33.1幾何概型1通過實例體會幾何概型的含義，會區(qū)分古典概型和幾何概型2掌握幾何概型的概率計算公式，會求一些事件的概率1幾何概型的定義與特點(1)定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型(2)特點：可能出現的結果有無限多個；每個結果發(fā)生的可能性相等2幾何概型中事件A的概率的計算公式P(A).1幾何概型有何特點？提示試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個；每個基本事件出現的可能性相等2古典概型與幾何概型有何區(qū)別？提示古典概型的試驗結果是有限的，而幾何概型的試驗結果是無限的3判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)幾何概型的概率與構成事件的區(qū)域形狀無關()(2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0,1)內()(3)幾何概型的基本事件有無數多個()(4)從區(qū)間1,1上取一個數，求取到1的概率屬于幾何概型()答案(1)(2)×(3)(4)×題型一與長度、角度有關的幾何概型【典例1】(1)如圖所示，A、B兩盞路燈之間長度是30 m，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10 m的概率是多少？(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在ACB內部作一條直線CM，與線段AB交于點M.求AM<AC的概率. 思路導引(1)在A、B之間每一位置處安裝路燈C，D都是一個基本事件，基本事件有無限多個，且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件發(fā)生的概率只與長度有關；(2)過直角頂點C在ACB內部作一條直線CM，與線段AB交于點M. 基本事件有無限多個，且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件發(fā)生的概率只與角度有關解(1)記E：“A與C、B與D之間的距離都不小于10 m”，把AB三等分，由于中間長度為30×10 (m)，P(E).(2)在AB上取ACAC，則ACC67.5°.設事件A在ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，AM<AC，則所有可能結果的區(qū)域角度為90°，事件A的區(qū)域角度為67.5°，P(A).(1)與長度有關的幾何概型問題綜述如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P(A).將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解(2)與角度有關的幾何概型的求法當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，常以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率與角度有關的幾何概型的概率計算公式為P(A).解決此類問題的關鍵是事件A在區(qū)域角度內是均勻的，進而判定事件的發(fā)生是等可能的對于一個具體問題，能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關鍵在于能否將問題幾何化，也可根據實際問題的具體情況，選取合適的參數建立適當的坐標系，在此基礎上，將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系中的每一點，使得全體結果構成一個可度量的區(qū)域如果試驗結果涉及的區(qū)域可用角表示，則可以判定需利用與角度有關的幾何概型概率的計算公式解決對于此類題，往往角的始邊是固定的，只要考慮終邊位置的情況即可針對訓練1(1)在區(qū)間1,2上隨機取一個數x，則|x|1的概率為_(2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10 min的概率解析(1)區(qū)間1,2的長度為3，由|x|1得x1,1，而區(qū)間1,1的長度為2，x取每個值為隨機的，在1,2上取一個數x，|x|1的概率P.(2)設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T5，T2T10，如圖所示記“等車時間超過10 min”為事件A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生P(A)，即該乘客等車時間超過10 min的概率是.答案(1)(2)題型二與面積有關的幾何概型問題【典例2】(1)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.(2) 如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)的圖象上若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.B.C.D.解析(1)不妨設正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內切圓的半徑為1，面積為.由于正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為，故選B.(2)易知點C的坐標為(1,2)，點D的坐標為(2,2)，所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為，故所求概率為.答案(1)B(2)B(1)與面積有關的幾何概型的概率公式如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：P(A).(2)解與面積相關的幾何概型問題的三個關鍵點根據題意確認是否是與面積有關的幾何概型問題；找出或構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關面積；套用公式，從而求得隨機事件的概率針對訓練2如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()A1B.1C2D.解析由幾何概型知所求的概率P1.答案A題型三與體積有關的幾何概型的問題【典例3】一個多面體的直觀圖和三視圖如下圖所示，M是AB的中點，一只蜻蜓在幾何體ADFBCE內自由飛翔，則它飛入幾何體FAMCD內的概率為()A. B. C. D.解析由三視圖可知DA，DC，DF兩兩垂直，且DADCDFa，VFAMCDS梯形AMCD·DFa3.又VADFBCEa3，蜻蜓飛入幾何體FAMCD內的概率為P.答案C體積型幾何概型問題解法探秘(1)如果試驗的全部結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的體積及事件A占的體積其概率的計算公式為：P(A).(2)解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆針對訓練3(1)一只蝴蝶(體積忽略不計)在一個長、寬、高分別為5,4,3的長方體內自由飛行，若蝴蝶在飛行過程中始終保持與長方體的6個面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，那么蝴蝶“安全飛行”的概率為()A.B.C.D.(2)一個靶子如圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設飛鏢既不會落在靶心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現隨機向靶擲飛鏢30次，則飛鏢落在陰影部分的次數約為()A5 B10C15 D20解析(1)長方體的體積為5×4×360，蝴蝶“安全飛行”區(qū)域的體積為3×2×16.根據幾何概型的概率計算公式，可得蝴蝶“安全飛行”的概率為.(2)陰影部分對應的圓心角度數和為60°，所以飛鏢落在陰影內的概率為，飛鏢落在陰影內的次數約為30×5.答案(1)A(2)A課堂歸納小結1幾何概型適用于試驗結果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型2幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關的題目3注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.4.理解如何將實際問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A).1將一條5米長的繩子隨機地切斷為兩段，則兩段繩子都不短于1米的概率為()A. B. C. D.