第三節(jié)幾何概型2019考綱考題考情1幾何概型(1)幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型。(2)幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)2幾何概型的概率公式P(A)。幾種常見的幾何概型1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)。2與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題。3與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題。一、走進(jìn)教材1(必修3P142A組T3改編)一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30 s，黃燈的時(shí)間為5 s，綠燈的時(shí)間為40 s，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率為()ABCD解析設(shè)事件A表示“某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈”，則事件A對(duì)應(yīng)30 s的時(shí)間長(zhǎng)度，而路口紅綠燈亮的一個(gè)周期為3054075(s)的時(shí)間長(zhǎng)度。根據(jù)幾何概型的概率公式可得，事件A發(fā)生的概率P(A)。故選B。答案B2(必修3P140練習(xí)T1改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤為()解析如題干選項(xiàng)中的各圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)，P(B)，P(C)，P(D)。故選A。答案A二、走近高考3(2017·全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()ABCD解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則圓的半徑為1，正方形的面積為4，圓的面積為，根據(jù)對(duì)稱性關(guān)系，黑色部分的面積是圓的面積的一半，所以黑色部分的面積為。根據(jù)幾何概型的概率公式，得此點(diǎn)取自黑色部分的概率為P。故選B。答案B4(2016·全國(guó)卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()ABCD解析由題意得下圖：由圖得等車時(shí)間不超過10分鐘的概率為。故選B。答案B5(2016·全國(guó)卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()ABCD解析設(shè)由構(gòu)成的正方形的面積為S，由xy<1構(gòu)成的圖形的面積為S，所以，所以。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提醒：幾何概型類型不清致誤。6在長(zhǎng)為6 m的木棒AB上任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2 m的概率是_。解析所求概率為。答案7.為了測(cè)算如圖所示陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是_。解析正方形的面積為36，則陰影部分的面積約為×369。答案9考點(diǎn)一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型【例1】(1)(2019·合肥質(zhì)檢)某廣播電臺(tái)只在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播放新聞，時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，則一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，能聽到新聞的概率是()ABCD(2)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點(diǎn)在上任取一點(diǎn)C作射線OC，則使得AOC和BOC都不小于30°的概率是()ABCD解析(1)由題意可知，該廣播電臺(tái)在一天內(nèi)播放新聞的時(shí)長(zhǎng)為24×2×5240(分鐘)，即4個(gè)小時(shí)，所以所求的概率為。故選D。解析：在一個(gè)小時(shí)內(nèi)，播放時(shí)長(zhǎng)為10分鐘，這是一個(gè)幾何概型，故所求概率為P。故選D。(2)記事件T是“作射線OC，使得AOC和BOC都不小于30°”，如圖，記的三等分點(diǎn)為M，N，連接OM，ON，則AONBOMMON30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)。故選A。答案(1)D(2)A1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解。2與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段。【變式訓(xùn)練】(1)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈。在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD的概率為_。(2)如圖所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為_。解析(1)由6xx20解得2x3，則D2,3，故所求概率為。(2)因?yàn)锽60°，C45°，所以BAC75°，在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°。記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時(shí)事件N發(fā)生。由幾何概型的概率公式，得P(N)。答案(1)(2)考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型微點(diǎn)小專題方向1：與圖形面積有關(guān)的幾何概型【例2】(2019·重慶六校聯(lián)考)九章算術(shù)中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何。”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?！爆F(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()ABC1D1解析如圖，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為17，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則8r15r17，解得r3，所以內(nèi)切圓的面積為r29，所以豆子落在內(nèi)切圓外的概率P11。故選D。答案D1根據(jù)題意確定所求事件構(gòu)成的區(qū)域圖形，判斷是否為幾何概型。2分別求出全部事件和所求事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積。3利用幾何概型概率計(jì)算公式正確計(jì)算，需要注意計(jì)算的測(cè)度是否一致。方向2：“會(huì)面”問題【例3】甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時(shí)，而乙還有其他安排，若乙早到則不需等待即可離去，則甲、乙兩人能見面的概率為()ABCD解析由題意知本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)甲到的時(shí)間為x，乙到的時(shí)間為y，則試驗(yàn)包含的所有事件是(x，y)|0x1，0y1，事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是S1，滿足條件的事件是A，則B，D，C(0,1)，則事件A對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是1，根據(jù)幾何概型概率公式得到P，所以甲、乙兩人能見面的概率為。故選A。答案A此類問題屬于雙變量問題，其中一個(gè)變量設(shè)為x，另一個(gè)變量設(shè)為y，構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，從而轉(zhuǎn)化為面積問題。【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)2017年8月1日是中國(guó)人民解放軍建軍90周年紀(jì)念日，中國(guó)人民銀行發(fā)行了以此為主題的金銀紀(jì)念幣。如圖所示的是一枚8 g圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑22 mm，面額100元。為了測(cè)算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)向硬幣內(nèi)隨機(jī)投擲100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)軍旗的面積是()A mm2B mm2C mm2D mm2解析設(shè)軍旗的面積為a mm2，則有，解得a。故選B。答案B2(方向1)已知x，y0,2，則事件“xy1”發(fā)生的概率為()ABCD解析由圖可知，事件“xy1”發(fā)生的概率為。故選B。答案B3(方向2)某日，甲、乙兩人隨機(jī)選擇早上6：00至7：00的某個(gè)時(shí)刻到達(dá)七星公園進(jìn)行鍛煉，則甲比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為()ABCD解析在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)x，y分別表示乙、甲兩人的到達(dá)時(shí)刻，當(dāng)xy>20時(shí)滿足題意，由幾何概型計(jì)算公式可得，甲比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為。故選B。答案B考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型【例4】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_。解析過M作平面RS平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐MABCD的高，顯然M在平面RS上任意位置時(shí)，四棱錐MABCD的體積都相等。若此時(shí)四棱錐MABCD的體積等于，只要M在截面RS以下即可小于，當(dāng)VMABCD時(shí)，即×1×1×h，解得h，即點(diǎn)M到底面ABCD的距離，所以所求概率P。