第13講立體幾何1.2017·全國(guó)卷 如圖M4-13-1,圖M4-13-1在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90°.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為83,求該四棱錐的側(cè)面積.試做_命題角度證明垂直的解題策略證明線面垂直或者面面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直,進(jìn)而利用判定定理或性質(zhì)定理得到結(jié)論.證明線線垂直的常用方法:利用特殊圖形中的垂直關(guān)系;利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì);利用勾股定理的逆定理;利用直線與平面垂直的性質(zhì).2.2016·全國(guó)卷 如圖M4-13-2,圖M4-13-2四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明:MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.試做 _命題角度證明平行的解題策略證明線面平行的一般思路:先證明線線平行(用幾何體的特征、中位線定理、線面平行的性質(zhì)定理或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式等證明兩直線平行),再證明線面平行(注意推證線面平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤).3.2016·全國(guó)卷 如圖M4-13-3,圖M4-13-3菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到D'EF的位置.(1)證明:ACHD'(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22,求五棱錐D'-ABCFE的體積.試做  _命題角度折疊問(wèn)題證明折疊問(wèn)題中的平行與垂直,關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的變與不變.一般地,折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系折疊后不變,而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會(huì)發(fā)生變化.對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理,而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.解答1平行、垂直關(guān)系的證明1 如圖M4-13-4,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1B1B為菱形,AB=AC=BC,D,E,F分別為A1B1,CC1,AA1的中點(diǎn).(1)求證:DE平面A1BC;(2)若平面ABC平面AA1B1B,求證:AB1CF.圖M4-13-4聽(tīng)課筆記 _【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考?？计叫?、垂直關(guān)系的解題策略:(1)證明空間中的平行、垂直關(guān)系的常用方法是轉(zhuǎn)化,如證明面面平行時(shí),可轉(zhuǎn)化為證明線面平行,而證明線面平行時(shí),可轉(zhuǎn)化為證明線線平行,但有的時(shí)候證明線面平行時(shí),也可先證明面面平行,然后就能根據(jù)定義得出線面平行.(2)在證明時(shí),常通過(guò)三角形、平行四邊形、矩形等平面圖形去尋找平行和垂直關(guān)系.【自我檢測(cè)】如圖M4-13-5所示,四邊形ABCD為菱形,AF=2,AFDE,DE平面ABCD.(1)求證:AC平面BDE.(2)當(dāng)DE為何值時(shí),直線AC平面BEF?請(qǐng)說(shuō)明理由.圖M4-13-5解答2體積、距離的計(jì)算2 如圖M4-13-6,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,BAD=60°,PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在線段PC上,且PM=2MC,N為AD的中點(diǎn).(1)求證:AD平面PNB;(2)若平面PAD平面ABCD,求三棱錐P-NBM的體積.圖M4-13-6聽(tīng)課筆記 _【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 高考?？俭w積和距離問(wèn)題的解題策略:(1)求空間幾何體的體積的常用方法有換底法,轉(zhuǎn)化法,割補(bǔ)法.換底法的一般思路是找出幾何體的底面和高,看底面積和高是否容易計(jì)算,若較難計(jì)算,則轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面,使得底面積和高都比較容易求出;轉(zhuǎn)化法是利用一個(gè)幾何體與另一個(gè)幾何體之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)幾何體的體積;對(duì)于較復(fù)雜的幾何體,有時(shí)也進(jìn)行分割和補(bǔ)形,間接求得體積. (2)求立體幾何中的距離問(wèn)題時(shí)常利用等體積法,即把要求的距離轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何體的高,利用同一個(gè)幾何體的體積相等,轉(zhuǎn)換這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)去求解.【自我檢測(cè)】1.如圖M4-13-7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90°,AC1平面A1BC.(1)證明:平面ABC平面ACC1A1;(2)若BC=AC=2,A1A=A1C,求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離.圖M4-13-72.在如圖M4-13-8所示的四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,DAB=60°,PAB為正三角形.(1)證明:ABPD;(2)若PD=62AB,四棱錐P-ABCD的體積為16,求PC的長(zhǎng).圖M4-13-8解答3翻折與探索性問(wèn)題32018·全國(guó)卷 如圖M4-13-9所示,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90°.以AC為折痕將ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且ABDA.