專題七 隨機(jī)變量、空間向量這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時較多，是高考的重點，近幾年通常交替式考查，對于空間向量的考查，以容易建立空間直角坐標(biāo)系，計算空間角為主(2015年、2017年、2018年)，難度一般；概率題重點考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布等，難度中等偏難(2017年T23、2019年T23)既考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理，又考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)第一講 | 隨機(jī)變量與分布列題型(一)離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望 典例感悟例1 (2019·南通等七市一模)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 553等顯然兩位“回文數(shù)”共9個：11，22，33，99，現(xiàn)從9個不同兩位“回文數(shù)”中任取1個乘以4，其結(jié)果記為X；從9個不同兩位“回文數(shù)”中任取2個相加，其結(jié)果記為Y.(1)求X為“回文數(shù)”的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量表示X，Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望E()解(1)記“X是回文數(shù)”為事件A，9個不同兩位“回文數(shù)”乘以4的值依次為44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文數(shù)”有44，88.所以事件A的概率為.(2)由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2.由(1)得P(A).設(shè)“Y是回文數(shù)”為事件B，則事件A，B相互獨立根據(jù)已知條件得，P(B).P(0)P(A)P(B)×；P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)××；P(2)P(A)P(B)×.所以隨機(jī)變量的分布列為012P所以E()0×1×2×.方法技巧求離散型隨機(jī)變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機(jī)變量取各個值的概率具體步驟如下：演練沖關(guān)(2018·揚州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時間安排生活趣味數(shù)學(xué)和校園舞蹈賞析兩場講座已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場若A組1人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余4人選聽校園舞蹈賞析；B組2人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余3人選聽校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽生活趣味數(shù)學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率為.(2)X可能的取值為0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.題型(二) n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布主要考查對n次獨立重復(fù)試驗的模型的識別以及二項分布模型公式的應(yīng)用.典例感悟例2(2019·南京鹽城二模)如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口A到出口B，每遇到一個岔路口，每位游客選擇任何一條道路行進(jìn)是等可能的現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口A的岔路口開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口B集合，設(shè)點C是其中的一個岔路口(1)求甲經(jīng)過點C的概率；(2)設(shè)這4名游客中恰有X名游客經(jīng)過點C，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“甲經(jīng)過點C”為事件M，從進(jìn)口A出發(fā)時，甲選中間的路的概率為，再從岔路到達(dá)點C的概率為，所以選擇從中間一條路走到點C的概率P1×.同理，選擇從最右邊的路走到點C的概率P2×所以P(M)P1P2.故甲經(jīng)過點C的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則P(X0)C××，P(X1)C××，P(X2)C××，P(X3)C××，P(X4)C××.所以X的分布列為X01234P數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×4×.方法技巧二項分布的分布列及期望問題求解三步驟第一步判斷二項分布先判斷隨機(jī)變量是否服從二項分布，即若滿足：對立性：即一次試驗中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；重復(fù)性：試驗在相同條件下獨立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機(jī)變量服從二項分布，否則不服從二項分布第二步求概率若該隨機(jī)變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率分別是多少第三步求期望根據(jù)二項分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項分布期望公式求期望即可演練沖關(guān)(2018·蘇北四市三調(diào))將4本不同的書隨機(jī)放入編號為1，2，3，4的四個抽屜中(1)求4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示放在2號抽屜中書的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)將4本不同的書放入編號為1，2，3，4的四個抽屜中，共有44256種不同放法記“4本書恰好放在四個不同抽屜中”為事件A，則事件A共包含A24個基本事件，所以P(A)，所以4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率為.