（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題十 直線與圓講義 理（普通生，含解析）全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018直線方程、圓的方程、點到直線的距離·T62017圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)·T15圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質(zhì)·T9直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離、橢圓的幾何性質(zhì)·T10直線與圓的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系·T202016圓的方程、點到直線的距離·T4點到直線的距離、弦長問題·T16(1)圓的方程近幾年成為高考全國課標(biāo)卷命題的熱點，需重點關(guān)注此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查(2)直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上 保分考點·練后講評1.已知直線l1：(k3)x(4k)y10與直線l2：2(k3)x2y30平行，則k的值是()A1或3B1或5C3或5 D1或2解析：選C當(dāng)k4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當(dāng)k4時，兩直線平行的一個必要條件是k3，解得k3或k5，但必須滿足(截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗知滿足這個條件2兩直線垂直已知直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，垂足為P(1，p)，則mnp的值是()A24 B20C0 D4解析：選B直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，×1，m10.直線mx4y20，即5x2y10，將垂足(1，p)代入，得52p10，p2.把P(1，2)代入2x5yn0，得n12，mnp20，故選B.3.坐標(biāo)原點(0,0)關(guān)于直線x2y20對稱的點的坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選A直線x2y20的斜率k，設(shè)坐標(biāo)原點(0,0)關(guān)于直線x2y20對稱的點的坐標(biāo)是(x0，y0)，依題意可得解得即所求點的坐標(biāo)是.4.已知直線l過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且點P(0,4)到直線l的距離為2，則直線l的方程為_解析：由得所以直線l1與l2的交點為(1,2)顯然直線x1不符合，即所求直線的斜率存在，設(shè)所求直線的方程為y2k(x1)，即kxy2k0，因為P(0,4)到直線l的距離為2，所以2，所以k0或k.所以直線l的方程為y2或4x3y20.答案：y2或4x3y20解題方略1兩直線的位置關(guān)系問題的解題策略求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù)若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷2軸對稱問題的兩種類型及求解方法點關(guān)于直線的對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對稱，則線段P1P2的中點在對稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)直線關(guān)于直線的對稱有兩種情況，一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決 保分考點·練后講評大穩(wěn)定1.若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，2)B.C(2,0) D.解析：選D若方程表示圓，則a2(2a)24(2a2a1)>0，化簡得3a24a4<0，解得2<a<.2.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)C(a,0)(a>0)，由題意知，解得a2，所以r 3，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y29解題方略求圓的方程的2種方法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程小創(chuàng)新1.已知圓M：x2y22xa0，若AB為圓M的任意一條直徑，且·6(其中O為坐標(biāo)原點)，則圓M的半徑為()A. B.C. D2解析：選C圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21a(a<1)，圓心M(1,0)，則|OM|1，圓的半徑r，因為AB為圓M的任意一條直徑，所以，且|r，則·()·()()·()221r26，所以r27，得r，所以圓的半徑為，故選C.2.向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機(jī)投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為_解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為××2×2×，所以向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機(jī)投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P.答案： 增分考點·廣度拓展分點研究題型一圓的切線問題例1(1)(2019屆高三·蘇州高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過點M(1,1)的直線l與圓(x1)2(y2)25相切，且與直線axy10垂直，則實數(shù)a_.(2)設(shè)點M(x0，y0)為直線3x4y25上一動點，過點M作圓x2y22的兩條切線，切點為B，C，則四邊形OBMC面積的最小值為_解析(1)由題意得，直線l的斜率存在，設(shè)過點M(1,1)的直線l的方程為y1k(x1)，即kxy1k0.因為直線l與圓(x1)2(y2)25相切，所以圓心(1,2)到直線l的距離d，整理得k24k40，解得k2.又直線l與直線axy10垂直，所以2a1，解得a.(2)圓心O到直線3x4y25的距離d5，則|OM|d5，所以切線長|MB| ，所以S四邊形OBMC2SOBM2×××.答案(1)(2)變式1本例(2)變?yōu)椋哼^點A(1,3)，作圓x2y22的兩條切線，切點為B，C，則四邊形OBAC的面積為_解析：由相切可得S四邊形OBAC2SOBA，因為OAB為直角三角形，且|OA|，|OB|，所以|AB|2，即SOBA×2×2，所以S四邊形OBAC2SOBA4.答案：4變式2本例(2)變?yōu)椋涸O(shè)點M(x0，y0)為直線3x4y25上一動點，過點M作圓x2y22的兩條切線l1，l2，則l1與l2的最大夾角的正切值是_解析：設(shè)一個切點為B，圓心O到直線3x4y25的距離為d5，則tanOMB，所以tan 2OAB.故所求最大夾角的正切值為.