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23DA,求三棱錐Q-ABP的體積.圖M4-13-9聽(tīng)課筆記 _【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考中翻折與探索性問(wèn)題的解題策略:(1)翻折問(wèn)題有一定的難度,在解題時(shí),一定要先弄清楚在翻折過(guò)程中哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒(méi)有發(fā)生變化.一般情況下,長(zhǎng)度不發(fā)生變化,而位置關(guān)系發(fā)生變化.再通過(guò)連線得到三棱錐、四棱錐等幾何體,最后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們較熟悉的幾何體中去解決.(2)對(duì)于探索性問(wèn)題,一般根據(jù)問(wèn)題的設(shè)問(wèn),首先假設(shè)其存在,然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證,如果通過(guò)推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè),如果得到了矛盾就否定假設(shè).【自我檢測(cè)】1.如圖M4-13-10所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,M為DC的中點(diǎn),將ADM沿AM折起,使平面ADM平面ABCM,如圖M4-13-10所示.(1)求證:平面BMD平面ADM; (2)當(dāng)AB=2時(shí),求三棱錐M-BCD與三棱錐D-ABM的體積比.圖M4-13-102.如圖M4-13-11,在四邊形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分別在BC,AD上,EFAB,現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,如圖M4-13-11所示.(1)若BE=1,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,且AP=PD,使得CP平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.(2)求三棱錐A-CDF的體積的最大值.圖M4-13-11第13講立體幾何 典型真題研析1.解:(1)證明:由已知BAP=CDP=90°,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.設(shè)AB=x,則由已知可得AD=2x,PE=22x,故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=13AB·AD·PE=13x3.由題設(shè)得13x3=83,故x=2.從而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22,可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC2sin60°=6+23.2.解:(1)證明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN.由N為PC的中點(diǎn)知TNBC,且TN=12BC=2.又ADBC,所以TN􀱀AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為12PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3,得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距離為5,故SBCM=12×4×5=25.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13×SBCM×PA2=453.3.解:(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.由此得EFHD,EFHD',所以ACHD'.(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4,所以O(shè)H=1,D'H=DH=3,于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'OH.由(1)知ACHD',又ACBD,BDHD'=H,所以AC平面BHD',于是ACOD',又OD'OH,ACOH=O,所以O(shè)D'平面ABC.由EFAC=DHDO得EF=92.五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92×3=694.所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=2322. 考點(diǎn)考法探究解答1例1證明:(1)設(shè)AB1,A1B相交于點(diǎn)O,連接OD,OC.因?yàn)镺,D分別為A1B,A1B1的中點(diǎn),所以O(shè)DBB1,且OD=12BB1.因?yàn)锽B1CC1,BB1=CC1,E是CC1的中點(diǎn),所以CEBB1,且CE=12BB1,所以CEOD,CE=OD,所以四邊形ODEC是平行四邊形,所以O(shè)CDE.又OC平面A1BC,DE平面A1BC,所以DE平面A1BC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B為菱形,所以AB1A1B.取AB的中點(diǎn)M,連接MF,MC.因?yàn)镸,F分別為AB,AA1的中點(diǎn),所以MFA1B,AB1MF.因?yàn)锳BC為等邊三角形,所以CMAB.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1B1B,CM平面ABC,平面ABC平面AA1B1B=AB,所以CM平面AA1B1B,所以CMAB1.又MFCM=M,所以AB1平面CMF,所以AB1CF.【自我檢測(cè)】解:(1)證明:因?yàn)镈E平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACDE.在菱形ABCD中,ACBD,又DEBD=D,DE平面BDE,BD平面BDE.所以AC平面BDE.(2)當(dāng)DE=4時(shí),直線AC平面BEF,理由如下:在菱形ABCD中,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,取BE的中點(diǎn)M,連接OM,FM,則OM為BDE的中位線,所以O(shè)MDE,且OM=12DE=2,又AFDE,AF=12DE=2,所以O(shè)MAF,且OM=AF.所以四邊形AOMF為平行四邊形,則ACFM.因?yàn)锳C平面BEF,FM平面BEF,所以直線AC平面BEF.