第2講數(shù)列真題調(diào)研【例1】2019·全國卷已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式解：(1)由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8, 即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.【例2】2019·江蘇卷定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)m為正整數(shù)若存在“M數(shù)列”cn(nN*)，對任意正整數(shù)k，當(dāng)km時(shí)，都有ckbkck1成立，求m的最大值解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由得解得因此數(shù)列an為“M數(shù)列”(2)因?yàn)椋詁n0.由b11，S1b1，得，則b22.由，得Sn，當(dāng)n2時(shí)，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(nN*)由知，bkk，kN*.因?yàn)閿?shù)列cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c11，q>0.因?yàn)閏kbkck1，所以qk1kqk，其中k1,2,3，m.當(dāng)k1時(shí)，有q1；當(dāng)k2,3，m時(shí)，有l(wèi)nq.設(shè)f(x)(x>1)，則f(x).令f(x)0，得xe.列表如下：x(1，e)e(e，)f(x)0f(x)極大值因?yàn)?lt;，所以f(k)maxf(3).取q，當(dāng)k1,2,3,4,5時(shí)，lnq，即kqk，經(jīng)檢驗(yàn)知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6，分別取k3,6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.【例3】2019·天津卷設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c11，cn其中kN*.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得故an4(n1)×33n1，bn6×2n13×2n.所以，an的通項(xiàng)公式為an3n1，bn的通項(xiàng)公式為bn3×2n.(2)(3×2n1)(3×2n1)9×4n1.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為9×4n1.(9×4i1)(3×22n15×2n1)9×n27×22n15×2n1n12(nN*)【例4】2019·浙江卷設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a34，a4S3.數(shù)列bn滿足：對每個(gè)nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)記cn，nN*，證明：c1c2cn<2，nN*.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得a12d4，a13d3a13d，解得a10，d2.從而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)cn，nN*.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時(shí)，c10<2，不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)不等式成立，即c1c2ck<2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，c1c2ckck1<2<2<222()2，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2)，不等式c1c2cn<2對任意nN*成立模擬演練12019·南昌二模已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且存在實(shí)數(shù)滿足2an1an4，nN*.(1)求的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，d0，由2an1an4(nN*)，得2anan14(nN*，n2)，兩式相減得，2dd，又d0，所以2.將2代入可得an1an2，即d2，又a11，所以an1(n1)×22n1.(2)由(1)可得a2nn2(2nn)12n1(2n1)，所以Sn(22232n1)35(2n1)2n2n22n4.22019·廣州綜合測試二已知an是遞增的等比數(shù)列，a2a34，a1a43.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)解法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)閍2a34，a1a43，所以解得或因?yàn)閍n是遞增的等比數(shù)列，所以a1，q3，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2.解法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)閍2a34，a1a4a2a33，所以a2，a3是方程x24x30的兩個(gè)根，解得或因?yàn)閍n是遞增的等比數(shù)列，所以a21，a33，則q3，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2.(2)由(1)知bnn×3n2，則Sn1×312×303×31n×3n2，在式兩邊同時(shí)乘以3得，3Sn1×302×313×32n×3n1，得2Sn3130313n2n×3n1，即2Snn×3n1，所以Sn(2n1)×3n1.32019·福建質(zhì)檢數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解：(1)當(dāng)n1時(shí)，S12a11，所以a11.因?yàn)镾n2ann，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1(n1)，得an2an2an11，所以an2an11，所以2，所以an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an12·2n12n，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.設(shè)bn的公差為d，則b7b3(73)·d，所以d1，所以bnb3(n3)·dn，所以anbnn(2n1)n·2nn.設(shè)數(shù)列n·2n的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Tn，所以Kn22×223×23n·2n，2Kn222×233×24n·2n1，得Kn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12.所以Kn(n1)·2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)·2n12，所以anbn的前n項(xiàng)和為(n1)·2n12.42019·安徽合肥質(zhì)檢已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，其中a3，a2a3，a4成等差數(shù)列，a532.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列l(wèi)og2an的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知得即an>0，q>0，解得an2n.(2)由已知得，Snlog2a1log2a2log2an，2，的前n項(xiàng)和Tn2.7