2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和與綜合問題學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：數(shù)列中an與Sn的關(guān)系2017全國卷T171.主要以解答題的形式考查.2.重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法求和及數(shù)列中an與Sn的關(guān)系.題型2：裂項(xiàng)相消法求和2017全國卷T17題型3：錯(cuò)位相減法求和2014全國卷T17題型1數(shù)列中an與Sn的關(guān)系核心知識(shí)儲(chǔ)備·數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an高考考法示例·角度一已知Sn的關(guān)系式求an【例11】(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2，則an_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23nk，則an_.(1)(2)(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S121.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，a11也適合上式，從而an.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S1k1，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23nk)2(n1)23(n1)k4n5.因此an.角度二已知Sn與an的關(guān)系求an【例12】(1)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則an_.(2)(2018·成都模擬)數(shù)列an滿足a1n2(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(1)3n1(2)2n3n2(1)由解得a11，a23，當(dāng)n2時(shí)，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an.又a23a1，an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列an3n1.(2)當(dāng)n1時(shí)，a11，當(dāng)n2時(shí)，由a1n2得a1(n1)2，兩式相減得2n1，所以an2n3n2.又a11滿足上式，所以an2n3n2.方法歸納由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”).(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·中原名校模擬)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn3an1，則a10()ABC.D.A由Sn3an1，得S n13an11，得an13an13an，得an1an，又a13a11，所以a1，故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以ann1，故a10×9.故選A.2(2018·沈陽模擬)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.題型2裂項(xiàng)相消法求和核心知識(shí)儲(chǔ)備·1裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和2常見的裂項(xiàng)類型(1)；(2)；(3)()高考考法示例·【例2】(2018·大連模擬)已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，若nN*時(shí)，anbn1bn1nbn.(1)求bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，求cn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)因?yàn)閍nbn1bn1nbn，當(dāng)n1時(shí)a1b2b2b1.因?yàn)閎11，b2，所以a13，又因?yàn)閍n是公差為2的等差數(shù)列，所以an2n1，則(2n1)bn1bn1nbn.化簡，得2bn1bn，即，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以bnn1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn，所以Snc1c2c3cn.(教師備選)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，所以an1an2.又由a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.方法歸納1裂項(xiàng)相消法求和的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)公式an拆分成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而達(dá)到在求和時(shí)某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件2消項(xiàng)時(shí)要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般是前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題設(shè)知a1·a4a2·a38，又a1a49，可得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.題型3錯(cuò)位相減法求和核心知識(shí)儲(chǔ)備·1錯(cuò)位相減法適用于由一個(gè)等差數(shù)列an和一個(gè)等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列anbn的求和2設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則 Sna1b1a2b2a3b3anbn，qSna1b2a2b3an1bnanbn1，因此(1q)Sna1b1d(b2b3b4bn)anbn1.高考考法示例·【例3】(2018·青島模擬)在公差不為0的等差數(shù)列an中，aa3a6，且a3為a1與a11的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnan·2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.思路點(diǎn)撥(1)(2)解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍a3a6，所以(a1d)2a12da15d因?yàn)閍a1·a11，即(a12d)2a1·(a110d)因?yàn)閐0，由解得a12，d3，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1.(2)bnan·2an(3n1)·23n1，所以Tn2·225·258·28(3n4)·23n4(3n1)·23n18Tn2·255·28(3n4)·23n1(3n1)·23n2得7Tn2·223·253·283·23n1(3n1)·23n2，所以Tn·23n2，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.方法歸納用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意的問題1要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形2在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達(dá)式3應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考中經(jīng)?？疾閷?duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn.求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意知當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由，即，可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)·2n1，又Tnc1c2c3cn，得Tn3×2×223×234×24(n1)×2n1，2Tn3×2×233×244×25(n1)×2n2，兩式作差，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23×4(n1)×2n23n·2n2所以Tn3n·2n2.1(2017·全國卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則 _.