答案對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求。【變式訓(xùn)練】已知正棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VPABC<VSABC的概率為()ABCD解析由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿足VPABC<VSABC，故使得VPABC<VSABC的概率P13。答案B1(配合例1使用)已知函數(shù)ycosx，x，則cosx的概率是_。解析由cosx，x，得x，故所求概率P。答案2(配合例2使用)設(shè)點(diǎn)(a，b)為不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則函數(shù)f(x)ax22bx3在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為()AB.CD.解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示。若函數(shù)f(x)ax22bx3在區(qū)間上是增函數(shù)，則即可得滿足條件的平面區(qū)域?yàn)镺BC，由得即C，所以SOBC×4×。又SOAB×4×48，所以函數(shù)f(x)ax22bx3在區(qū)間上是增函數(shù)的概率P。故選A。答案A概率統(tǒng)計(jì)綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個(gè)復(fù)雜過程。如果這幾個(gè)過程書寫步驟缺失則會(huì)造成丟分；如果數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會(huì)陷入龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算，并按照一定的書寫步驟準(zhǔn)確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述準(zhǔn)確無誤，下面就如何從概率統(tǒng)計(jì)綜合問題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供四類典例展示。類型一頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例1】某市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過300)。該社團(tuán)將該市在2018年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率。(1)請(qǐng)估算2018年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算)；(2)該市將于2018年12月25、26、27日舉辦一場(chǎng)國(guó)際會(huì)議，若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用10萬元，出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用20萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級(jí)相互獨(dú)立，記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。解(1)由直方圖可得2018年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為(0.0020.004)×50×3650.3×365109.5110。(2)由題可知，X的所有可能取值為0,10,20,30,40,50,60，則P(X0)3，P(X10)C××2，P(X20)C×2×1C××2，P(X30)3C××C××，P(X40)C×2×C×2×，P(X50)C×2×，P(X60)3，X的分布列為X0102030405060PE(X)0×10×20×30×40×50×60×9(萬元)。頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，掌握頻率分布直方圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類問題的關(guān)鍵。類型二莖葉圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例2】如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名同學(xué)的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。(1)如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率。(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解(1)如果X8，乙組的平均數(shù)為乙，s2。(2)設(shè)甲組4名同學(xué)分別為x1，x2，x3，x4，植樹棵數(shù)分別為9,9,11,11，乙組4名同學(xué)分別為y1，y2，y3，y4，植樹棵數(shù)分別為9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有：(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x3，y4)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x4，y4)，共16種。設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”為事件A，則事件A包含的結(jié)果有：(x1，y4)，(x2，y4)，(x3，y2)，(x4，y2)，共4種，故所求的概率P(A)。即從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率為。莖葉圖提供了具體的數(shù)據(jù)，找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵。如果所有數(shù)據(jù)過大，在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，可以將所有數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)字再計(jì)算，減去一個(gè)數(shù)后方差不變，另外除了要掌握各類數(shù)據(jù)的計(jì)算方法以外，還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢(shì)分析預(yù)測(cè)結(jié)果。莖葉圖數(shù)據(jù)很具體，常聯(lián)系古典概型進(jìn)行考查。類型三表格數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例3】某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：(1)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y若在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)這一天的經(jīng)濟(jì)損失超過400元的概率；(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為嚴(yán)重污染。根據(jù)提供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”？非嚴(yán)重污染嚴(yán)重污染總計(jì)供暖季非供暖季總計(jì)100附：K2P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解(1)設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天的經(jīng)濟(jì)損失超過400元”為事件A。由y>400，得x>200。由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200的頻數(shù)為35，所以P(A)。(2)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：非嚴(yán)重污染嚴(yán)重污染總計(jì)供暖季22830非供暖季63770總計(jì)8515100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K24.575。因?yàn)?.575>3.841。所以有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”。處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，特別表格中最后一行或最后一列中的數(shù)據(jù)多為合計(jì)(或總計(jì))。類型四折線圖中數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例4】如圖是我國(guó)2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖。(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無害化處理量。附注：參考數(shù)據(jù)：i9.32，iyi40.17，0.55，2.646。參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，。解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4，(ti)228, 0.55，(ti)(yi)iyii40.174×9.322.89，r0.99。因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度很高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.103×40.92。所以，y關(guān)于t的回歸方程為0.920.10t。將2020年對(duì)應(yīng)的t9代入回歸方程得0.920.10×91.82。所以預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸。1折線圖中拐點(diǎn)處的坐標(biāo)是我們提取數(shù)據(jù)的關(guān)鍵點(diǎn)，注意橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的意義即可。2“最小二乘法”求回歸方程，計(jì)算是這類問題的難點(diǎn)，需要根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而求解回歸方程x，其中求是問題的關(guān)鍵，計(jì)算出后，可以將樣本點(diǎn)的中心(，)代入方程求解出。16