習(xí) 題 2 2-1 試證明圖2-77(a)所示電氣網(wǎng)絡(luò)與圖2 77(b)所示的機(jī)械系統(tǒng)具有相同的微分方程。 圖2-77習(xí)題2-1圖 證明：首先看題2-1圖中(a) 2-2試分別寫出圖2-78中各有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。 圖2-78 習(xí)題2-2圖 解： (a) (b) (c) 2-3某彈簧的力一位移特性曲線如圖2-79所示。在僅存在小擾動的情況下，當(dāng)工作點分別為x0=-1.2，0，2.5時，試求彈簧在工作點附近的彈性系數(shù)。 解：由題中強(qiáng)調(diào)“僅存在小擾動”可知，這是一道非線性曲線線性化處理的問題。于是有，在x0=-1.2，0，2.5這三個點處對彈簧特性曲線做切線，切線的導(dǎo)數(shù)或斜率分別為： 1） 2） 3） 2- 4圖2-80是一個轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，其中電壓u為輸入量，負(fù)載轉(zhuǎn)速ω為輸出量。試寫出該系統(tǒng)輸入輸出間的微分方程和傳遞函數(shù)。 解：根據(jù)系統(tǒng)傳動機(jī)構(gòu)圖可列動態(tài)如下： (1) (2) (3) 將方程(3)整理后得： (4) 將方程(4)代入方程(1)后得： (5) 將方程(5)整理后得： (6) 2-5 系統(tǒng)的微分方程組如下 式中，r，K-，K2，K。，Kn，Kj，T均為常數(shù)。試建立系統(tǒng)r(f)對c(f)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) C(s)／R(s)。 解：首先畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)動態(tài)方程有： X1(s) X2(s) X2(s) X3(s) X4(s) X5(s) C(s) τs+K1 K2 K3/s K4/(Ts+1) K5 然后，根據(jù)梅遜公式得： 2 6 圖2-8l是一個模擬調(diào)節(jié)器的電路示意圖。 ① 寫出輸入ui，與輸出uo之間的微分方程； ② 建立該調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖； ③ 求傳遞函數(shù)Uo(s)／Ur(s)。 解：根據(jù)電路分析需要，引入中間變量vo1(t)，vo2(t)，然后，由電路圖可知： （1） （2） （3） 采用代入法，將上述3個方程聯(lián)立求解得： -Kx1 mgsinα -Bdx1/dt mg mgcosα N 2-7某機(jī)械系統(tǒng)如圖2-82所示。質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓筒與彈簧和阻尼器相連(通過軸心)，假定圓筒在傾角為α的斜面上滾動(無滑動)，求出其運動方程。 解：首先，對圓輥進(jìn)行受力分析；根據(jù)分析結(jié)果可知： 2 8 圖2-83是一種地震儀的原理圖。地震儀的殼體固定在地基上，重錘M由彈簧K支撐。當(dāng)?shù)鼗舷抡饎訒r，殼體隨之震動，但是由于慣性作用，重錘的運動幅度很小，這樣它與殼體之間的相對運動幅度就近似等于地震的幅度，而由指針指示出來?；钊鸅提供的阻尼力正比于運動的速度，以便地震停止后指針能及時停止震動。 ①寫出以指針位移y為輸出量的微分方程； ②核對方程的量綱。 解：首先，對重錘進(jìn)行受力分析；根據(jù)分析結(jié)果可知： 2 9 試簡化圖2-84中各系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)c(s)／R(s)。 圖2-84習(xí)題2-9圖 解：(a)，根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：； 回路通道傳遞函數(shù)Li：； 特征方程△： 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： (b)，根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：； 回路通道傳遞函數(shù)Li：； 特征方程△： 由于回路傳遞函數(shù)L2與前向通路相“不接觸”，所以。余子式： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： (c)，根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：； 回路通道傳遞函數(shù)Li：； 特征方程△： 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 2-10試用梅遜公式求解習(xí)題2-9所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)／R(s)。 