海南大學(xué)數(shù)學(xué)系大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)委員會中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽大綱一、函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.2 函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.5 無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.6 極限的四則運算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限.7 函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的類型.8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函數(shù)微分學(xué)1. 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.3. 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4. 高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必達(dá)(LHospital)法則與求未定式極限.7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.9. 弧微分、曲率、曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學(xué)1. 原函數(shù)和不定積分的概念.2. 不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.3. 定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.5. 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.6. 廣義積分.7. 定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2. 變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .4. 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.6. 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積7. 歐拉(Euler)方程.8. 微分方程的簡單應(yīng)用五、向量代數(shù)和空間解析幾何1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3. 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.6. 球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.7. 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.六、多元函數(shù)微分學(xué)1. 多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.4. 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.5. 二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.6. 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.7. 二元函數(shù)的二階泰勒公式.8. 多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用.七、多元函數(shù)積分學(xué)1. 二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))、三重積分的計算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).2. 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲線積分的關(guān)系.3. 格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).4. 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算、兩類曲面積分的關(guān)系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.6. 重積分、曲線積分和曲面積分的應(yīng)用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)八、無窮級數(shù)1. 常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.2. 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3. 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.4. 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.5. 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).6. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.7. 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.8. 函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlei)定理、函數(shù)在-l，l上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在0,l上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 海南大學(xué)數(shù)學(xué)系2010年9月25日 3