答案：解題方略直線與圓相切問題的解題策略直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算題型二圓的弦長問題例2已知圓C經(jīng)過點A(2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線yx上，又直線l：ykx1與圓C相交于P，Q兩點(1)求圓C的方程；(2)過點(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值解(1)設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r，因為圓C經(jīng)過點A(2,0)，B(0,2)，所以|AC|BC|r，即 r，解得a0，r2，故所求圓C的方程為x2y24.(2)設(shè)圓心C到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S.因為直線l，l1都經(jīng)過點(0,1)，且l1l，根據(jù)勾股定理，有dd21.又|PQ|2×，|MN|2×，所以S|PQ|·|MN|，即S×2××2×22227，當(dāng)且僅當(dāng)d1d時，等號成立，所以四邊形PMQN面積的最大值為7.解題方略求解圓的弦長的3種方法關(guān)系法根據(jù)半徑，弦心距，弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2d2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)公式法根據(jù)公式l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)距離法聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組求出兩交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求解多練強(qiáng)化1(2018·全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圓心C(0，1)，半徑r2.圓心C(0，1)到直線xy10的距離d，|AB|222.答案：22已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點，若|MN|，則直線l的方程為_解析：直線l的方程為ykx1，圓心C(2,3)到直線l的距離d，由R2d22，得1，解得k2或，故所求直線l的方程為y2x1或yx1.答案：y2x1或yx13已知從圓C：(x1)2(y2)22外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|PO|，則當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標(biāo)為_解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(1,2)，半徑r.因為|PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可當(dāng)PO垂直于直線2x4y30時，即PO所在直線的方程為2xy0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，則解得故當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標(biāo)為.答案：數(shù)學(xué)建模直線與圓最值問題的求解典例已知圓O：x2y29，過點C(2,1)的直線l與圓O交于P，Q兩點，則當(dāng)OPQ的面積最大時，直線l的方程為()Axy30或7xy150Bxy30或7xy150Cxy30或7xy150Dxy30或7xy150解析當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x2，則P(2，)，Q(2，)，所以SOPQ×2×22，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y1k(x2)，則圓心到直線l的距離d，所以|PQ|2，SOPQ×|PQ|×d×2×d ，當(dāng)且僅當(dāng)9d2d2，即d2時，SOPQ取得最大值，因為2，所以SOPQ的最大值為，此時，解得k1或k7，此時直線l的方程為xy30或7xy150，故選D.答案D素養(yǎng)通路本題考查了直線與圓的最值問題，結(jié)合題目的條件，設(shè)元、列式、建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用基本不等式模型解決相關(guān)的最值問題考查了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng) A組“633”考點落實練一、選擇題1“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選C因為兩直線平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.2已知直線l1過點(2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：選C直線l1的斜率k1tan 30°，因為直線l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為(1，)3已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離解析：選B圓M：x2y22ay0(a>0)可化為x2(ya)2a2，由題意，M(0，a)到直線xy0的距離d，所以a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)24，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交4(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析：選A設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得|AB|2，所以ABP面積的最大值為|AB|·dmax6，ABP面積的最小值為|AB|·dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,65已知圓O：x2y24上到直線l：xya的距離等于1的點至少有2個，則實數(shù)a的取值范圍為()A(3，3)B(，3)(3，)C(2，2)D3，3 解析：選A由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d<r121，即d<3，解得a(3，3)6在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點，若點M在圓C上，則實數(shù)k的值為()A2 B1C0 D1解析：選C法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)>0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因為，故M，又點M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線與圓相交于A，B兩點，且點M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.二、填空題7已知直線l：xmy30與圓C：x2y24相切，則m_.解析：因為圓C：x2y24的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：xmy30與圓C：x2y24相切，所以2，解得m± .