（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 規(guī)范答題示例4 空間角的計(jì)算問(wèn)題學(xué)案典例4(15分)(2017·浙江)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值審題路線(xiàn)圖方法一(1)規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板方法一(1)證明如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EFAD且EFAD，又因?yàn)锽CAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF.4分因?yàn)锽F平面PAB，CE平面PAB，因此CE平面PAB.6分(2)解分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N，連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF的中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中點(diǎn)得BNAD，又PNBNN，PN，BN平面PBN，所以AD平面PBN.9分由BCAD得BC平面PBN，又BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線(xiàn)，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直線(xiàn)CE與平面PBC所成的角.12分設(shè)CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值是.15分第一步找平行：通過(guò)三角形中位線(xiàn)，找出線(xiàn)線(xiàn)平行進(jìn)而得到線(xiàn)面平行第二步找?jiàn)A角：通過(guò)作輔助線(xiàn)及線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面之間的關(guān)系找到夾角第三步找關(guān)系：由圖形找出各線(xiàn)段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求得夾角的正弦值.第四步得結(jié)論：得到所求夾角的正弦值.審題路線(xiàn)圖方法二(1)(2)規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板方法二(1)證明設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OB，OP.PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，OPAD.BCADOD，且BCOD，四邊形BCDO為平行四邊形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面OPB，AD平面OPB.2分過(guò)點(diǎn)O在平面POB內(nèi)作OB的垂線(xiàn)OM，交PB于M，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線(xiàn)為x軸，OD所在直線(xiàn)為y軸，OM所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.4分設(shè)CD1，則有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)設(shè)P(x,0，z)(z>0)，由PC2，OP1，得解得x，z.即P，E為PD的中點(diǎn)，E.設(shè)平面PAB的法向量為n(x1，y1，z1)，(1,1,0)，即解得令y1，得n(1，1，).7分而，·n0，又CE平面PAB，CE平面PAB.10分(2)解設(shè)平面PBC的法向量為m(x2，y2，z2)，(0,1,0)，即令x21，得m(1,0，).13分設(shè)直線(xiàn)CE與平面PBC所成的角為，則sin |cos，m|.故直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值為.15分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線(xiàn)第二步寫(xiě)坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)第三步求向量：求直線(xiàn)的方向向量或平面的法向量.第四步求夾角：計(jì)算向量的夾角第五步得結(jié)論：得到所求兩個(gè)平面所成的角或直線(xiàn)和平面所成的角.評(píng)分細(xì)則(1)方法一第(1)問(wèn)中證明CE平面PAB缺少條件扣1分，第(2)問(wèn)中證明PNAD和BNAD各給1分(2)方法二中建系給2分，兩個(gè)法向量求出1個(gè)給3分，沒(méi)有最后結(jié)論扣1分，法向量取其他形式同樣給分跟蹤演練4(2018·全國(guó))如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值(1)證明由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如圖，作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.則H(0,0,0)，P，D，.又為平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成的角為，則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.方法二過(guò)點(diǎn)P作PHEF，垂足為H，連接DH.由(1)可得PH平面ABFD，所以PDH即為DP與平面ABFD所成的角設(shè)PD2a，則PHa，所以sinPDH，即DP與平面ABFD所成角的正弦值為.