(2)法一：X的所有可能取值為0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)0×1×2×3×4×1.法二：每本書放入2號抽屜的概率為P(B)，P()1.根據(jù)題意XB，所以P(Xk)C·，k0，1，2，3，4，所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)4×1.題型(三)概率與其他知識的綜合主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問題.典例感悟例3(2018·南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結(jié)論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)CC，同理P(3)CCC.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n1局，故P(n)CCC···，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法技巧二項分布與二項式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識交匯命題演練沖關(guān)1(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點集An(0，0)，(1，0)，(2，0)，(n，0)，Bn(0，1)，(n，1)，Cn(0，2)，(1，2)，(2，2)，(n，2)，nN*.令MnAnBnCn.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離(1)當(dāng)n1時，求X的概率分布；(2)對給定的正整數(shù)n(n3)，求概率P(Xn)(用n表示)解：(1)當(dāng)n1時，X的所有可能取值是1, ，2, .X的概率分布為P(X1)，P(X)，P(X2)，P(X ).(2)設(shè)A(a，b)和B(c，d)是從Mn中取出的兩個點因為P(Xn)1P(X>n)，所以僅需考慮X>n的情況若bd，則ABn，不存在X>n的取法；若b0，d1，則AB ，所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB ，此時a0，cn或an，c0，有2種取法；若b0，d2，則AB.因為當(dāng)n3時，n，所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB，此時a0，cn或an，c0，有2種取法；若b1，d2，則AB，所以X>n當(dāng)且僅當(dāng)AB ，此時a0，cn或an，c0，有2種取法綜上，當(dāng)X>n時，X的所有可能取值是和，且P(X)，P(X).因此，P(Xn)1P(X)P(X)1.2(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1，2，3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k1，2，3，mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<.解：(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布為：XP隨機(jī)變量X的期望為：E(X)mn,kn ·mn,kn ·.所以E(X)<mn,kn mn,kn (1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)<. A組大題保分練1(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個，分別編號為1，2，3，4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個球(1)若兩個球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；(2)在(1)的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望解：(1)兩個球顏色不同的情況共有C·4296(種)(2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123P所以E(X)0×1×2×3×.2(2019·蘇錫常鎮(zhèn)一模)從批量較大的產(chǎn)品中隨機(jī)取出10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，若這批產(chǎn)品的不合格率為0.05，隨機(jī)變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品的件數(shù)(1)問：這10件產(chǎn)品中“恰好有2件不合格的概率P(X2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X3)”哪個大？請說明理由；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)解：批量較大，可以認(rèn)為隨機(jī)變量XB(10，0.05)(1)恰好有2件不合格的概率P(X2)C×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率P(X3)C×0.053×0.957，1，P(X2)P(X3)，即恰好有2件不合格的概率大(2)令p0.05，P(Xk)pkCpk(1p)10k，k0，1，2，10.隨機(jī)變量X的概率分布為X01210PCp0(1p)10Cp1(1p)9Cp2(1p)8Cp10(1p)0故E(X)10,k0kpk10×0.050.5.3(2019·南通、泰州等七市三模)現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP，學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影響已知該APP積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累計3分鐘積2分，每日上限積6分經(jīng)過抽樣統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示表1文章學(xué)習(xí)積分12345概率表2視頻學(xué)習(xí)積分246概率(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取1人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取3人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望解：(1)由題意知，獲得的積分不低于9分的情形有：文章學(xué)習(xí)積分3455視頻學(xué)習(xí)積分6646因為兩類學(xué)習(xí)互不影響，所以概率P××××，所以每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為.