第七章 習(xí) 題 　 7.1 已知頻譜包含有直流分量至1000 Hz分量的連續(xù)時間信號f(t)延續(xù)1 min，現(xiàn)對f(t)進(jìn)行均勻抽樣以構(gòu)成離散信號。求滿足抽樣定理的理想抽樣的抽樣點(diǎn)數(shù)。 答案 解答：今，故抽樣頻率應(yīng)為： 最低抽樣頻率為。而最大的抽樣間隔為 故得最少抽樣點(diǎn)數(shù)為 個 7.2 已知序列 試將其表示成解析（閉合）形式，單位序列組合形式，圖形形式和表格形式。 答案 解答：（1）解析形式 或 （2）單位序列組合形式 （3）圖形形式如圖題7.2所示。 （4）表格形式如下： k 0 1 2 3 4 5 6 … f(k) -2 -1 2 7 14 23 34 … 7.3 判斷以下序列是否為周期序列，若是，則其周期N為何值？ 答案 解答：若存在一個整數(shù)N，能使 則即為周期為N的周期序列； 若不存在一個周期N，則即為非周期序列。 取 故得 可見當(dāng)取n=3時，即有N=14。故為一周期序列，其周期為N=14。 欲使為周期序列，則必須滿足，即，但由于n為整數(shù)，不是整數(shù)，故N不可能是整數(shù)，因此不可能是周期序列。 （3）因?yàn)橐蚬蛄?。故為非周期序列。也可以理解為是在k=0時刻作用于系統(tǒng)的周期序列，其周期為。 7.4 求以下序列的差分。 答案 解答：（1）方法一 方法二 故 。 這是先延遲后求差分。 因有 故有 這是先求差分后延遲?？梢娤妊舆t后求差分和先求差分后延遲是是一樣的。 （這是先求差分后延遲） （這是先求差分后延遲) 7.5 欲使圖題7.5(a)與圖題7.5(b)所示系統(tǒng)等效，求圖題7.5(a)中的加權(quán)系數(shù)h(k)。 答案 解答：兩個系統(tǒng)等效，意即它們的單位響應(yīng)相等。圖題(b)的差分方程為 故得轉(zhuǎn)移算子 故得 因?yàn)楫?dāng)時有 故上式可寫為 因由此式也可得到 圖題(a)的差分方程為 欲使圖題 (b)和(a)兩個系統(tǒng)等效，圖題 (a)的單位響應(yīng)也應(yīng)為 7.6 已知序列和的圖形如圖題7.6所示。求 答案 7.7 求下列各卷積和。 ) 答案 解答： 7.8 求下列各差分方程所描述的離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 。 答案 解答：（1）對差分方程進(jìn)行移序變換得 特征方程為 得特征根為 故零輸入響應(yīng)的通解為 故有 ， 故得 故得零輸入響應(yīng)為 （2）對差分方程進(jìn)行移序變換得 即 特征方程為 特征根為 故零輸入響應(yīng)的通解為 故有 聯(lián)解得 故得零輸入響應(yīng)為 7.9 已知系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)的單位響應(yīng)。 答案 解答：系統(tǒng)差分方程的轉(zhuǎn)移算子為 故得 7.10 已知差分方程 系統(tǒng)的初始條件 求全響應(yīng)。 答案 解答：（1）求零輸入響應(yīng) 得特征根為 故 聯(lián)解得 故 （2）求 故得 （3）求零狀態(tài)響應(yīng) 查卷積和表得 全響應(yīng)為 7.11 某人每年初在銀行存款一次，第1年存款1萬元，以后每年初將上年所得利息和本金以及新增1萬元存入當(dāng)年，年利息為5%。(1)列此存款的差分方程；(2)求第10年底在銀行存款的總數(shù)。 答案 解答：（1）設(shè)第k年初銀行存款總額為，則差分方程為 式中為年初存款的總數(shù)，為第年初新增存款1萬元。整理之得 由于，故只存在零狀態(tài)響應(yīng)。傳輸算子為 故 故 當(dāng)k=10時有 萬元 故第10年底銀行的存款總數(shù)為 萬元 7.12 已知差分方程為 激勵 初始值 試用零輸入-零狀態(tài)法求全響應(yīng)。 答案 解答：（1）求零輸入響應(yīng)。 系統(tǒng)的特征方程為 得特征根為 故得零輸入響應(yīng)的通解為 待定系數(shù)必須根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)來求，而不能根據(jù)全響應(yīng)的初始值來求。又因?yàn)榧钍窃跁r刻作用于系統(tǒng)的，故初始狀態(tài)應(yīng)為。下面求。 取，代入原差分方程有 即 故得 取，代入原差分方程有 即 故得 將所求得的初始狀態(tài)，代入式（1）有 聯(lián)解得。故得零輸入響應(yīng)為 （2）差分方程的轉(zhuǎn)移算子為 故得單位響應(yīng)為 （3）零狀態(tài)響應(yīng)為 （4）全響應(yīng)，即 7.13 已知離散系統(tǒng)的差分方程與初始狀態(tài)為 (1)求零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)； (2)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定； (3)畫出該系統(tǒng)的一種時域模擬圖。 答案 解答：（1） 故零輸入響應(yīng)的通解為 故有 聯(lián)解得。故得零輸入響應(yīng)為 （2）系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為 故零狀態(tài)響應(yīng)為 （3）全響應(yīng)為 （4）由于差分方程的特征根的絕對值均小于1，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的 （5）系統(tǒng)的一種時域模擬圖如圖題7.13所示 7.14 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 求系統(tǒng)在 激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，寫出該系統(tǒng)的差分方程，畫出一種時域模擬圖。 答案 解答：先求單位響應(yīng)。 因有 故根據(jù)系統(tǒng)的差分性有 故得 又由的表達(dá)式可求得轉(zhuǎn)移算子為 故得系統(tǒng)的差分方程為 其模擬圖如圖題7.14所示 7.15 已知零狀態(tài)因果系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 (1)求系統(tǒng)的差分方程； (2)若激勵 求零狀態(tài)響應(yīng)。 答案 解答：（1）由階躍響應(yīng)的表達(dá)式可知，特征方程有兩個特征根： 故知該系統(tǒng)是二階的。故可設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 故得 故得差分方程為 下面再求系數(shù)。先求單位響應(yīng)。當(dāng)激勵時，系統(tǒng)的差分方程變?yōu)? 因有 故根據(jù)線性系統(tǒng)的差分性有 故得： 將這些值代入式（1）得 故得系數(shù) 最后得差分方程為 實(shí)際上，由于因果系統(tǒng)總是有，今階，故必有 （2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性與移序不變性可得 7.16 圖題7.16所示(a)，(b)，(c)三個系統(tǒng)，已知各子系統(tǒng)的單位響應(yīng)為 試證明三個系統(tǒng)是等效的，即 。 答案 解答：欲證明三個系統(tǒng)相互等效，只要證明三個系統(tǒng)的單位響應(yīng)相同即可。 （1）求圖題7.16(a)的單位響應(yīng) （2）求圖題7.16(b)的單位響應(yīng) （3）求圖題7.16(c)的單位響應(yīng) 故三個系統(tǒng)是等效的。 7.17 試寫出圖題7-17(a)，(b)所示系統(tǒng)的后向與前向差分方程。 答案 解： （a） （b）