè)全集U=R,已知集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x
18、?,則a的取值范圍為( )
A.a(chǎn)>3 B.a(chǎn)≥3
C.a(chǎn)≥7 D.a(chǎn)>7
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 與交并補(bǔ)集運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題
答案 A
解析 因為A={x|x<3或x≥7},所以?UA={x|3≤x<7},又(?UA)∩B≠?,則a>3.
7.設(shè)集合I=,A?I,若把滿足M∪A=I的集合M叫做集合A的配集,則A=的配集有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
考點 并集的概念及運(yùn)算
題點 有限集合的并集運(yùn)算
答案 D
解析 M可以是,,,,共4個.
8.若集合A=,B=,則B中元素個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D 19、.4
考點 元素與集合的關(guān)系
題點 集合中元素的個數(shù)
答案 D
解析 A=,B中元素為A中能整除6的數(shù),∴B=.
二、填空題
9.設(shè)全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},則A∩(?UB)=________.
考點 交并補(bǔ)集的綜合問題
題點 有限集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
答案 {1,4}
解析 ∵?UB={x|x<2或x>3},
∴A∩(?UB)={1,4}.
10.設(shè)集合A={1,-1,},B={1,a},A∩B=B,則a=________.
考點 集合的交集、并集性質(zhì)及應(yīng)用
題點 利用集合的交集、并集性質(zhì)求參數(shù)的值
答案 0
解析 ∵A∩B 20、=B,即B?A,∴a∈A.
要使有意義,a≥0.
∴a=,∴a=0或a=1,
由元素互異,舍去a=1.∴a=0.
11.已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=?,則a的取值范圍是________.
考點 交集的概念及運(yùn)算
題點 由交集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍
答案
解析?、偃鬉=?,則A∩B=?,
此時2a>a+3,即a>3.
②若A≠?,如圖,由A∩B=?可得,
解得-≤a≤2.
綜上所述,a的取值范圍是.
三、解答題
12.已知集合A={x|x<-1或x>2},集合B={x|4x+p<0}.當(dāng)B?A時,求實數(shù)p的取值 21、范圍.
考點 子集及其運(yùn)算
題點 根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍
解 ∵B={x|4x+p<0}=,
將集合A在數(shù)軸上表示出來,如圖所示.
∵B?A,∴-≤-1,即p≥4.
故實數(shù)p的取值范圍是{p|p≥4}.
13.已知集合A={x|3≤x<6},B={x|2 22、|x≤2或3≤x<6或x≥9}.
(2)∵C?B,如圖所示,則有
解得2≤a≤8,∴a的取值集合為{a|2≤a≤8}.
四、探究與拓展
14.定義差集A-B={x|x∈A,且x?B},現(xiàn)有三個集合A,B,C分別用圓表示,則集合C-(A-B)可表示下列圖中陰影部分的為( )
考點 集合各類問題的綜合
題點 新定義題
答案 A
解析 如圖所示,A-B表示圖中陰影部分,故C-(A-B)所含元素屬于C,但不屬于圖中陰影部分,故選A.
15.對于集合A,B,我們把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}記作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},則有:A×B={(1,3) 23、,(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.
據(jù)此,試回答下列問題:
(1)已知C=,D=,求C×D;
(2)已知A×B=,求集合A,B;
(3)若集合A中有3個元素,集合B中有4個元素,試確定A×B中有多少個元素.
考點 集合各類問題的綜合
題點 集合各類問題的綜合
解 (1)C×D=.
(2)因為A×B=,
所以A=,B=.
(3)由題意可知A×B中元素的個數(shù)與集合A和B中的元素個數(shù)有關(guān),即集合A中的任何一個元素與B中的任何一個元素對應(yīng)后,得到A×B中的一個新元素.
若A中有m個元素,B中有n個元素,則A×B中應(yīng)有m×n個元素.于是,若集合A中有3個元素,集合B中有4個元素,則A×B中有12個元素.
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