(2)隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.由(1)知每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為，則P(0)；P(1)C××；P(2)C××；P(3).所以隨機(jī)變量的概率分布為0123P所以E()0×1×2×3×.所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.4已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實驗小組對該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗，若該實驗小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨立)，用表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值(1)求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求不等式x2x1>0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0，1，2，3，4，對應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4，3，2，1，0，所以的所有可能取值為0，2，4，P(0)C××，P(2)C××C××，P(4)C××C××.所以隨機(jī)變量的概率分布為024P數(shù)學(xué)期望E()0×2×4×.(2)由(1)知的所有可能取值為0，2，4，當(dāng)0時，代入x2x1>0，得1>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時，代入x2x1>0，得2x22x1>0，即2>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時，代入x2x1>0，得4x24x1>0，其解集為x，不滿足題意所以不等式x2x1>0的解集為R的概率PP(0)P(2).B組大題增分練1(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨立規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級加1分，有兩門學(xué)科獲A等級加2分，有三門學(xué)科獲A等級加3分，四門學(xué)科獲A等級則加5分記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值(1)求X1的數(shù)學(xué)期望；(2)求X2的分布列解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級為事件Ai，i0，1，2，3，4.X1的可能取值為0，1，2，3，5.則P(Ai)C，即P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，則X1的分布列為X101235P所以E(X1)0×1×2×3×5×.(2)X2的可能取值為0，2，4，則P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列為X2024P2.(2018·全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？解：(1)因為20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2·(1p)18，所以f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0，0.1)時，f(p)>0；當(dāng)p(0.1，1)時，f(p)<0.所以f(p)的最大值點為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180，0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗3.如圖，設(shè)P1，P2，P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現(xiàn)任選其中三個不同點構(gòu)成一個三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)解：(1)從六個點中任選三個不同點構(gòu)成一個三角形共有C種不同選法，其中S的為有一個角是30°的直角三角形(如P1P4P5)，共6×212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120°的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的分布列為SP所以E(S)×××.4(2019·全國卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i0，1，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假設(shè)0.5，0.8.證明：pi1pi(i0，1，2，7)為等比數(shù)列；求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性解：(1)X的所有可能取值為1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列為X101P(1)(1)(1)(1)(2)證明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因為p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p40.003 9，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理第二講 | 運用空間向量求角題型(一) 運用空間向量求兩直線所成的角主要考查用直線的方向向量求異面直線所成的角.典例感悟例1(2019·南京鹽城一模)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD1，PAAB，點E是棱PB的中點(1)求異面直線EC與PD所成角的余弦值；(2)求二面角B­EC­D的余弦值解(1)因為PA底面ABCD，且底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又PAAB，AD1，所以B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，因為E是棱PB的中點，所以E，所以，(0，1，)，所以cos，所以異面直線EC與PD所成角的余弦值為.