（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題14 函數(shù)與不等式【母題原題1】【2018浙江，15】已知R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解【母題原題2】【2017浙江，17】已知，函數(shù)在區(qū)間1,4上的最大值是5，則a的取值范圍是_【答案】【解析】，分類討論：當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的最大值，舍去；當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)， ，則：或，解得： 或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師點(diǎn)睛】本題利用基本不等式，由，得，通過(guò)對(duì)解析式中絕對(duì)值符號(hào)的處理，進(jìn)行有效的分類討論：；，問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)分界點(diǎn)的確認(rèn)及討論上，屬于難題解題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)對(duì)各種情況逐一進(jìn)行討論【母題原題3】【2016浙江，理18】已知，函數(shù)F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范圍；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在區(qū)間0,6上的最大值M（a）.【答案】（）；（）（）；（）試題解析：（）由于，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，使得等式成立的的取值范圍為（）（）設(shè)函數(shù)，則，所以，由的定義知，即（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值，分段函數(shù)，不等式【思路點(diǎn)睛】（）根據(jù)的取值范圍化簡(jiǎn)，即可得使得等式成立的的取值范圍；（）（）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進(jìn)而可得【命題意圖】高考對(duì)本部分內(nèi)容的以考查能力為主，重點(diǎn)考查分段函數(shù)、絕對(duì)值的概念、基本函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運(yùn)算求解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.【命題規(guī)律】函數(shù)是高考命題熱點(diǎn)之一，往往以常見函數(shù)為基本考察對(duì)象，以絕對(duì)值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點(diǎn)）、不等式的解法等.由于導(dǎo)數(shù)的加入，除將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考查外，仍有對(duì)函數(shù)獨(dú)立的考查題目，難度基本穩(wěn)定在中等或以下.【答題模板】求解函數(shù)不等式問(wèn)題，一般考慮：第一步：化簡(jiǎn)函數(shù)，明確函數(shù)的構(gòu)成特點(diǎn).當(dāng)呈現(xiàn)方式含絕對(duì)值式時(shí)，要利用絕對(duì)值的概念化簡(jiǎn)函數(shù)；第二步：根據(jù)函數(shù)特征，聯(lián)想函數(shù)的性質(zhì)，確定求解方法.根據(jù)函數(shù)的構(gòu)成特點(diǎn)，結(jié)合題目要求，聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)的概念、不等式的解法、不等式恒成立問(wèn)題的解法等；第三步：運(yùn)算求解.【方法總結(jié)】1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.2.已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解3.確定函數(shù)最值的方法：（1）單調(diào)性法：考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值點(diǎn)，便可求出函數(shù)相應(yīng)的最值.（2）圖象法：對(duì)于由基本初等函數(shù)圖象變化而來(lái)的函數(shù)，通過(guò)觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值.（3）分段函數(shù)的最值：將每段函數(shù)的最值求出，比較大小確定函數(shù)的最值.（4）導(dǎo)數(shù)法：對(duì)于一般的可導(dǎo)函數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，并與端點(diǎn)值進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的最值.4.分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，求解分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間(2)依據(jù)自變量的取值范圍，選好討論的切入點(diǎn)，并建立等量或不等量關(guān)系(3)在通過(guò)上述方法求得結(jié)果后，應(yīng)注意檢驗(yàn)所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段區(qū)間內(nèi)5.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想1【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的（ ）A. 函數(shù)為偶函數(shù) B. 若時(shí)，有C. 若時(shí)， D. 若時(shí)，【答案】D【解析】分析：的圖像可由三個(gè)函數(shù)的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可詳解：在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像（如圖所示），故的圖像為圖中粗線所示的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，故A正確當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，故B成立從圖像上看，當(dāng)時(shí)，有成立，令，則，故，故C成立取，則，故D不成立綜上，選D點(diǎn)睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖像是由這兩個(gè)函數(shù)的圖像的較低部分構(gòu)成的2【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)三?！恳阎瘮?shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析，將函數(shù)的大致圖像畫出來(lái)，可以判斷出函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)的范圍，并且可以斷定有兩個(gè)正根，兩個(gè)負(fù)根，以及兩個(gè)負(fù)根和為定值，從而確定出其積的取值范圍，兩個(gè)正根可以解方程，之后用兩根和來(lái)斷定，最后根據(jù)題的條件，確定出其取值范圍.所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)由函數(shù)圖像的對(duì)稱性，對(duì)勾函數(shù)圖像的走向，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)向向函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)靠攏，總之要想最對(duì)改題目，必須將基礎(chǔ)知識(shí)抓牢.3【2018屆福建省莆田市第二次檢測(cè)】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足若函數(shù)有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來(lái)，注意分段函數(shù)要明確相應(yīng)的式子，當(dāng)時(shí)，很容易畫出拋物線段，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)解析式，確定出函數(shù)值的符號(hào)，從而畫出函數(shù)的圖像，利用偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，得到函數(shù)圖像與直線在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可得結(jié)果.