第5講概率與統(tǒng)計(jì)真題調(diào)研【例1】2019·全國(guó)卷11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲獲勝”的概率解：(1)X2就是1010平后，兩人又打2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.5×0.4(10.5)×(10.4)0.5.(2)X4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0.5×(10.4)(10.5)×0.4×0.5×0.40.1.【例2】2019·全國(guó)卷為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)解：(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.153×0.204×0.305×0.206×0.107×0.054.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.054×0.105×0.156×0.357×0.208×0.156.00.【例3】2019·北京卷改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由解：(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有189330人，僅使用B的學(xué)生有1014125人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有1003025540人所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)值為0.4.(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C)0.4，P(D)0.6.所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24，P(X1)P(CD)P(C)P()P()P(D)0.4×(10.6)(10.4)×0.60.52，P(X0)P()P()P()0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×0.241×0.522×0.241.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得，P(E).答案示例1：可以認(rèn)為有變化理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化所以可以認(rèn)為有變化答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化【例4】2019·全國(guó)卷為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi(i0,1，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假設(shè)0.5，0.8.()證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數(shù)列；()求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性解：(1)X的所有可能取值為1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列為(2)()由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1(i1,2，7)，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因?yàn)閜1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列()由()可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p40.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理模擬演練12019·南昌二模某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開(kāi)設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1,2,3,4,5時(shí)，單店日平均營(yíng)業(yè)額y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)x12345單店日平均營(yíng)業(yè)額y/萬(wàn)元10.910.297.87.1(1)求單店日平均營(yíng)業(yè)額y(單位：萬(wàn)元)與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)x的線性回歸方程；(2)該公司根據(jù)(1)中所求的回歸方程，決定在其他5個(gè)地區(qū)中，開(kāi)設(shè)加盟店個(gè)數(shù)為5,6,7的地區(qū)數(shù)分別為2,1,2.小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，但根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從這5個(gè)地區(qū)的30個(gè)加盟店中隨機(jī)抽取一個(gè)加入記事件A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個(gè)地區(qū)，事件B：小趙與小王抽取到的加盟店預(yù)計(jì)日平均營(yíng)業(yè)額之和不低于12萬(wàn)元，求在事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率(參考數(shù)據(jù)及公式：iyi125，55，線性回歸方程x，其中，)解：(1)由題可得，3，9，設(shè)所求線性回歸方程為x，則1，將3，9代入，得9(3)12，故所求線性回歸方程為x12.(2)根據(jù)(1)中所得回歸方程，加盟店個(gè)數(shù)為5的地區(qū)單店預(yù)計(jì)日平均營(yíng)業(yè)額為7萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為6的地區(qū)單店預(yù)計(jì)日平均營(yíng)業(yè)額為6萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為7的地區(qū)單店預(yù)計(jì)日平均營(yíng)業(yè)額為5萬(wàn)元P(A)，P(AB)，所以P(B|A).22019·武漢4月調(diào)研中共十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入，力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地區(qū)扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為年平均收入，2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s26.92.利用該正態(tài)分布，解決下列問(wèn)題：在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1 000位農(nóng)民若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立，問(wèn)：這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式2.63，若XN(，2)，則P(<X)0.682 7；P(2<X2)0.954 5；P(3<X3)0.997 3.