解答2例2解:(1)證明:PA=PD,N為AD的中點(diǎn),PNAD.底面ABCD為菱形,BAD=60°,N為AD的中點(diǎn),BNAD,PNBN=N,AD平面PNB.(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PNAD,PN平面PAD,PN平面ABCD,PNNB,又PA=PD=AD=2,PN=NB=3,SPNB=12×3×3=32.AD平面PNB,ADBC,BC平面PNB.PM=2MC,VP-NBM=VM-PNB=23VC-PNB=23×13×32×2=23,三棱錐P-NBM的體積為23.【自我檢測(cè)】1.解:(1)證明:AC1平面A1BC,AC1BC.BCA=90°,BCAC,又ACAC1=A,BC平面ACC1A1.又BC平面ABC,平面ABC平面ACC1A1.(2)取AC的中點(diǎn)D,連接A1D,B1C,如圖所示.A1A=A1C,A1DAC.又平面ABC平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC,A1D平面ACC1A1,A1D平面ABC.AC1平面A1BC,AC1A1C,四邊形ACC1A1為菱形,AA1=AC.又A1A=A1C,A1AC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,A1D=3,VABC -A1B1C1=12×2×2×3=23.設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為h,則VB1-A1BC=13VABC -A1B1C1=233=13hSA1BC.又BCA1C,BC=2,A1C=2,SA1BC=2,h=3.所以點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為3.2.解:(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接PO,DO,BD,如圖所示.四邊形ABCD為菱形,DAB=60°,ABD為正三角形,DA=DB,DOAB,PAB為正三角形,POAB,又DOPO=O,PO平面POD,DO平面POD,AB平面POD,PD平面POD,ABPD.(2)設(shè)AB=2x,則PD=6x.在正三角形PAB中,PO=3x,同理DO=3x,PO2+OD2=PD2,POOD,又POAB,DOAB=O,DO平面ABCD,AB平面ABCD,PO平面ABCD,VP-ABCD=13×23x2×3x=16,x=2,則PD=26,CD=AB=4.ABCD,ABPD,CDPD,PC=PD2+CD2=(26)2+42=210.解答3例3解:(1)證明:由已知可得,BAC=90°,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足為E,則QE13DC.由已知及(1)可知DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP=13×QE×SABP=13×1×12×3×22sin45°=1.【自我檢測(cè)】1.解:(1)證明:在矩形ABCD中,AB=2AD,M為DC的中點(diǎn),ADM,BCM都是等腰直角三角形,且ADM=90°,BCM=90°,BMAM,折起后這一垂直關(guān)系不變.又平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,BM平面ADM.又BM平面BMD,平面BMD平面ADM.(2)如圖所示,取AM的中點(diǎn)N,連接DN,DA=DM,DNAM,平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,DN平面ADM,DN平面ABCM.AB=2,AD=DM=CM=CB=1,AM=BM=2,DN=22,SBCM=12CM·CB=12,SABM=12AM·MB=1,VM-BCD=VD-BCM=13SBCM·DN=212,VD-ABM=13SABM·DN=26,VM - BCDVD - ABM=12.2.解:(1)在折疊后的圖中,過(guò)C作CGFD,交FD于G,過(guò)G作GPFD交AD于P,連接PC.在折疊前的四邊形ABCD中,EFAB,ABAD,所以EFAD.折起后DFEF,所以CGEF,又平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以FD平面ABEF.又AF平面ABEF,所以FDAF,所以PGAF,又BE=1,所以FG=EC=3,GD=2,故APPD=FGGD=32.因?yàn)镃GPG=G,EFAF=F,所以平面CPG平面ABEF,因?yàn)镃P平面CPG,所以CP平面ABEF.所以在線段AD上存在一點(diǎn)P,且AP=32PD,使得CP平面ABEF.(2)因?yàn)锳FEF,平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以AF平面EFDC.設(shè)BE=x(0<x4),所以AF=x,FD=6-x,又CG=AB=2,所以VA-CDF=13×12×2×(6-x)·x=13(-x2+6x)=139-(x-3)2,所以當(dāng)x=3時(shí),VA-CDF取得最大值3,即三棱錐A-CDF的體積的最大值為3.備選理由 本題用切割法求幾何體的體積,是對(duì)正文中例2的補(bǔ)充和拓展.例配例2使用 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,ABBC,D為AC的中點(diǎn),A1A=AB=2,BC=3.(1)求證:AB1平面BC1D;(2)求四棱錐B-AA1C1D的體積.解:(1)證明:如圖所示,連接B1C,設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O,連接OD. 四邊形BCC1B1是平行四邊形,點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn).D為AC的中點(diǎn),OD為AB1C的中位線,ODAB1.OD平面BC1D,AB1平面BC1D,AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC,AB平面ABC,AA1AB.BB1AA1,BB1AB.ABBC,BCBB1=B,AB平面BB1C1C.取BC的中點(diǎn)E,連接DE,則DEAB,DE=12AB,DE平面BB1C1C.BB1平面ABC,BB1BC,又BB1CC1,BCB1C1,CC1BC,BB1B1C1,又A1A=AB=2,BC=3,DE=1,三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=12·AB·BC·AA1=6,VD - BCC1=13×12·BC·CC1·DE=1,VA1- BB1C1=13×12·B1C1·BB1·A1B1=2.又V=VD - BCC1+VA1- BB1C1+VB - AA1C1D,6=1+2+VB - AA1C1D,VB - AA1C1D=3,四棱錐B-AA1C1D的體積為3.16