第七節(jié)函數的圖象2019考綱考題考情1利用描點法作函數圖象基本步驟是列表、描點、連線。首先：確定函數的定義域；化簡函數解析式；討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)。其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線。2利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b。(2)伸縮變換：yf(x)；yf(x)yAf(x)。(3)對稱變換：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)。(4)翻折變換：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|。1左右平移僅僅是相對x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進行操作。如果x的系數不是1，需要把系數提出來，再進行變換。2上下平移僅僅是相對y而言的，即發(fā)生變化的只是y本身，利用“上減下加”進行操作。但平時我們是對yf(x)中的f(x)進行操作，滿足“上加下減”。3記住幾個重要結論(1)函數yf(x)與yf(2ax)的圖象關于直線xa對稱。(2)函數yf(x)與y2bf(2ax)的圖象關于點(a，b)中心對稱。(3)若函數yf(x)對定義域內任意自變量x滿足：f(ax)f(ax)，則函數yf(x)的圖象關于直線xa對稱。一、走進教材1(必修1P112A組T4改編)李明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛。則與以上事件吻合最好的圖象是()解析距學校的距離應逐漸減小，由于李明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加速，后段比前段下降得快。答案C2(必修1P24A組T7改編)下列圖象是函數y的圖象的是()解析其圖象是由yx2圖象中x<0的部分和yx1圖象中x0的兩部分組成。故選C。答案C二、走近高考3(2018·全國卷)函數yx4x22的圖象大致為()解析易得函數yx4x22為偶函數，y4x32x2x(x1)(x1)，令y>0，即2x(x1)(x1)<0，解得x<或0<x<，所以當y<0時，<x<0或x>，所以函數yx4x22在，上單調遞增，在，上單調遞減。故選D。解析：令x0，則y2，排除A，B項；令x，則y22，令x，則y22，排除C。故選D。答案D三、走出誤區(qū)微提醒：函數圖象的平移、伸縮法則記混出錯；不注意函數的定義域出錯。4把函數f(x)lnx的圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到的圖象的函數解析式是_。解析根據伸縮變換方法可得，所求函數解析式為yln。答案yln5設f(x)2x，g(x)的圖象與f(x)的圖象關于直線yx對稱，h(x)的圖象由g(x)的圖象向右平移1個單位得到，則h(x)_。解析與f(x)的圖象關于直線yx對稱的圖象所對應的函數為g(x)log2x，再將其圖象右移1個單位得到h(x)log2(x1)的圖象。答案log2(x1)6請畫出函數yelnx|x1|的圖象。解y其圖象如圖所示。考點一作函數的圖象【例1】作出下列函數的圖象。(1)y；(2)y|x1|；(3)y|log2x1|；(4)yx22|x|1。解(1)易知函數的定義域為xR|x1。y1，因此由y的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度即可得到函數y的圖象，如圖所示。(2)先作出yx，x0，)的圖象，然后作其關于y軸的對稱圖象，再將整個圖象向左平移1個單位長度，即得到y(tǒng)|x1|的圖象，如圖所示。(3)先作出ylog2x的圖象，再將圖象向下平移1個單位長度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方來，即得到y(tǒng)|log2x1|的圖象，如圖所示。(4)y圖象如圖。【互動探究】將本例(4)改為y|x22x1|，其圖象怎樣畫出？解y圖象如圖所示。函數圖象的畫法1直接法：當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數時，就可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點直接作出。2轉化法：含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象。3圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出。提醒：(1)畫函數的圖象一定要注意定義域。(2)利用圖象變換法時要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本函數的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響?！咀兪接柧殹慨嫵鱿铝泻瘮档膱D象。(1)yelnx；(2)y|log2(x1)|；(3)y|x2|·(x1)。解(1)因為函數的定義域為x|x>0且yelnxx(x>0)，所以其圖象如圖所示。(2)將函數ylog2x的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y|log2(x1)|的圖象，如圖所示。(3)當x2，即x20時，y(x2)(x1)x2x22；當x<2，即x2<0時，y(x2)(x1)x2x22。所以y這是分段函數，每段函數的圖象可根據二次函數圖象作出(如圖)?？键c二識別函數的圖象【例2】(2018·浙江高考)函數y2|x|sin2x的圖象可能是() A BCD解析設f(x)2|x|sin2x，其定義域關于坐標原點對稱，又f(x)2|x|·sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函數，故排除A，B；令f(x)0，所以sin2x0，所以2xk(kZ)，所以x(kZ)，故排除C。故選D。答案D1抓住函數的性質，定性分析：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性。2抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題?！咀兪接柧殹?2019·武漢市調研測試)函數f(x)e|x|2x2在2,2上的圖象大致為() AB CD解析函數f(x)e|x|2x2在2,2上是偶函數，其圖象關于y軸對稱。f(2)e28，1<e28<0，排除C，D。當x0,2時，f(x)ex4x，令f(x)0，得ex4x。在同一坐標系中，作出函數y1ex，y24x的圖象(圖略)，可得兩圖象在0,2上有一個交點，即f(x)在0,2上有一個零點，設為x0，當x0，x0時，f(x)ex4x0，f(x)為增函數，當xx0,2時，f(x)ex4x0，f(x)為減函數，排除B。故選A。答案A考點三函數圖象的應用微點小專題方向1：研究函數的性質【例3】(2019·貴陽市監(jiān)測考試)已知函數f(x)，則下列結論正確的是()A函數f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱B函數f(x)在(，1)上是增函數C函數f(x)的圖象關于直線x1對稱D函數f(x)的圖象上至少存在兩點A，B，使得直線ABx軸解析由題知，函數f(x)的圖象是由函數y的圖象向右平移1個單位長度得到的，可得函數f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱，A正確；函數f(x)在(，1)上是減函數，B錯誤；易知函數f(x)的圖象不關于直線x1對稱，C錯誤；由函數f(x)的單調性及函數f(x)的圖象，可知函數f(x)的圖象上不存在兩點A，B，使得直線ABx軸，D錯誤。故選A。答案A利用函數的圖象研究函數的性質，一定要注意其對應關系。如：圖象的左右范圍對應定義域，上下范圍對應值域，上升、下降趨勢對應單調性，對稱性對應奇偶性。方向2：求參數的取值范圍【例4】(2019·南寧市摸底聯考)設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x2)f(2x)，當x2,0時，f(x)x1，若在區(qū)間(2,6)內關于x的方程f(x)loga(x2)0(a>0且a1)有且只有4個不同的根，則實數a的取值范圍是()A.B(1,4)C(1,8)D(8，)解析因為xR，f(x2)f(2x)，所以f(x4)f(2(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函數f(x)是一個周期函數，且T4。又因為當x2,0時，f(x)x1()x1，所以當x0,2時，f(x)f(x)()x1，于是x2，2時，f(x)()|x|1，根據f(x)的周期性作出f(x)的圖象如圖所示。若在區(qū)間(2,6)內關于x的方程f(x)loga(x2)0有且只有4個不同的根，則a>1且yf(x)與yloga(x2)(a>1)的圖象在區(qū)間(2,6)內有且只有4個不同的交點，因為f(2)f(2)f(6)1，所以對于函數yloga(x2)(a>1)，當x6時，loga8<1，解得a>8，即實數a的取值范圍是(8，)。故選D。答案D當參數的不等關系不易找出時，可將函數(或方程)等價轉化為方便作圖的兩個函數，再根據題設條件和圖象的變化確定參數的取值范圍?！绢}點對應練】1(方向1)已知函數f(x)x|x|2x，則下列結論正確的是()Af(x)是偶函數，單調遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數，單調遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數，單調遞減區(qū)間是(1,1)Df(x)是奇函數，單調遞增區(qū)間是(，0)解析f(x)畫出函數f(x)的圖象，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(1，1)上單調遞減。故選C。答案C2(方向1)函數f(x)是定義在4,4上的偶函數，其在0,4上的圖象如圖所示，那么不等式<0的解集為_。解析在上，ycosx>0，在上，ycosx<0。由f(x)的圖象知，在上，<0。因為f(x)為偶函數，ycosx也是偶函數，所以y為偶函數，所以<0的解集為。答案3(方向2)設函數f(x)|xa|，g(x)x1，對于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是_。解析作出函數f(x)|xa|與g(x)x1的圖象如圖所示，觀察圖象可知，當且僅當a1，即a1時，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范圍是1，)。答案1，)1(配合例2使用)函數f(x)的圖象大致是()ABCD解析易知函數f(x)的定義域為x|x±1，f(x)f(x)，所以函數f(x)為奇函數。當x(0,1)時，f(x)>0，排除D；當x(1，)時，f(x)<0，排除A，C。故選B。答案B2(配合例3使用)已知函數f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(1,2 017)B(1,2 018)C2,2 018D(2,2 018)解析設f(a)f(b)f(c)m，作出函數f(x)的圖象與直線ym，如圖所示，不妨設a<b<c，當0x1時，函數f(x)的圖象與直線ym的交點分別為A，B，由正弦曲線的對稱性，可得A(a，m)與B(b，m)關于直線x對稱，因此ab1，令log2 017x1，解得x2 017，結合圖象可得1<c<2 017，因此可得2<abc<2 018，即abc(2,2 018)。故選D。答案D3(配合例4使用)已知函數f(x)若函數f(x)的圖象上關于原點對稱的點有2對，則實數k的取值范圍是()A(，0) B.C(0，)D(0,1)解析依題意，函數f(x)的圖象上存在2對關于原點對稱的點，如圖，可作出函數yln(x)(x<0)的圖象關于原點對稱的函數ylnx(x>0)的圖象，使得它與直線ykx1(x>0)的交點個數為2即可，當直線ykx1與ylnx的圖象相切時，設切點為(m，lnm)，又ylnx的導數為y，則解得可得切線的斜率為1，結合圖象可知k(0,1)時，函數ylnx的圖象與直線ykx1有2個交點，即函數f(x)的圖象上關于原點對稱的點有2對。故選D。答案D14