（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)W案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識和把握圓柱、圓錐、圓臺、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征知識點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺圓柱、圓錐、圓臺的定義及結(jié)構(gòu)特征(1)定義分別看作以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體這類幾何體叫旋轉(zhuǎn)體(2)相關(guān)概念高：在軸上的這條邊(或它的長度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：繞軸旋轉(zhuǎn)的邊(3)圖形表示知識點(diǎn)二球1定義：一個球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球2相關(guān)概念(1)球心：形成球的半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上一點(diǎn)的線段(2)球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過球心的線段(3)球的大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓(4)球的小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓(5)兩點(diǎn)的球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離3球形表示特別提醒：球與球面是完全不同的兩個概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分知識點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)體1定義：由一個平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體2軸：這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸知識點(diǎn)四組合體思考組合體是由簡單幾何體堆砌(或疊加)而成的嗎？答案不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等梳理由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體1圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺()2夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱(×)3半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球(×)類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是_(填序號)以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面答案解析以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；它們的底面為圓面；正確反思與感悟(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線(2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想跟蹤訓(xùn)練1下列命題：圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓；圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交；球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段其中正確的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析錯誤，截面可能是一個三角形；錯誤，圓臺的任意兩條母線的延長線必相交于一點(diǎn)；正確故選C.類型二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰分別以AB，CD，AD為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征解(1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺，如圖(1)所示(2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐如圖(2)所示(3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐如圖(3)所示反思與感悟(1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成(2)必要時(shí)作模型，培養(yǎng)動手能力跟蹤訓(xùn)練2如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？解圖(1)、圖(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖、圖.其中圖是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的類型三旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算命題角度1有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺的計(jì)算例3一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4 cm2和25 cm2，求：(1)圓臺的高；(2)將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長解(1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由題意知，腰長為12 cm，所以高AM3(cm)(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則由SAO1SBO，可得，解得l20 cm.即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm.反思與感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解跟蹤訓(xùn)練3如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的底面半徑解設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似，得，即1，解得r1.即圓柱的底面半徑為1.命題角度2球的截面的有關(guān)計(jì)算例4在球內(nèi)有相距9 cm的兩個平行截面面積分別為49 cm2和400 cm2，求此球的半徑解若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖(1)所示的是經(jīng)過球心O的大圓截面，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為R cm，截面圓的半徑分別為r cm，r1 cm.由r49，得r17(r17舍去)，由r2400，得r20(r20舍去)在RtOB1C1中，OC1，在RtOBC中，OC.由題意可知OC1OC9，即9，解此方程，取正值得R25.若球心在兩截面之間，如圖(2)所示，OC1，OC.由題意可知OC1OC9，即9.整理，得15，此方程無解，這說明第二種情況不存在綜上所述，此球的半徑為25 cm.引申探究若將把本例的條件改為“球的半徑為5，兩個平行截面的周長分別為6和8”，則兩平行截面間的距離是_答案1或7解析畫出球的截面圖，如圖所示兩平行直線是球的兩個平行截面的直徑，有兩種情形：兩個平行截面在球心的兩側(cè)，兩個平行截面在球心的同側(cè)對于，m4，n3，兩平行截面間的距離是mn7；對于，兩平行截面間的距離是mn1.反思與感悟設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問題時(shí)，常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解跟蹤訓(xùn)練4設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩地，它們在緯度圈上的弧長等于R.求A，B兩地間的球面距離解如圖所示，A，B是北緯45°圈上的兩點(diǎn)，AO為它的半徑，O為地球的球心，OO AO，OOBO.OAOOBO45°，AOBOOA·cos 45°R.設(shè)AOB的度數(shù)為，則·AO·RR，90°.AB R.