詳解：畫出函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，很容易畫出拋物線段，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像的走向，從而確定出其在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，但是其一直落在x軸下方，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)有六個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有三個(gè)正的零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)圖像與直線在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可知的取值范圍是，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，將零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，得到在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)圖像的走向，從而觀察圖像求得結(jié)果.4【2018屆天津市濱海新區(qū)七所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考】已知函數(shù)，若存在，使得關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,當(dāng)時(shí),其對(duì)稱軸,則函數(shù)在上為增函數(shù),此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),其對(duì)稱軸,則函數(shù)在上為增函數(shù),此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?函數(shù)在上為減函數(shù),值域?yàn)?由于關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),所以.而為增函數(shù),故.所以.故選B.5【百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆三月聯(lián)考】已知若， 恒成立，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)， ，則是的最大值， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要滿足，需，即，解之得，得的取值范圍是，故選C.6【2018屆北京市人大附中二模】已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,.構(gòu)造函數(shù),畫出函數(shù)的圖象如下圖所示,其中的坐標(biāo)分別為.故當(dāng)時(shí),與有個(gè)交點(diǎn),故選.7.【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是_.【答案】【解析】分析：將原問(wèn)題進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，然后結(jié)合函數(shù)圖像的特征整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：不防令，則.原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖像是確定的，如下所示(三個(gè)函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)滿足題意的三種情況)，而函數(shù)是一動(dòng)態(tài)V函數(shù)，頂點(diǎn)軌跡y=x，當(dāng)動(dòng)態(tài)V函數(shù)的一支與反比例函數(shù)相切時(shí)，即為所求.聯(lián)立可得，則滿足題意時(shí)：，解得：，注意到當(dāng)V函數(shù)的頂點(diǎn)為時(shí)滿足題意，此時(shí).綜上可得：實(shí)數(shù)的值是.8【2018屆浙江省溫州市一?！恳阎瘮?shù)有六個(gè)不同零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為3，則的取值范圍為_【答案】【解析】根據(jù)題意，有，于是函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合所有的零點(diǎn)的平均數(shù)為，可得，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上與直線有個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，于是函數(shù)單調(diào)遞增，且取值范圍是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，考慮到是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，于是在上有唯一零點(diǎn)，記為，進(jìn)而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，如圖：接下來(lái)問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷與的大小關(guān)系，注意到，函數(shù)，在上與直線有個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍是,故答案為 .9【2017屆浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù),當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為_【答案】【解析】設(shè)，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應(yīng)填答案.10.【2018屆江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬四】已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值集合為_【答案】.函數(shù) 最小值為，當(dāng)，即時(shí)，則，在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為函數(shù) 最小值為，解得，不合題意，舍去當(dāng)，即時(shí)，則，在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為函數(shù) 最小值為，解得或（舍去）綜上可得或，實(shí)數(shù)的取值集合為11【2018屆湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)一?！恳阎簦愠闪?，則的取值范圍為_【答案】【解析】分析：由題意若，即函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.12【浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2017-2018學(xué)年高二下期中聯(lián)考】已知函數(shù)（1）若在上恒成立，求a的取值范圍；（2）求在-2,2上的最大值M(a).【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值，并分離變量得當(dāng)x>1時(shí)，；當(dāng)x<1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，aR；再根據(jù)函數(shù)最值得a的取值范圍；（2）先根據(jù)圖像得函數(shù)最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三處取得，再根據(jù)三者大小關(guān)系以及對(duì)應(yīng)對(duì)稱軸確定最大值取法，最后用分段函數(shù)書寫.詳解：（1）即（*）對(duì)xR恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)aR；當(dāng)x1時(shí)，（*）可變形為，令當(dāng)x>1時(shí)，當(dāng)x<1時(shí)，所以，故此時(shí).綜合，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即所以