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得Snn×1×1，2. 22.2(2017·全國卷 )設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，所以an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知，則Sn.一、數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化【例1】(1)我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長3尺莞生長1日，長1尺蒲的生長速度逐日減半，莞的生長速度逐日增加1倍若蒲、莞長度相等，則所需的時(shí)間約為 ()(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lg 20.30，lg 30.48)A1.3日B1.5日C2.6日 D2.8日(2)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的四元玉鑒卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”其大意為：官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問修筑堤壩多少天”在這個(gè)問題中，第5天應(yīng)發(fā)大米 ()A894升 B1 170升C1 275升 D1 467升思路點(diǎn)撥(1)設(shè)所需的時(shí)間為n，依題意構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得到關(guān)于n的方程，解方程，即可求出n的值(2)每天派出的人數(shù)組成等差數(shù)列，第5天應(yīng)發(fā)大米的人數(shù)是這5天派出的總?cè)藬?shù)，因此只需算出這5天派出的總?cè)藬?shù)即可解析(1)設(shè)蒲的長度組成的等比數(shù)列an(a13，公比為)的前n項(xiàng)和為An，莞的長度組成的等比數(shù)列bn(b11，公比為2)的前n項(xiàng)和為Bn，則An6，Bn2n1.依題意得62n1，所以2n7，解得2n6或2n1(舍去)，所以n12.6，所以所需時(shí)間約為2.6日，故選C.(2)由題意知，每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64，公差為7的等差數(shù)列，則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64×7390，所以第5天應(yīng)發(fā)大米390×31 170升，故選B.答案(1)C(2)B體會(huì)領(lǐng)悟以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列題是近幾年高考的熱點(diǎn)，本例中兩個(gè)題均以我國古代數(shù)學(xué)著作中的問題為背景命制的有關(guān)等比(差)數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了應(yīng)用性和創(chuàng)新性.破解此類題的關(guān)鍵是褪去數(shù)學(xué)文化的背景，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解.二、數(shù)列與其他知識(shí)的交匯創(chuàng)新預(yù)測1：與數(shù)列有關(guān)的新定義問題【例2】如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a13，公和為4，那么數(shù)列an的前25項(xiàng)和S25的值為_解析由題意知，anan14，且a13，所以a1a24，得a21，a33，a41，a241，a253，即數(shù)列an是周期為2的數(shù)列，所以S25(31)(31)(31)312×4351.答案51預(yù)測2：數(shù)列與函數(shù)、平面向量交匯【例3】(1)對(duì)于函數(shù)yf(x)，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： x123456789y375961824數(shù)列xn滿足：x11，且對(duì)于任意nN*，點(diǎn)(xn，xn1)都在函數(shù)yf(x)的圖象上，則x1x2x2 018()A7 564 B7 549C7 546 D7 539(2)設(shè)數(shù)列an滿足a2a410，點(diǎn)Pn(n，an)對(duì)任意的nN*，都有向量PnPn1(1,2)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析(1)數(shù)列xn滿足x11，且對(duì)任意nN*，點(diǎn)(xn，xn1)都在函數(shù)yf(x)的圖象上，xn1f(xn)，由圖表可得x2f(x1)3，x3f(x2)5，x4f(x3)6，x5f(x4)1，數(shù)列xn是周期為4的周期數(shù)列，x1x2x2 018504(x1x2x3x4)x1x2504×1547 564.故選A.(2)Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，PnPn1(1，an1an)(1,2)，an1an2，an是公差d為2的等差數(shù)列又由a2a42a14d2a14×210，解得a11，an2n1，Snn×2n2.答案(1)A(2)n2預(yù)測3：數(shù)列與不等式交匯【例4】(1)已知等比數(shù)列an的公比q0，其前n項(xiàng)和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是()AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4 DS4a5S5a4(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn29n，第k項(xiàng)滿足5ak8，則k()A9B8 C7D6解析(1)S4a5S5a4(a1a2a3a4)a4q(a1a2a3a4a5)a4a1a4aq30.S4a5S5a4，故選A.(2)akSkSk1k29k(k1)29(k1)2k10，由5ak8，得52k108，即k9.又kN*，故k8.答案(1)A(2)B體會(huì)領(lǐng)悟解決數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題，可利用函數(shù)與方程的思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、規(guī)范答題數(shù)列規(guī)范示例(12分)(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式.信息提取解題路線圖1.看到求b1，b2，b3想到求a1，a2，a3.2.看到判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，想到等比數(shù)列的定義.3.看到求an的通項(xiàng)公式，想到an與bn的關(guān)系.標(biāo)準(zhǔn)答案閱卷現(xiàn)場(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24. 將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34. (2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 (3)由(2)可得2n1， 所以ann·2n1. 第(1)問第(2)問第(3)問得分點(diǎn)11212122444正確求出a2得1分；正確求出a3得1分；正確求出b1，b2，b3得2分；給出結(jié)論得1分；正確寫出，即bn12bn得2分；根據(jù)b11，得出結(jié)論得1分，不寫出b11，不得分；得到2n1得2分，錯(cuò)誤不得分；正確得到an的表達(dá)式得2分.滿分心得（1）熟練應(yīng)用數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，能夠正確寫出數(shù)列的各項(xiàng)，這是正確解題的前提.（2）注意利用第（2）問的結(jié)果：善于利用上一問的結(jié)果，可快速解題，如本題第（3）問，根據(jù)bn與an的關(guān)系，利用第（2）問的結(jié)論，可迅速求解.