第二節(jié)排列與組合2019考綱考題考情1排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用A表示。(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用C表示。(3)全排列：把n個(gè)不同元素全部取出來(lái)按照一定的順序排列起來(lái)，叫做n個(gè)不同元素的全排列。用A表示n個(gè)不同元素的全排列數(shù)。3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性質(zhì)(1)0！1；An!(2)CC；CCmnC1排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”。取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)，則是排列；如果與順序無(wú)關(guān)，則是組合。2排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧特殊元素優(yōu)先安排；合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步；排列、組合混合問(wèn)題要先選后排；相鄰問(wèn)題捆綁處理；不相鄰問(wèn)題插空處理；定序問(wèn)題倍縮法處理；分排問(wèn)題直排處理；“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；構(gòu)造模型；正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化。一、走進(jìn)教材1(選修23P10例4改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A8 B24C48 D120解析末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48。故選C。答案C2(選修23P28A組T17改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是()A18 B24C30 D36解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有CCCC30種。故選C。解析：從7名同學(xué)中任選3名的方法數(shù)，再除去所選3名同學(xué)全是男生或全是女生的方法數(shù)，即CCC30。故選C。答案C二、走近高考3(2017·全國(guó)卷)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B18種C24種D36種解析4211，由題意，3名志愿者中，有兩人各完成1項(xiàng)，一人完成2項(xiàng)，先將4項(xiàng)工作分成三堆，共種分組方法，再把這三堆分配給3名志愿者，共A種分配方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共·A36種。故選D。答案D4(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答)解析若取的4個(gè)數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA；若取的4個(gè)數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCCA。綜上，一共可以組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCACCCA7205401 260。答案1 260三、走出誤區(qū)微提醒：分類(lèi)不清導(dǎo)致出錯(cuò)；相鄰元素看成一個(gè)整體，不相鄰問(wèn)題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問(wèn)題的基本方法。5從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有_種。解析分兩類(lèi)：第一類(lèi)，取2臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法；第二類(lèi)，取3臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有CC種方法。所以滿(mǎn)足條件的不同取法有CCCC350(種)。答案3506把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種。解析設(shè)這5件不同的產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有A種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有C種擺法，所以共有AAC36(種)不同擺法。答案36考點(diǎn)一簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)。(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰。解(1)從7人中選5人排列，有A7×6×5×4×32 520(種)。(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有A·A5 040(種)。(3)(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×A3 600(種)。解：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA3 600(種)。(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有A·A576(種)。(5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有A種方法，共有A·A1 440(種)。求解排列應(yīng)用問(wèn)題的5種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法【變式訓(xùn)練】(1)某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()AA種BA種CAAA種DAA種(2)甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A10種 B16種 C20種 D24種解析(1)中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有A種站法；其他18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A種站法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有AA種站法。故選D。(2)一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個(gè)空座。因?yàn)橐竺咳俗笥揖锌兆栽?個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有A20種坐法。答案(1)D(2)C考點(diǎn)二組合問(wèn)題【例2】(1)(2018·全國(guó)卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種。(用數(shù)字作答)(2)(2019·西安模擬)共享單車(chē)是指企業(yè)與政府合作，在公共服務(wù)區(qū)等地方提供自行車(chē)單車(chē)共享服務(wù)?，F(xiàn)從6輛黃色共享單車(chē)和4輛藍(lán)色共享單車(chē)中任取4輛進(jìn)行檢查，則至少有兩輛藍(lán)色共享單車(chē)的取法種數(shù)是_。解析(1)根據(jù)題意，沒(méi)有女生入選有C4(種)選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C20(種)選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有20416(種)。解析：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC4(種)。根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。(2)分三種情況討論：兩輛藍(lán)色共享單車(chē)，有CC90種，三輛藍(lán)色共享單車(chē)，有CC24種，四輛藍(lán)色共享單車(chē)，有C1種。根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，至少有兩輛藍(lán)色共享單車(chē)的取法種數(shù)是90241115。答案(1)16(2)115“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解。用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解。【變式訓(xùn)練】(1)(2019·開(kāi)封高三定位考試)某地實(shí)行高考改革，考生除參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專(zhuān)業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A6 B12 C18 D19(2)現(xiàn)有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現(xiàn)從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張，則不同的取法種數(shù)為_(kāi)。解析(1)在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC9種；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC9種；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有99119種。故選D。解析：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒(méi)選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C119種，故選D。