解析由題意，只要在距離兩端分別至少為1米處剪斷，滿足題意的位置有3米，由幾何概型公式得到所求概率為，故選C.答案C2如圖，正方形ABCD的內切圓中黑色部分和白色部分關于正方形對邊中點的連線對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自灰色部分的概率是()A.B.C.D4解析設正方形的邊長為2，根據幾何概型概率計算公式，此點取自灰色部分的概率P.故選A.答案A3在一球內有一棱長為1的內接正方體，一點在球內運動，則此點落在正方體內部的概率為()A. B. C. D.解析由題意可得正方體的體積為V11.又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R.球的體積V2R3.則此點落在正方體內的概率為P.答案D4函數f(x)2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(1,2)上隨機取一個數x，則xD的概率是()A. B. C. D.解析函數f(x)2x(x<0)的值域為D(0,1)，長度為1，區(qū)間(1,2)的長度為3，所以概率為.答案B5如圖，A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A，連接AA，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.B.C.D.解析如圖，當AA的長度等于半徑長度時AOA，由圓的對稱性及幾何概型得P.故選C.答案C課后作業(yè)(二十一)(時間45分鐘)學業(yè)水平合格練(時間25分鐘)1已知函數f(x)2x，若從區(qū)間2,2上任取一個實數x，則使不等式f(x)>2成立的概率為()A. B. C. D.解析這是一個幾何概型，其中基本事件的總數構成的區(qū)域對應的長度是2(2)4，由f(x)>2可得x>1，所以滿足題設的基本事件構成的區(qū)域對應的長度是211，則使不等式f(x)>2成立的概率為.答案A2某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40 s若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現綠燈的概率為()A. B. C. D.解析記“至少需要等待15 s才出現綠燈”為事件A，則P(A).答案B3已知ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點P，則取到的點P到O的距離大于1的概率為()A. B1 C. D1解析如圖所示，設取到的點P到O的距離大于1為事件M，則點P應在陰影部分內，陰影部分的面積為2×1××122，所以P(M)1.答案B4在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為()A. B. C. D.解析在線段AB上任取一點P，事件“正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間”等價于事件“5|AP|7”，則所求概率為.答案B5如圖所示，有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是()解析A中獎概率為，B中獎概率為，C中獎概率為，D中獎概率為.答案A6記函數f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數x，則xD的概率是_解析由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所求概率為.答案7水池的容積是20 m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1 m3/h，它們一晝夜(024 h)內隨機開啟，則水池不溢水的概率為_解析如圖所示，橫坐標和縱坐標分別表示A，B兩水龍頭開啟的時間，則陰影部分是滿足不溢水的對應區(qū)域，因為正方形區(qū)域的面積為24×24，陰影部分的面積是×20×20，所以所求的概率P.答案8已知方程x23x10，若p在0,10中隨機取值，則方程有實數根的概率為_解析因為總的基本事件是0,10內的全部實數，所以基本事件總數為無限個，符合幾何概型的條件，事件對應的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應區(qū)間0,10，長度為10，而事件“方程有實數根”應滿足0，即94×1×0，得p5，所以對應區(qū)間0,5，長度為5，所以所求概率為.答案9已知點M(x，y)滿足|x|1，|y|1.求點M落在圓(x1)2(y1)21的內部的概率解如圖所示，區(qū)域為圖中的正方形，正方形的面積為4，且陰影部分是四分之一圓，其面積為，則點M落在圓(x1)2(y1)21的內部的概率為.10在街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在邊上，可重擲一次；若擲在正方形內，需再交5角錢才可玩；若壓在正方形塑料板的頂點上，可獲得一元錢試問：(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？解(1)如圖(1)所示，因為O落在正方形ABCD內任何位置是等可能的，小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1 cm時，所以O落在圖中陰影部分時，小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接，這個范圍的面積等于927232(cm2)，因此所求的概率是.(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在圓心O與正方形的頂點的距離不超過小圓板的半徑1 cm時，如圖(2)陰影部分，四塊合起來面積為 cm2，故所求概率是.應試能力等級練(時間20分鐘)11在區(qū)間0,1上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“|xy|”的概率，p3為事件“xy”的概率，則()Ap1<p2<p3Bp2<p3<p1Cp3<p1<p2Dp3<p2<p1解析x，y0,1，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(1)中陰影部分S1，事件“|xy|”表示的區(qū)域如圖(2)中陰影部分S2，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(3)中陰影部分S3.由圖知，陰影部分的面積S2<S3<S1，正方形的面積為1×11.根據幾何概型的概率計算公式，可得p2<p3<p1.答案B12在1,1上隨機地取一個數k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_A. B. C. D.解析若直線ykx與圓(x5)2y29相交，則有圓心到直線的距離d<3，即<k<，所以所求概率P.答案A13在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P，則PBC的面積大于的概率是_解析如圖，設點C到邊AB的距離為h，則SABC|AB|·h，SPBC|PB|·h.又因為SPBC>SABC，所以|PB|>|AB|，故PBC的面積大于的概率是.答案14已知0<a<1，分別在區(qū)間(0，a)和(0,4a)內任取一個數，而取出的兩數之和小于1的概率為，則a的值為_解析設所取的兩個數分別為x，y，由題知所有基本事件構成的集合為(x，y)|0<x<a,0<y<4a,0<a<1，其對應區(qū)域為矩形，面積為S()a(4a)，而事件A(x，y)|xy<1，其對應區(qū)域面積為S(A)(11a)a，由幾何概型的概率計算公式知，即a(5a4)0，解得a.答案15.如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個等分點(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；(2)在半圓內任取一點S，求SAB的面積大于8的概率解(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3個，所以組成直角三角形的概率為.(2)連接MP，ON，OM，OP，取線段MP的中點D，則ODMP，易求得OD2，當S點在線段MP上時，SABS×2×88，所以只有當S點落在陰影部分(不在MP上)時，SAB的面積才能大于8，而S陰影S扇形MOPSOMP××42×4248，所以由幾何概型的概率公式得SAB的面積大于8的概率為.16