第八節(jié)曲線與方程2019考綱考題考情1曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的對應(yīng)關(guān)系：(1)曲線C上點的坐標(biāo)都是這個方程的解。(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。2求動點的軌跡方程的基本步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。(2)設(shè)點：軌跡上的任意一點一般設(shè)為P(x，y)。(3)列式：列出或找出動點P滿足的等式。(4)代換：將得到的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程。(5)驗證：驗證所得方程即為所求的軌跡方程。1“曲線C是方程f(x，y)0的曲線”是“曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要條件。2曲線的交點與方程組的關(guān)系：(1)兩條曲線交點的坐標(biāo)是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點。一、走進教材1(選修21P37A組T3改編)已知點F，直線l：x，點B是l上的動點，若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線B橢圓C圓D拋物線解析由已知|MF|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線。答案D2(選修21P37A組T4改編)已知O方程為x2y24，過M(4,0)的直線與O交于A，B兩點，則弦AB中點P的軌跡方程為_。解析根據(jù)垂徑定理知：OPPM，所以P點軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在O內(nèi)的部分。以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x2)2y24，它與O的交點為(1，±)。結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x2)2y24(0x<1)。答案(x2)2y24(0x<1)二、走近高考3(2017·全國卷節(jié)選)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足，求點P的軌跡方程。解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)，由，得x0x，y0y，因為點M(x0，y0)在橢圓C上，所以1，因此點P的軌跡方程為x2y22。三、走出誤區(qū)微提醒：混淆“軌跡”與“軌跡方程”出錯；忽視軌跡方程的“完備性”與“純粹性”。4平面內(nèi)與兩定點A(2,2)，B(0,0)距離的比值為2的點的軌跡是_。解析設(shè)動點坐標(biāo)為(x，y)，則2，整理得3x23y24x4y80，所以滿足條件的點的軌跡是圓。答案圓5設(shè)動圓M與y軸相切且與圓C：x2y22x0相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_。解析若動圓在y軸右側(cè)，則動圓圓心到定點C(1,0)與到定直線x1的距離相等，其軌跡是拋物線，且1，所以其方程為y24x(x>0)；若動圓在y軸左側(cè)，則圓心軌跡是x軸負(fù)半軸，其方程為y0(x<0)。故動圓圓心M的軌跡方程為y24x(x>0)或y0(x<0)。答案y24x(x>0)或y0(x<0)6已知A(2,0)，B(1,0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點，則P點的軌跡方程是_。解析由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|2|PB|，設(shè)P(x，y)，則2，整理得(x2)2y24(y0)。答案(x2)2y24(y0)考點一直接法求軌跡方程【例1】已知ABC的三個頂點分別為A(1,0)，B(2,3)，C(1,2)，定點P(1,1)。(1)求ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過定點P的直線與ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF中點的軌跡方程。解(1)由題意得AC的中點坐標(biāo)為(0，)，AB的中點坐標(biāo)為，kAC，kAB1，故AC中垂線的斜率為，AB中垂線的斜率為1，則AC的中垂線的方程為yx，AB的中垂線的方程為y。由得所以ABC的外接圓圓心為(2,0)，半徑r213，故ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29。(2)設(shè)弦EF的中點為M(x，y)，ABC外接圓的圓心為N，則N(2,0)，由MNMP，得·0，所以(x2，y)·(x1，y1)0，整理得x2y23xy20，故弦EF中點的軌跡方程為22。1若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點列式化簡檢驗。求動點的軌跡方程時要注意檢驗，即除去多余的點，補上遺漏的點。2若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說明軌跡是什么圖形。【變式訓(xùn)練】已知坐標(biāo)平面上動點M(x，y)與兩個定點P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|5|MQ|。(1)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記(1)中軌跡為C，若過點N(2,3)的直線l被C所截得的線段長度為8，求直線l的方程。解(1)由|MP|5|MQ|，得5，化簡得x2y22x2y230，所以點M的軌跡方程是(x1)2(y1)225，軌跡是以(1,1)為圓心，5為半徑的圓。(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x2，此時所截得的線段長度為2×8，所以l：x2符合題意。當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，圓心到l的距離d，由題意，得24252，解得k，所以直線l的方程為xy0，即5x12y460。綜上，直線l的方程為x2或5x12y460。考點二定義法求軌跡方程【例2】已知圓C與兩圓x2(y4)21，x2(y2)21外切，圓C的圓心軌跡為L，設(shè)L上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0,1)與點M(x，y)的距離為n。(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)求滿足條件mn的點M的軌跡Q的方程。解(1)兩圓半徑都為1，兩圓圓心分別為C1(0，4)，C2(0,2)，由題意得|CC1|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點為(0，1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓C的圓心軌跡L的方程為y1。(2)因為mn，所以M(x，y)到直線y1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y1為準(zhǔn)線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，而1，即p2，所以，軌跡Q的方程是x24y。1定義法求軌跡方程的適用條件：動點與定點、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義。2定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義?！咀兪接?xùn)練】在ABC中，A為動點，B，C為定點，B，C(a0)，且滿足條件sinCsinBsinA，則動點A的軌跡方程是_。解析由正弦定理，得×(R為外接圓半徑)，所以|AB|AC|BC|，即點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的右支(不含右頂點)。又知實軸長為a，焦距為a，所以虛半軸長為，所以動點A的軌跡方程為1(x>0且y0)。答案1(x0且y0)考點三代入法(相關(guān)點法)求軌跡方程【例3】(1)(2019·銀川模擬)動點A在圓x2y21上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點的軌跡方程是_。(2)(2019·武威模擬)設(shè)F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且2，當(dāng)點P在y軸上運動時，點N的軌跡方程為_。解析(1)設(shè)中點M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式，可得A(2x3,2y)，因為點A在圓上，將點A的坐標(biāo)代入圓的方程，所以軌跡方程為(2x3)24y21。(2)設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)·(1，y0)0，所以x0y0。由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x。故所求的點N的軌跡方程是y24x。答案(1)(2x3)24y21(2)y24x相關(guān)點法求軌跡方程的步驟1明確主動點(已知曲線上的動點)P(x0，y0)，被動點(要求軌跡的動點)M(x，y)。2尋求關(guān)系式x0f(x，y)，y0g(x，y)。3將x0，y0代入已知曲線方程。4整理關(guān)于x，y的關(guān)系式得M的軌跡方程。【變式訓(xùn)練】(1)(2019·聊城模擬)已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則點Q的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50(2)在平行四邊形ABCD中，BAD60°，AD2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點，且滿足：xy0(x，yR)，則當(dāng)點P在以A為圓心，|為半徑的圓上時，實數(shù)x，y應(yīng)滿足的關(guān)系式為()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析(1)設(shè)Q(x，y)，則可得P(2x,4y)，代入2xy30得：2xy50。故選D。(2)如圖，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD2，據(jù)題意，得AB1，ABD90°，BD，所以B，D的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1，)，所以(1,0)，(1，)，設(shè)P(m，n)，則由xy0，得xy，所以依題意，得m2n21，所以x24y22xy1。故選D。答案(1)D(2)D6