(2)分類(lèi)完成，含有一張黑桃的不同取法有CC108(種)，不含黑桃時(shí)，有C3C81(種)不同的取法。故共有10881189種不同的取法。答案(1)D(2)189考點(diǎn)三排列與組合的綜合應(yīng)用微點(diǎn)小專(zhuān)題方向1：排列與組合應(yīng)用題【例3】(1)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A15 B20 C30 D42(2)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24 B18 C12 D6解析(1)四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有C種分法，三個(gè)籃球進(jìn)行全排列有A種分法，標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有A種分法，所以有CAA36630種分法。(2)從0,2中選一個(gè)數(shù)字0，則0只能排在十位，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有A6種；從0,2中選一個(gè)數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字排在百位(或十位)、個(gè)位，共有A·A12種，故共有AAA18種。故選B。答案(1)C(2)B解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。對(duì)于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列。方向2：定序問(wèn)題【例4】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有_種。解析添入三個(gè)節(jié)目后共十個(gè)節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個(gè)節(jié)目，其中七個(gè)節(jié)目順序固定。這七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有A種，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有A種，而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有720(種)。解析：將10個(gè)節(jié)目看作10個(gè)元素排列位置。在10個(gè)位置中選7個(gè)按一定順序排列，有C種排法，其余3個(gè)位置進(jìn)行全排列，有A種排法，所以共有CA720(種)。答案720定序問(wèn)題可用直接法，也可用間接法。方向3：分組分配問(wèn)題【例5】數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出1名組長(zhǎng)，則不同的分配方案有()A.A種BCCC34種C.43種DCCC43種解析首先將12名同學(xué)平均分成四組，有種分法，然后將這四組同學(xué)分配到四個(gè)不同的課題組，有A種分法，并在各組中選出1名組長(zhǎng)，有34種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿(mǎn)足條件的不同分配方案有·A·34CCC34(種)。故選B。解析：根據(jù)題意可知，第一組分3名同學(xué)有C種分法，第二組分3名同學(xué)有C種分法，第三組分3名同學(xué)有C種分法，第四組分3名同學(xué)有C種分法。第一組選1名組長(zhǎng)有3種選法，第二組選1名組長(zhǎng)有3種選法，第三組選1名組長(zhǎng)有3種選法，第四組選1名組長(zhǎng)有3種選法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，滿(mǎn)足條件的不同分配方案有CCCC34種。故選B。答案B1平均分配給不同小組的分法種數(shù)等于平均分堆的分法種數(shù)乘堆數(shù)的全排列。2對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆時(shí)要注意是否均勻?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A、B、C三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人。其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A8 B7 C6 D5解析根據(jù)題意，分2種情況討論：乙和甲一起去A社區(qū)，此時(shí)將丙丁二人安排到B、C社區(qū)即可，有A2種情況，乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×24種情況，則不同的安排方法種數(shù)有2147種。故選B。答案B2(方向2)我國(guó)的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機(jī)準(zhǔn)備著艦，規(guī)定乙機(jī)不能最先著艦，且丙機(jī)必須在甲機(jī)之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為()A24 B36C48 D96解析根據(jù)題意，分2種情況討論：丙機(jī)最先著艦，此時(shí)只需將剩下的4架飛機(jī)全排列，有A24種情況，即此時(shí)有24種不同的著艦方法：丙機(jī)不最先著艦，此時(shí)需要在除甲、乙、丙之外的2架飛機(jī)中任選1架，作為最先著艦的飛機(jī)，將剩下的4架飛機(jī)全排列，丙機(jī)在甲機(jī)之前和丙機(jī)在甲機(jī)之后的數(shù)目相同，則此時(shí)有×CA24種情況，即此時(shí)有24種不同的著艦方法。則一共有242448種不同的著艦方法。故選C。答案C3(方向3)6位機(jī)關(guān)干部被選調(diào)到4個(gè)貧困自然村進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，要求每位機(jī)關(guān)干部只能參加一個(gè)自然村的扶貧工作，且每個(gè)自然村至少有1位機(jī)關(guān)干部扶貧，則不同的分配方案有_種。解析先將6位機(jī)關(guān)干部分成四組，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)兩種情況，所以不同的分配方案共有·A65×241 560(種)。答案1 560分組分配問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)分組問(wèn)題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，在考試中不容易得分，在解題過(guò)程中容易掉入陷阱，本文結(jié)合一些典型問(wèn)題談?wù)勅绾伪苊獾暨M(jìn)分組問(wèn)題中的陷阱。解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想是先分組后分配。關(guān)于分組問(wèn)題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無(wú)論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象。一、整體均分問(wèn)題【典例1】國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分配方法?！窘馕觥肯劝?個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A90種分配方法?！敬鸢浮?0【易錯(cuò)提醒】對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)。二、部分均分問(wèn)題【典例2】將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間安排給5個(gè)工作人員臨時(shí)休息，假定每個(gè)人可以選擇任一房間，且選擇各個(gè)房間是等可能的，則恰有2個(gè)房間無(wú)人選擇且這2個(gè)房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為_(kāi)。【解析】先將5人分成三組(1,1,3或2,2,1兩種形式)，再將這三組人安排到3個(gè)房間，然后將2個(gè)房間插入前面住了人的3個(gè)房間形成的空檔中即可，故安排方式共有·A·C900種?！敬鸢浮?00【易錯(cuò)提醒】本題屬于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)。三、不等分組問(wèn)題【典例3】將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有_種不同的分法。【解析】先把書(shū)分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生。先選1本，有C種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法。故共有C·C·C60種選法。由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60A360種分配方法?！敬鸢浮?60【易錯(cuò)提醒】對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)，任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)?？傊?，在解答分組問(wèn)題時(shí)，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)。對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點(diǎn)，就能避免掉進(jìn)陷阱?！咀兪接?xùn)練】某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名教師，則有_種不同的分配方法。解析有兩類(lèi)情況：其中一所學(xué)校3名教師，另兩所學(xué)校各1名教師的分法有CA60種；其中一所學(xué)校1名教師，另兩所學(xué)校各2名教師的分法有·A90種。所以共有150種分配方法。答案1509