2-11 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2-85所示。 ① 求傳遞函數(shù)C1(s)/RI(s)，C1(s)/R2(s)，C2(s)/RI(s)，C2(s) R2(s)， 圖2-85 習(xí)題2-11圖 ② 求傳遞函數(shù)陣G(s)C(s)= G(s)R(s)，其中 ，。 解：C1(s)/RI(s)，根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk： ；； 回路通道傳遞函數(shù)∑Li：； 相互“不接觸”回路∑LiLj： 特征方程△： 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 圖2-86 習(xí)題2 12圖 2-12 試求圖2-86所示結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)C(s)／R(s)。 解：C1(s)/RI(s)，根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk： ； ；； ； 回路通道傳遞函數(shù)∑Li：；；；； 特征方程△： 特征方程余子式△k： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 2-13 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-87所示，試將其轉(zhuǎn)換成信號流圖，并求出c(s)／R(s)。 解：(a) 根據(jù)梅遜公式得： (b) 根據(jù)梅遜公式得： 2-14 系統(tǒng)的信號流圖如圖2-88所示，試求C(s)／R(s)。 圖2-88 習(xí)題2-14圖 圖2-89 習(xí)題2-15圖 解：(a) 根據(jù)梅遜公式得： (b) 根據(jù)梅遜公式得： 2-15 某系統(tǒng)的信號流圖如圖2-89所示，試計算傳遞函數(shù)C2(s)/R1(s)。若進(jìn)一步希望實現(xiàn)C2(s)與R1(s)解耦，即希望C2(s)/R1(s)=0。試根據(jù)其他的Gi(s)選擇合適的G5(s)。 解： 若希望C2(s)/R1(s)=0，則有 2-16 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-90所示。 ①求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)和C(s) /N(s)。 ②若要消除干擾對輸出的影響(即C(s) /N(s)=0，問G0(s)=? 解：①由結(jié)構(gòu)圖可知C(s)/R(s) ② 由結(jié)構(gòu)圖可知C(s)/N(s) 若使C(s)/N(s)=0，則意味著 最終求得G0(s)： 2-17考慮兩個多項式p(s)=s2+2s+1，q(s)=s+1。用Matlab完成下列計算 ① p(s)q(s) ② G(滬悉鬟南； ③擴(kuò)m 略 2-18考慮圖2-9l描述的反饋系統(tǒng)。 ①利用函數(shù)series與cloop，計算閉環(huán)傳遞函數(shù)，并用printsys函數(shù)顯示結(jié)果； ②用step函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并驗證輸出終值為2/5。 解：略 2-19衛(wèi)星單軸姿態(tài)控制系統(tǒng)的模型如圖2-92所示，其中k=10．8E+08，a=1和b=8是控制器參數(shù)，J=10。8E+08是衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量。 圖2-92 習(xí)題2-19圖 圖2-93 習(xí)題2-20圖 ①編制MatIab文本文件，計算其閉環(huán)傳遞函數(shù)口θ(s)/θd(s)； ②當(dāng)輸人為θd(s)=10的階躍信號時，計算并做圖顯示階躍響應(yīng)； ③轉(zhuǎn)動慣量-，的精確值通常是不可知的，而且會隨時間緩慢改變。當(dāng)‘，減小到給定值的80％和50％時，分別計算并比較衛(wèi)星的階躍響應(yīng)。 2-20考慮圖2 93所示的方框圖。 ①用Matlab化簡方框圖，并計算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； ②利用pzmap函數(shù)繪制閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖； ③用roots函數(shù)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點，并與②的結(jié)果比較。 （2）如圖所示機(jī)械位移系統(tǒng)，求G(s)= Y(s)/ F(s)。 解：首先對質(zhì)量為m的物體進(jìn)行受力分析，得所受的合力為 其中，； 于是有 整理得 解答完畢。