解：(1)12×0.0414×0.1216×0.2818×0.3620×0.1022×0.0624×0.0417.40(千元)(2)由題意，XN(17.40,6.92)P(X>u)0.841 4，17.402.6314.77，即最低年收入大約為14.77千元由P(X12.14)P(X2)0.50.977 3，得每個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.977 3，記這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元的人數(shù)為，則B(103，p)，其中p0.977 3，于是恰好有k位農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(k)Ck103pk(1p)103k，從而由>1，得k<1 001p，而1 001p978.277 3，所以，當(dāng)0k978時(shí)，P(k1)<P(k)，當(dāng)979k1 000時(shí)，P(k1)>P(k)由此可知，在所走訪的1 000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978.32019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)二目前，浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點(diǎn)的“排頭兵”，有關(guān)其他省份新高考改革的實(shí)施安排，教育部部長(zhǎng)在十九大上做出明確表態(tài)：到2020年，我國(guó)將全面建立起新的高考制度新高考規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱(chēng)該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱(chēng)該學(xué)生選考方案待確定例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：選考方案研究情況物理化學(xué)生物歷史地理政治男生確定的有16人16168422待確定的有12人860200女生確定的有20人610201626待確定的有12人2810002(1)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？(2)將2×2列聯(lián)表填寫(xiě)完整，并通過(guò)計(jì)算判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)？選歷史不選歷史總計(jì)選考方案確定的男生選考方案確定的女生總計(jì)(3)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()附：K2，nabcd.P(K2k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由題意可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有20人，則該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生約有××840392(人)(2)2×2列聯(lián)表填寫(xiě)完整為選歷史不選歷史總計(jì)選考方案確定的男生41216選考方案確定的女生16420總計(jì)201636由2×2列聯(lián)表可得，K2的觀測(cè)值k10.8910.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)(3)由題表中數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治由已知得的取值為0,1.P(1)，P(0)1P(1)(或P(0)，所以的分布列為01P所以E()0×1×.42019·濟(jì)南模擬某客戶(hù)準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過(guò)濾，使用壽命為十年，如圖1所示兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器采用并聯(lián)安裝，二級(jí)過(guò)濾器與三級(jí)過(guò)濾器為串聯(lián)安裝其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)，在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立)，三級(jí)濾芯無(wú)需更換，若客戶(hù)在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)80元，二級(jí)濾芯每個(gè)160元若客戶(hù)在使用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)200元，二級(jí)濾芯每個(gè)400元，現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖2是根據(jù)200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表：圖1圖2二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表：二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040以200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率；(2)記X表示該客戶(hù)的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)記m，n分別表示該客戶(hù)在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)若mn28，且n5,6，以該客戶(hù)的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器均需更換12個(gè)濾芯，二級(jí)過(guò)濾器需要更換6個(gè)濾芯設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30”為事件A.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換12個(gè)濾芯的概率為0.4，二級(jí)過(guò)濾器需要更換6個(gè)濾芯的概率為0.4，所以P(A)0.4×0.4×0.40.064.(2)由柱狀圖可知，一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為10,11,12的概率分別為0.2,0.4,0.4.由題意，X可能的取值為20,21,22,23,24，則P(X20)0.2×0.20.04，P(X21)0.2×0.4×20.16，P(X22)0.4×0.40.2×0.4×20.32，P(X23)0.4×0.4×20.32，P(X24)0.4×0.40.16，所以X的分布列為X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X)20×0.0421×0.1622×0.3223×0.3224×0.1622.4.(3)解法一：因?yàn)閙n28，n5,6，若m22，n6，則該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為22×80200×0.32400×0.166×1602 848；若m23，n5，則該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為23×80200×0.165×160400×0.42 832，故m，n的值分別為23,5.解法二：因?yàn)閙n28，n5,6，若m22，n6，設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Y1(單位：元)，則Y1176019602160P0.520.320.16E(Y1)1 760×0.521 960×0.322 160×0.161 888.設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Y2(單位：元)，則Y26×160960，E(Y2)1×960960.所以該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為E(Y1)E(Y2)1 8889602 848.若m23，n5，設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Z1(單位：元)，則Z11 8402 040P0.840.16E(Z1)1 840×0.842 040×0.161 872.設(shè)該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Z2(單位：元)，則Z28001 200P0.60.4E(Z2)800×0.61 200×0.4960，所以該客戶(hù)在十年使用期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為E(Z1)E(Z2)1 8729602 832，故m，n的值分別為23,5.11