難點五復雜數(shù)列的通項公式與求和問題(對應學生用書第71頁)數(shù)列在高考中占重要地位，應當牢記等差、等比的通項公式，前n項和公式，等差、等比數(shù)列的性質，以及常見求數(shù)列通項的方法，如累加、累乘、構造等差、等比數(shù)列法、取倒數(shù)等數(shù)列求和問題中，對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問題，一般用倒序相加法、通項化歸法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項入手，通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題一、數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式在數(shù)列中占有重要地位，是數(shù)列的基礎之一，在高考中，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及它們的性質是必考內(nèi)容，一般以填空題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題，若數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量、三角函數(shù)等知識點交融，難度就較大，也是近幾年命題的熱點1由數(shù)列的遞推關系求通項由遞推關系求數(shù)列的通項的基本思想是轉化，常用的方法：(1)an1anf (n)型，采用疊加法(2)f (n)型，采用疊乘法(3)an1panq(p0，p1)型，轉化為等比數(shù)列解決2由Sn與an的關系求通項anSn與an的關系為：an【例1】(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Snn2an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(2n1)an2n1，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求滿足不等式2 010的n的最小值解(1)證明：當n1時，2a1a11，a11.2anSnn，nN*，2an1Sn1n1，n2，兩式相減得an2an11，n2，即an12(an11)，n2，數(shù)列an1為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1，nN*；(2)bn(2n1)an2n1(2n1)·2n，Tn3·25·22(2n1)·2n，2Tn3·225·23(2n1)·2n1，兩式相減可得Tn3·22·222·232·2n(2n1)·2n1，Tn(2n1)·2n12，2 010可化為2n12 010，2101 024,2112 048滿足不等式2 010的n的最小值為10.點評利用anSnSn1求通項時，注意n2這一前提條件，易忽略驗證n1致誤，當n1時，a1若適合通項，則n1的情況應并入n2時的通項；否則an應利用分段函數(shù)的形式表示二、數(shù)列的求和常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解；(2)ana·qn1，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解；(3)anbn±cn，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項和；(4)anbn·cn，數(shù)列bn，cn分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，采用錯位相減法求和【例2】(揚州市2017屆高三上學期期末)已知數(shù)列an與bn的前n項和分別為An和Bn，且對任意nN*，an1an2(bn1bn)恒成立(1)若Ann2，b12，求Bn；(2)若對任意nN*，都有anBn及成立，求正實數(shù)b1的取值范圍；(3)若a12，bn2n，是否存在兩個互不相等的整數(shù)s，t(1st)，使，成等差數(shù)列？若存在，求出s，t的值；若不存在，請說明理由. 【導學號：56394102】解(1)因為Ann2，所以an即an2n1，故bn1bn(an1an)1，所以數(shù)列bn是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以Bnn·2·n·(n1)·1n2n.(2)依題意Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2，所以數(shù)列bn是以b1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以anBn×b1b1(2n1)，所以，因為所以，所以恒成立，即b13，所以b13.(3)由an1an2(bn1bn)得：an1an2n1，所以當n2時，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n2n1232222n12，當n1時，上式也成立，所以An2n242n，又Bn2n12，所以2，假設存在兩個互不相等的整數(shù)s，t(1st)，使，成等差數(shù)列，等價于，成等差數(shù)列，即，即1，因為11，所以1，即2s2s1，令h(s)2s2s1(s2，sN*)，則h(s1)h(s)2s20所以h(s)遞增，若s3，則h(s)h(3)10，不滿足2s2s1，所以s2，代入得2t3t10(t3)，當t3時，顯然不符合要求；當t4時，令(t)2t3t1(t4，tN*)，則同理可證(t)遞增，所以(t)(4)30，所以不符合要求所以，不存在正整數(shù)s，t(1st)，使，成等差數(shù)列點評裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項從而達到求和的目的要注意的是裂項相消法的前提是數(shù)列中的每一項均可分裂成一正一負兩項，且在求和過程中能夠前后相互抵消4