(2)由(1)得，(0，1，0)，(，0，0)設(shè)平面BEC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以得y10，令x11，則z11，所以平面BEC的一個法向量為n1(1，0，1)設(shè)平面DEC的法向量為n2(x2，y2，z2)則所以得x20，令z2，則y21，所以平面DEC的一個法向量為n2(0，1，)所以cosn1，n2.由圖可知二面角B­EC­D為鈍二面角，所以二面角B­EC­D的余弦值為.方法技巧1兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos |cos |.2用向量法求異面直線所成角的四步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值演練沖關(guān)(2019·蘇北三市一模)如圖，在三棱錐D­ABC中，DA平面ABC，CAB90°，且ACAD1，AB2，E為BD的中點(1)求異面直線AE與BC所成角的余弦值；(2)求二面角A­CE­B的余弦值解：因為DA平面ABC，CAB90°，所以可以以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.因為ACAD1，AB2，所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)因為點E為線段BD的中點，所以E.(1) ，(1，2，0)所以cos，所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ACE的法向量為n1(x1，y1，z1)，因為(1，0，0)，所以n1·0，n1·0，即x10且y1z10，取y11，得z12，所以n1(0，1，2)是平面ACE的一個法向量設(shè)平面BCE的法向量為n2(x2，y2，z2)，因為(1，2，0)，所以n2·0，n2·0，即x22y20且y2z20，取y21，得x22，z22，所以n2(2，1，2)是平面BCE的一個法向量所以cosn1，n2.由圖易知二面角A­CE­B為鈍二面角，所以二面角A­CE­B的余弦值為.題型(二)運用空間向量求直線和平面所成的角考查用直線的方向向量與平面的法向量計算直線與平面所成的角.典例感悟例2(2019·常州期末)如圖，在空間直角坐標(biāo)系O­xyz中，已知正四棱錐P­ABCD的高OP2，點B，D和C，A分別在x軸和y軸上，且AB，點M是棱PC的中點(1)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角A­PB­C的余弦值解(1)設(shè)直線AM與平面PAB所成的角為，易知A(0，1，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，M，則(1，1，0)，(0，1，2)，.設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，所以即 令x2，得y2，z1，所以n(2，2，1)是平面PAB的一個法向量，所以sin |cosn，|.故直線AM與平面PAB所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面PBC的法向量為n1(x1，y1，z1)，易知C(0，1，0)，則(1，1，0)，(1，0，2)，所以得令x12，得y12，z11，所以n1(2，2，1)是平面PBC的一個法向量，所以cosn，n1.易知二面角A­PB­C為鈍二面角，所以二面角A­PB­C的余弦值為.方法技巧直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |，.演練沖關(guān)如圖，在三棱錐P­ABC中，APB90°，PAB60°，ABBCCA，平面PAB平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成的角的正弦值；(2)求二面角B­AP­C的平面角的余弦值解：(1)如圖，設(shè)AB的中點為D，作POAB于點O，由APB90°，PAB60°得O為AD的中點，連接CD.因為平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAD，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABBCCA，知CDAB.設(shè)E為AC的中點，則EOCD，從而OEPO，OEAB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.不妨設(shè)PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，OP，CD2.所以O(shè)(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，)，所以(1，2，)而(0，0，)為平面ABC的一個法向量，設(shè)為直線PC與平面ABC所成的角，則sin .(2)由(1)有(1，0，)，(2，2，0)設(shè)平面APC的一個法向量為n(x1，y1，z1)，則從而取x1，則y11，z11，所以n(，1，1)設(shè)二面角B­AP­C的平面角為，易知為銳角而平面ABP的一個法向量為m(0，1，0)，則cos .題型(三)運用空間向量求二面角 典例感悟例3(2019·南京四校聯(lián)考)如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AA14，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點(1)求異面直線BE和AF所成角的余弦值；(2)求平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值解在長方體ABCD­A1B1C1D1中，以點D1為坐標(biāo)原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示因為ABBC2，AA14，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點，所以B(2，2，4)，E(1，0，4)，A(2，0，4)，F(xiàn)(0，2，2)，B1(2，2，0)，D1(0，0，0)(1)(1，2，0)，(2，2，2)，設(shè)異面直線BE和AF所成的角為，則cos .故異面直線BE和AF所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面B1D1F和平面BB1E的法向量分別是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(0，2，2)，(2，2，0)，則取x11，則y11，z11，得n1(1，1，1)為平面B1D1F的一個法向量(1，2，0)，(0，0，4)，則z20，取y21，則x22，得n2(2，1，0)為平面BB1E的一個法向量設(shè)平面B1D1F與平面BB1E所成的角為，則cos .