歡迎進入物理課堂 17 5 物質(zhì)波不確定關(guān)系 回顧所學(xué) 1 物質(zhì)波是一種什么波 2 什么是實物粒子的波粒二象性 一 物質(zhì)波實物粒子的波粒二象性 光的干涉 衍射等現(xiàn)象證實了光的波動性 熱輻射 光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)等現(xiàn)象又證實了光的粒子性 光具有波 粒二象性 德布羅意波在光的二象性的啟發(fā)下 提出了與光的二象性完全對稱的設(shè)想 即實物粒子 如電子 質(zhì)子等 也具有波 粒二象性的假設(shè) 德布羅意 不僅光具有波粒二象性 一切實物粒子 如電子 原子 分子等 也都具有波粒二象性 具有確定動量P和確定能量E的實物粒子相當(dāng)于頻率為和波長為的波 二者之間的關(guān)系如同光子和光波的關(guān)系一樣 滿足 德布羅意假設(shè) 這種和實物粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波 例 電子在電場里加速所獲得的能量 電子的德布羅意波長 德布羅意公式 X射線范圍 玻爾氫原子量子化條件與駐波條件是等效的 將德布羅意關(guān)系式 代入即得 玻爾理論中的角動量量子化條件 電子束在晶體表面散射實驗時 觀察到了和X射線在晶體表面衍射相類似的衍射現(xiàn)象 從而證實了電子具有波動性 1 戴維孫 革末實驗 1927 德布羅意假設(shè)的實驗證明 電子衍射實驗 多晶鋁箔 電子的單縫 雙縫 三縫和四縫衍射實驗圖象 2 湯姆遜 1927 3 約恩遜 1960 單縫衍射 雙縫衍射 三縫衍射 四縫衍射 例計算m 0 01kg V 300m s的子彈的德布羅意波長 極其微小 宏觀物體的波長小得實驗難以測量 宏觀物體只表現(xiàn)出粒子性 因V c 故有 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋 物質(zhì)波波函數(shù) 1926年玻恩指出物質(zhì)波是一種概率波 它描述了粒子在各處出現(xiàn)的概率 即波函數(shù)的物理意義 電子數(shù)N 7 電子數(shù)N 100 電子數(shù)N 3000 電子數(shù)N 20000 電子數(shù)N 70000 單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件 大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計規(guī)律 出現(xiàn)概率小 出現(xiàn)概率大 電子雙縫干涉圖樣 在經(jīng)典力學(xué)中 質(zhì)點 宏觀物體或粒子 在任何時刻都有完全確定的位置 動量 能量等 由于微觀粒子具有明顯的波動性 以致于它的某些成對物理量 如位置坐標(biāo)和動量 時間和能量等 不可能同時具有確定的量值 位置與動量的不確定性關(guān)系 下面以電子單縫衍射為例討論這個問題 二 不確定關(guān)系 電子可在縫寬范圍的任意一點通過狹縫 電子坐標(biāo)不確定量就是縫寬 電子在x方向的動量不確定量 若考慮次級衍射 只考慮一級衍射 一般有 嚴(yán)格的理論給出的不確定性關(guān)系為 它的物理意義是 微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量 粒子位置的不確定量越小 動量的不確定量就越大 反之亦然 因此不可能用某一時刻的位置和動量描述其運動狀態(tài) 軌道的概念已失去意義 經(jīng)典力學(xué)規(guī)律也不再適用 首先由海森堡給出 1927 海森堡不確定性關(guān)系 海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系 微觀粒子的 波粒二象 性的具體體現(xiàn) 由于 根據(jù)不確定性關(guān)系得 解 槍口直徑可以當(dāng)作子彈射出槍口時位置的不確定量 和子彈飛行速度每秒幾百米相比 這速度的不確定性是微不足道的 所以子彈的運動速度是確定的 例設(shè)子彈的質(zhì)量為0 01 槍口的直徑為0 5 試求子彈射出槍口時的橫向速度的不確定量 原子線度為10 10m 計算原子中電子速度的不確定度 解 P m V 例 按經(jīng)典力學(xué)計算 氫原子中電子的軌道速度V 106ms 1 物理量與其不確定度一樣數(shù)量級 物理量沒有意義了 在微觀領(lǐng)域內(nèi) 粒子的軌道概念不適用 12 3波函數(shù)薛定諤方程及簡單應(yīng)用 你知道嗎 1 物質(zhì)波波函數(shù)的統(tǒng)計意義 2 一維定態(tài)薛定諤方程的物理意義 對于微觀粒子 牛頓方程已不適用 一一維自由粒子波函數(shù) 一個沿x軸正向傳播的頻率為 的平面簡諧波 用指數(shù)形式表示 波的強度 取復(fù)數(shù)實部 微觀粒子的運動狀態(tài)描述微觀粒子運動基本方程 對于動量為P 能量為E的一維自由微觀粒子 根據(jù)德布羅意假設(shè) 其物質(zhì)波的波函數(shù)相當(dāng)于單色平面波 類比可寫成 量子力學(xué)中一維自由粒子波函數(shù)的一般形式 這里的 和一般都為復(fù)數(shù) 波函數(shù)的統(tǒng)計意義 電子雙縫衍射 波的強度 振幅的平方 dV dxdydz 單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率 