答案：±8過點C(3,4)作圓x2y25的兩條切線，切點分別為A，B，則點C到直線AB的距離為_解析：以O(shè)C為直徑的圓的方程為2(y2)22，AB為圓C與圓O：x2y25的公共弦，所以AB的方程為x2y25，化簡得3x4y50，所以C到直線AB的距離d4.答案：49(2018·貴陽適應(yīng)性考試)已知直線l：ax3y120與圓M：x2y24y0相交于A，B兩點，且AMB，則實數(shù)a_.解析：直線l的方程可變形為yax4，所以直線l過定點(0,4)，且該點在圓M上圓的方程可變形為x2(y2)24，所以圓心為M(0，2)，半徑為2.如圖，因為AMB，所以AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以，解得a±.答案：±三、解答題10已知圓(x1)2y225，直線axy50與圓相交于不同的兩點A，B.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若弦AB的垂直平分線l過點P(2,4)，求實數(shù)a的值解：(1)把直線axy50代入圓的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直線axy50交圓于A，B兩點，故4(5a1)24(a21)>0，即12a25a>0，解得a>或a<0，所以實數(shù)a的取值范圍是(，0).(2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為y(x2)4，即xay24a0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1,0)必在l上，所以1024a0，解得a，由于，所以a.11已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|2時，求直線l的方程解：(1)設(shè)圓A的半徑為R.因為圓A與直線l1：x2y70相切，所以R2.所以圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.由于|MN|2，于是2()220，解得k，此時，直線l的方程為3x4y60.所以所求直線l的方程為x2或3x4y60.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線xy10截以原點O為圓心的圓所得的弦長為.(1)求圓O的方程；(2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點D，E，當(dāng)線段DE的長度最小時，求直線l的方程解：(1)因為點O到直線xy10的距離為，所以圓O的半徑為 ，故圓O的方程為x2y22.(2)設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)，即bxayab0，由直線l與圓O相切，得，即，則|DE|2a2b22(a2b2)48，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時取等號，此時直線l的方程為xy20.B組大題專攻補短練1已知點M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍(1)求曲線E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點當(dāng)CD的斜率為1時，求直線CD的方程解：(1)設(shè)曲線E上任意一點的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得 ·，整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求(2)由題意知l1l2，且兩條直線均恒過點N(1，0)設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，設(shè)線段CD的中點為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：yx2.設(shè)直線CD：yxt，由解得點P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD| ，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，所以223，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直線CD的方程為yx或yx3.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解：(1)因為圓心在直線l：y2x4上，也在直線yx1上，所以解方程組得圓心C(3,2)，又因為圓的半徑為1，所以圓的方程為(x3)2(y2)21，又因為點A(0,3)，顯然過點A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切線方程為y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因為圓C的圓心在直線l：y2x4上，所以設(shè)圓心C為(a,2a4)，又因為圓C的半徑為1，則圓C的方程為(xa)2(y2a4)21.設(shè)M(x，y)，又因為|MA|2|MO|，則有2，整理得x2(y1)24，其表示圓心為(0，1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點，所以21 21，解得0a，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值解：(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況(2)證明：由(1)知BC的中點坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立可得所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長為23，即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值4(2018·廣州高中綜合測試)已知定點M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|PM|.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標(biāo)原點設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當(dāng)k1k23時，求k的取值范圍解：(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)，因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|PM|，所以 ·.整理得，x2y22.所以動點P的軌跡C的方程為x2y22.(2)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxb.由消去y，整理得(1k2)x22bkxb220.(*)由(2bk)24(1k2)(b22)>0，得b2<22k2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.由k1·k2··3，得(kx1b)(kx2b)3x1x2，即(k23)x1x2bk(x1x2)b20.將代入，整理得b23k2.由得b23k20，解得k.由和，解得k<或k>.要使k1，k2，k有意義，則x10，x20，所以0不是方程(*)的根，所以b220，即k1且k1.由，得k的取值范圍為，1)(1，