故平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值為.方法技巧二面角的求法建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2求出(結(jié)合圖形取“±”號)二面角，也可根據(jù)線面垂直，直接求出法向量來求解演練沖關(guān)1(2019·蘇州期末)如圖，四棱錐P­ABCD中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)面PAD平面ABCD，PAPD，PA與平面PBC所成角的正弦值為.(1)求側(cè)棱PA的長；(2)設(shè)E為AB中點，若PAAB，求二面角B­PC­E的余弦值解：(1)取AD的中點O，BC的中點M，連接OP，OM，因為PAPD，所以O(shè)PAD，又平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，所以O(shè)P平面ABCD，又OA平面ABCD，OM平面ABCD，所以O(shè)POA，OPOM.因為ABCD是正方形，所以O(shè)AOM.以O(shè)為原點，OA，OM，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz(如圖)，則A，B，C.設(shè)P(0，0，c)(c0)，則，(1，0，0)設(shè)平面PBC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以取z11，則y1c，從而n1(0，c，1)是平面PBC的一個法向量設(shè)PA與平面PBC所成的角為，因為，所以sin |cos，n1|，得c2或c2，所以PA1或PA.(2)由(1)知，PAAB1，所以PA1，c.由(1)知，平面PBC的一個法向量為n1(0，c，1).設(shè)平面PCE的法向量為n2(x，y，z)，而，所以則取x1，則y2，z，即n2(1，2，)是平面PCE的一個法向量設(shè)二面角B­PC­E的平面角為，所以|cos |cos n1，n2|.根據(jù)圖形知為銳角，所以二面角B­PC­E的余弦值為.2(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，已知正四棱錐P­ABCD中，PAAB2，點M，N分別在PA，BD上，且.(1)求異面直線MN與PC所成角的大小；(2)求二面角N­PC­B的余弦值解：(1)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC，BD交于點O，在正四棱錐P­ABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以O(shè)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點，方向分別是x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz，如圖則A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)故 ， 所以，(1，1，)，cos，所以MN與PC所成角的大小為30°.(2)(1，1，)，(2，0，0)，NC.設(shè)m(x，y，z)是平面PCB的一個法向量，則即令y，得z1，所以m(0，1)，設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCN的一個法向量，則即令x12，得y14，z1，所以n(2，4，), 故cosm，n，所以二面角N­PC­B的余弦值為. A組大題保分練1(2019·南通等七市二模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，AB1，APAD2.(1)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(2)若點M，N分別在AB，PC上，且MN平面PCD，試確定點M，N的位置解：(1)由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以，為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)從而(1，0，2)，(1，2，2)，(0，2，2)設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即不妨取y1，則x0，z1.所以平面PCD的一個法向量為n(0，1，1)設(shè)直線PB與平面PCD所成角為，則sin |cos，n|，即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(2)設(shè)M(a，0，0)，則(a，0，0)，設(shè)，則(，2，2)，而(0，0，2)，所以(a，2，22)由(1)知，平面PCD的一個法向量為n(0，1，1)，因為MN平面PCD，所以n.所以解得所以M為AB的中點，N為PC的中點2(2018·蘇北四市期末)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB1，AA12，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以，為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值；(2)求二面角F­BC1­C的余弦值解：(1)因為AB1，AA12，則F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1，所以(1，0，0)，.記異面直線AC和BE所成角為，則cos |cos，|，所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面BFC1的法向量為m(x1，y1，z1)因為，則即取x14，得平面BFC1的一個法向量為m(4，0，1)設(shè)平面BCC1的法向量為n(x2，y2，z2)因為，(0，0，2)，則即取x2，得平面BCC1的一個法向量為n(，1，0)，所以cosm，n.根據(jù)圖形可知二面角F­BC1­C為銳二面角，所以二面角F­BC1­C的余弦值為.3(2019·揚州期末)如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD平面CBD，AE平面ABD.(1)若AE，求直線DE與直線BC所成角；(2)若二面角A­BE­D的大小為，求AE的長度解：由題意知ABAD，又AE平面ABD，以A為原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系過點C作CFBD，垂足為F，又平面ABD平面CBD，CF平面CBD，平面ABD平面CBDBD，CF平面ABD.CBCD2，F(xiàn)為BD的中點，CF.(1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)，(0，2，)，(1，1，)，·0，直線DE與直線BC所成角為.