玻恩 M Born 的波函數(shù)統(tǒng)計解釋 出現(xiàn)在dV內(nèi)概率 概率密度 波函數(shù)本身無直觀物理意義 只有模的平方反映粒子出現(xiàn)的概率 在這一點上不同于機械波 電磁波 t時刻粒子出現(xiàn)在空間某點r附近體積元dV中的概率 與波函數(shù)平方及dV成正比 二 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件 1 單值 在一個地方出現(xiàn)只有一種可能性 2 連續(xù) 概率不會在某處發(fā)生突變 3 有限 4 粒子在整個空間出現(xiàn)的總概率等于1 即 波函數(shù)歸一化條件 波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質(zhì)的認識爭論至今未息 哥本哈根學(xué)派 愛因斯坦 波函數(shù)滿足的條件 單值 有限 連續(xù) 歸一 三 薛定諤方程 1926年 描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程 質(zhì)量m的粒子在外力場中運動 勢能函數(shù)V r t 薛定諤方程為 粒子在穩(wěn)定力場中運動 勢能函數(shù)V r 能量E不隨時間變化 粒子處于定態(tài) 定態(tài)波函數(shù)寫為 由上兩式得 定態(tài)薛定諤方程 粒子能量 1 求解E 粒子能量 r 定態(tài)波函數(shù) 2 勢能函數(shù)V不隨時間變化 一維定態(tài)薛定諤方程 粒子在一維空間運動 描述外力場的勢能函數(shù) 說明 四 用薛定諤方程解一維無限深勢阱 若質(zhì)量為m的粒子 在保守力場的作用下 被限制在一定的范圍內(nèi)運動 其勢函數(shù)稱為勢阱 為了簡化計算 提出理想模型 無限深勢阱 一維無限深勢阱 保守力與勢能之間的關(guān)系 在勢阱邊界處 粒子要受到無限大 指向阱內(nèi)的力 表明粒子不能越出勢阱 即粒子在勢阱外的概率為0 勢阱內(nèi)的一維定態(tài)薛定諤方程為 解為 由邊界條件得 據(jù)歸一化條件 得 得波函數(shù)表達式 1 粒子能量不能取連續(xù)值 得 能量取分立值 能級 能量量子化是粒子處于束縛態(tài)的所具有的性質(zhì) 由 討論 2 粒子的最小能量不等于零 最小能量 也稱為基態(tài)能或零點能 零點能的存在與不確定度關(guān)系協(xié)調(diào)一致 3 粒子在勢阱內(nèi)出現(xiàn)概率密度分布 不受外力的粒子在0到a范圍內(nèi)出現(xiàn)概率處處相等 量子論觀點 經(jīng)典觀點 4 有限深勢阱 粒子出現(xiàn)的概率分布 如果勢阱不是無限深 粒子的能量又低于勢璧 粒子在阱外不遠處出現(xiàn)的概率不為零 經(jīng)典理論無法解釋 實驗得到證實 得到兩相鄰能級的能量差 例設(shè)想一電子在無限深勢阱 如果勢阱寬度分別為1 0 10 2m和10 10m 試討論這兩中情況下相鄰能級的能量差 解 根據(jù)勢阱中的能量公式 當(dāng)a 1cm時 可見兩相鄰能級間的距離隨著量子數(shù)的增加而增加 而且與粒子的質(zhì)量m和勢阱的寬度a有關(guān) 在這種情況下 相鄰能級間的距離是非常小的 我們可以把電子的能級看作是連續(xù)的 當(dāng)a 10 10m時 在這種情況下 相鄰能級間的距離是非常大的 這時電子能量的量子化就明顯的表現(xiàn)出來 可見能級的相對間隔隨著n的增加成反比地減小 當(dāng)時 較之要小的多 這時 能量的量子化效應(yīng)就不顯著了 可認為能量是連續(xù)的 經(jīng)典圖樣和量子圖樣趨與一致 所以 經(jīng)典物理可以看作是量子物理中量子數(shù)時的極限情況 當(dāng)n 1時 能級的相對間隔近似為 五 一維方勢壘隧道效應(yīng) 一維方勢阱如圖 粒子沿方向運動 當(dāng)粒子可以通過勢壘 當(dāng) 實驗證明粒子也能通過勢壘 這只有由量子力學(xué)得到解釋 設(shè)三個區(qū)域的波函數(shù)分別為 在各區(qū)域薛定諤方程分別為 解為 三個區(qū)域中波函數(shù)的情況如圖所示 隧道效應(yīng) 在粒子總能量低于勢壘壁高的情況下 粒子有一定的概率穿透勢壘 此現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng) 貫穿勢壘的概率定義為在處透射波的強度與入射波的強度之比 貫穿概率與勢壘的寬度與高度有關(guān) 掃描隧道顯微鏡 STM 原理 利用電子的隧道效應(yīng) 金屬樣品外表面有一層電子云 電子云的密度隨著與表面距離的增大呈指數(shù)形式衰減 將原子線度的極細的金屬探針靠近樣品 并在它們之間加上微小的電壓 其間就存在隧道電流 隧道電流對針尖與表面的距離及其敏感 如果控制隧道電流保持恒定 針尖的在垂直于樣品方向的變化 就反映出樣品表面情況 48個Fe原子形成 量子圍欄 圍欄中的電子形成駐波 STM的橫向分辨率已達 縱向分辨達 STM的出現(xiàn) 使人類第一次能夠適時地觀察單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及表面電子行為有關(guān)性質(zhì) 同學(xué)們 來學(xué)校和回家的路上要注意安全 同學(xué)們 來學(xué)校和回家的路上要注意安全