在AOB中，AOBOABR，則AOB為正三角形，AOB60°.A，B兩地間的球面距離為R.1下列幾何體是臺體的是()考點(diǎn)圓臺的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)圓臺的概念的應(yīng)用答案D解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點(diǎn)，B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行C是棱錐，結(jié)合棱臺和圓臺的定義可知D正確2下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如下圖中的幾何體的是()答案B解析由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確3下面幾何體的截面一定是圓面的是()A圓臺 B球 C圓柱 D棱柱答案B解析截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球4若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的母線長為_考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為ABC的邊長，且SABCAB2，AB2，AB2.故圓錐的母線長為2.5湖面上浮著一個球，湖水結(jié)冰后，將球取出，冰上留下一個直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則球的半徑為_ cm.答案13解析設(shè)球的半徑為R cm，由題意知，截面圓的半徑r12 cm，球心距d(R8)cm，由R2r2d2，得R2144(R8)2，即20816R0，解得R13 cm.1圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示2處理臺體問題常采用還臺為錐的補(bǔ)體思想3處理組合體問題常采用分割思想4重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用，切實(shí)體會空間幾何平面化的思想.一、選擇題1下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是()答案D2下列說法正確的是()A到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球B球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上C用一個平面截球，其截面是一個圓D球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面考點(diǎn)球的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)球的概念的應(yīng)用答案D解析對于A，球是球體的簡稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個曲面，是空心的，而球是幾何體，是實(shí)心的，故A錯；對于B，球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故B錯；對于C，用一個平面截球，其截面是一個圓面，而不是一個圓，故C錯，故選D.3一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為()A10 B20 C40 D15答案B4一個圓錐的母線長為20 cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為()A10 cm B20 cm C20 cm D10 cm答案A解析如圖所示，在RtABO中，AB20 cm，A30°，所以AOAB·cos 30°20·10(cm)5如果圓臺兩底面的半徑分別是7和1，則與兩底面平行且等距離的截面面積是()A24 B16 C8 D4答案B解析截面圓的半徑為4，面積為r216.6.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是()A該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的B該幾何體有12條棱、6個頂點(diǎn)C該幾何體有8個面，并且各面均為三角形D該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形答案D解析其中ABCD不是面，該幾何體有8個面7用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A2 B2C.或 D.或答案C解析如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長8為卷成圓柱底面的周長，則2r8，所以r；同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長，則2r4，所以r，故選C.8.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A一個球體B一個球體中間挖去一個圓柱C一個圓柱D一個球體中間挖去一個長方體答案B解析圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱. 故選B. 二、填空題9正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是_答案兩個圓錐解析連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個底面相同的圓錐10若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是_答案2解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)，由題意可知·2r·hr8，r28，h2.11若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的高為_考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案解析由題意知一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，因?yàn)?l2，所以母線長為l2，又半圓的弧長為2，圓錐的底面的周長為2r2，所以底面圓半徑為r1，所以該圓錐的高為h .三、解答題12A，B，C是球面上三點(diǎn)，已知弦(連接球面上兩點(diǎn)的線段)AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm，平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑解如圖所示，因?yàn)锳B2BC2AC2，所以ABC是直角三角形所以ABC的外接圓圓心O1是AC的中點(diǎn)過A，B，C三點(diǎn)的平面截球O得圓O1的半徑為r15 cm.在RtOO1C中，R22r2.所以R2152，所以R2300，所以R10(cm)即球的半徑為10 cm.13圓臺側(cè)面的母線長為2a，母線與軸的夾角為30°，一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍求兩底面的半徑與兩底面面積之和解設(shè)圓臺上底面半徑為r，則下底面半徑為2r，圓臺上底面面積為S1，下底面面積為S2，兩底面面積之和為S.如圖所示，ASO30°，在RtSOA中，sin 30°，SA2r.在RtSOA中，sin 30°，SA4r.又SASAAA，即4r2r2a，ra.SS1S2r2(2r)25r25a2.圓臺上底面半徑為a，下底面半徑為2a，兩底面面積之和為5a2.四、探究與拓展14一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的()答案B解析由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球與正方體各面相切，與各棱相離，故選B.15圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm，母線長AB20 cm，從圓臺母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：(1)繩子的最短長度；(2)在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離考點(diǎn)圓臺的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓臺有關(guān)的運(yùn)算解(1)如圖所示，將側(cè)面展開，繩子的最短距離為側(cè)面展開圖中AM的長度，設(shè)OBl，則·l2×5，·(l20)2×10，解得，l20 cm.OA40 cm，OM30 cm.AM50 cm.即繩子最短長度為50 cm.(2)作OQAM于點(diǎn)Q，交弧BB于點(diǎn)P，則PQ為所求的最短距離OA·OMAM·OQ，OQ24 cm.故PQOQOP24204(cm)，即在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4 cm.