(2)設(shè)AE的長度為a(a0)，則E(0，0，a)，易知AD平面ABE，平面ABE的一個法向量為n1(0，1，0)由(1)知(2，0，a)，(2，2，0)，設(shè)平面BDE的法向量為n2(x1，y1，z1)，則n2，n2，得取z12，則x1y1a.平面BDE的一個法向量為n2(a，a，2)cos n1，n2.二面角A­BE­D的大小為，得a，AE的長度為.4.如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BABC5，AC8，D為線段AC的中點(1)求證：BDA1D；(2)若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為，求AA1的長解：(1)證明：三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，又BD平面ABC，BDAA1，BABC，D為AC的中點，BDAC，又ACAA1A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1，又A1D平面ACC1A1，BDA1D.(2)由(1)知BDAC，AA1平面ABC，以D為坐標(biāo)原點，DB，DC所在直線分別為x軸，y軸，過點D且平行于AA1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.設(shè)AA1(0)，則A1(0，4，)，B(3，0，0)，C1(0，4，)，D(0，0，0)，1(0，4，)，1(0，4，)，(3，0，0)，設(shè)平面BC1D的法向量為n(x，y，z)，則即則x0，令z4，可得y，故n(0，4)為平面BC1D的一個法向量設(shè)直線A1D與平面BC1D所成角為，則sin |cos n，1|，解得2或8，即AA12或AA18.B組大題增分練1(2019·鹽城三模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABACAD3，PABC4.(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值解：設(shè)BC的中點為E，連接AE，由ABAC，可知AEBC，故以A為原點，AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，2，0)，C(，2，0)(1)設(shè)為異面直線PB與CD所成的角，由(，2，4)，(，1，0)，得cos ，即異面直線PB與CD所成角的余弦值為.(2)設(shè)n1(x，y，z)為平面PBC的法向量，由(1)得(，2，4)，(，2，4)，由·n10，·n10，得故取n1(4，0，)為平面PBC的一個法向量，易知平面PAD的一個法向量為n2(1，0，0)設(shè)為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，則cos ，所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.2(2018·江蘇高考)如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABAA12，點P，Q分別為A1B1，BC的中點(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值解：如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz.因為ABAA12，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)(1)因為P為A1B1的中點，所以P，從而，(0，2，2)，所以|cos，|.所以異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點，所以Q，因此，(0，2，2)，(0，0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取n(，1，1)設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則sin |cos，n|.所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.3(2019·南師附中、天一中學(xué)四月聯(lián)考)如圖，在三棱錐P­ABC中，底面ABC是直角三角形，側(cè)棱PA底面ABC，ABC90°，E為棱PB上的點，PAABBC2.(1)當(dāng)PE2EB時，求平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值(2)在(1)的條件下，線段AC上是否存在一點F，使得EF與平面PAB所成的角的正弦值為.若存在，求線段AF的長；若不存在，請說明理由解：(1)以A為坐標(biāo)原點，AB，PA所在直線分別為y軸、z軸，過點A且平行于BC的直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)由題意得E為線段PB上靠近點B的三等分點，則E，所以，(2，2，0)設(shè)平面AEC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則則令y11，則n1(1，1，2)為平面AEC的一個法向量易知平面PAB的一個法向量為n2(1，0，0)，所以|cos n1，n2|，所以平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為.(2)假設(shè)存在滿足題意的點F.設(shè)(2，2，0)(0)，所以，所以sin |cos ，n2|，整理得20，解得或.又0，所以，所以AFAC.易得AC2，所以AF.4.如圖，在四棱錐S­ABCD中，SD平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，ADCDAB90°，SDADAB2，DC1.(1)求二面角S­BC­A的余弦值；(2)設(shè)P是棱BC上一點，E是SA的中點，若PE與平面SAD所成角的正弦值為，求線段CP的長解：(1)由題意，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，所以(2，2，2)，(0，1，2)，(0，0，2)設(shè)平面SBC的法向量為n1(x，y，z)，則即令z1，得x1，y2，所以n1(1，2，1)是平面SBC的一個法向量. 因為SD平面ABC，取平面ABC的一個法向量n2(0，0，1)設(shè)二面角S­BC­A的大小為，由圖可知二面角S­BC­A為銳二面角，所以|cos |，所以二面角S­BC­A的余弦值為. (2)由(1)知E(1，0，1)，(2，1，0)，(1，1，1)設(shè) (01)，則(2，1，0)(2，0)，所以(12，1，1)易知CD平面SAD，所以(0，1，0)是平面SAD的一個法向量設(shè)PE與平面SAD所成的角為，所以sin |cos，|， 即，得或(舍去)所以，|，所以線段CP的長為.33