1 一平行板電容器的兩極板都是半徑為 的圓導(dǎo)體片，在充電時，其中電場強度的變化率為： 。試求： （1） 兩極板間的位移電流 ； （2） 極板邊緣的磁感應(yīng)強度 。 解: （1）如圖所示,根據(jù)電容器極板帶電情況，可知電場強度 的方向水平向右（電位移矢量 的方向與 的方向相同）。 因電容器中為真空，故 。忽略邊緣效應(yīng)，電場只分布在兩板之間的空間內(nèi)，且為勻強電場。已知圓板的面積 ，故穿過該面積的 的通量為 由位移電流的定義式，得電容器兩板間位移電流為 因 ，所以 的方向與 的方向相同，即位移電流的方向與 的方向相同。 （2）由于忽略邊緣效應(yīng)，則可認為兩極板間的電場變化率是相同的，則極板間的位移電流是軸對稱分布的,因此由它所產(chǎn)生的磁場對于兩板中心線也具有軸對稱性。在平行板電容器中沿極板邊緣作以半徑為 的圓，其上 的大小相等，選積分方向與 方向一致，則由安培環(huán)路定理可得 （全電流）因在電容器內(nèi)傳導(dǎo)電流 ，位移電流為 ，則全電流為 所以 極板邊緣的磁感應(yīng)強度為 根據(jù)右手螺旋定則，可知電容器邊緣處的磁感應(yīng)強度 的方向，如圖所示。2 一平行板電容器的兩極板為圓形金屬板，面積均為 ，接于一交流電源時，板上的電荷隨時間變化，即 。試求： （1） 電容器中的位移電流密度的大?。?（2） 設(shè) 為由圓板中心到該點的距離，兩板之間的磁感應(yīng)強度分布 。解: （1）由題意可知， ，對于平行板電容器電位移矢量的大小為 所以，位移電流密度的大小為 （2）由于電容器內(nèi)無傳導(dǎo)電流，故 。又由于位移電流具有軸對稱性，故可用安培環(huán)路求解磁感應(yīng)強度。設(shè) 為圓板中心到場點的距離，并以 為半徑做圓周路徑 。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理可知 通過所圍面積的位移電流為 所以 . 最后可得 3. 如圖（a）所示，用二面積為 的大圓盤組成一間距為 的平行板電容器，用兩根長導(dǎo)線垂直地接在二圓盤的中心。今用可調(diào)電源使此電容器以恒定的電流 充電，試求： （1） 此電容器中位移電流密度； （2） 如圖（b）所示，電容器中 點的磁感應(yīng)強度； （3） 證明在此電容器中從半徑為 厚度為 的圓柱體表面流進的電磁能與圓柱體內(nèi)增加的電磁能相等。 解:（1）由全電流概念可知，全電流是連續(xù)的。電容器中位移電流密度 的方向應(yīng)如圖（c）所示，其大小為 通過電源給電容器充電時，使電容器極板上電荷隨時間變化，從而使極板間電場發(fā)生變化。因此，也可以這樣來求 ： 因為 由于 ，因此 所以 （2）由于傳導(dǎo)電流和位移電流均呈軸對稱，故磁場 也呈軸對稱，顯然過 點的 線應(yīng)為圓心在對稱軸上的圓，如圖（c）所示。 根據(jù)全電流安培環(huán)路定理，將 用于此 線上，有 得 所以 （3）在電容器中作半徑為 厚度為 的圓柱體，如圖（d）所示。由坡印廷矢量 分析可知， 垂直指向圓柱體的側(cè)壁，這表明電磁場的能量是從側(cè)壁流入圓柱體內(nèi)的。在單位時間內(nèi)流入的能量為 因為 所以 由于傳導(dǎo)電流和位移電流都不隨時間變化，故磁場和磁場的能量也都不隨時間變化。但電容器中的電場是隨時間增強的，故電場的能量是隨時間增加的。圖（d）中圓柱體內(nèi)單位時間內(nèi)增加的電場的能量為 顯然，單位時間內(nèi)流入圓柱體的能量與圓柱體內(nèi)增加的能量相等。4 如圖所示，已知電路中直流電源的電動勢為 電阻 ，電容器的電容 ，試求： （1） 接通電源瞬時電容器極板間的位移電流； （2） 時，電容器極板間的位移電流； （3） 位移電流可持續(xù)多長時間。（通常認為經(jīng)過10倍電路時間常數(shù) 后電流小到可忽略不計）解: 對 串聯(lián)電路的暫態(tài)過程有 求解該方程得： ，表示極板上的電荷量是隨時間變化。在電容器內(nèi)，由上題結(jié)論得電容器中的位移電流為 對應(yīng)不同的情況，可求得 （1）在接通電源的瞬時 ，電容器極板間的位移電流 。 （2）當 時， （3）在 時可認為電流忽略不計，即 。所以 5 一球形電容器，其內(nèi)導(dǎo)體半徑為 ，外導(dǎo)體半徑為 ，兩極板之間充有相對介電常數(shù)為 的介質(zhì)。現(xiàn)在電容器上加電壓，內(nèi)球與外球的電壓為 ，假設(shè) 不太大，以致電容器電場分布與靜電場情形近似相等，試求介質(zhì)中的位移電流密度以及通過半徑為 的球面的位移電流。解: 設(shè)電容器極板上帶有電荷 ，由位移電流密度公式可知 由于球形電容器具有球形對稱，用電場高斯定理求出球形極板間的電位移矢量為 （ 為徑向單位向量） 球形電容器極板間的電勢差為 與上式聯(lián)立，消去 ，得 所以位移電流密度為 在電容器中，作半徑為 的球面 ，通過它的位移電流為 的流向沿徑向，且隨時間變化。6 如圖所示，電荷 以速度 向 點運動（ 到 點的距離以 表示）。在 點處作一半徑為 的圓，圓面與 垂直。試求通過該圓面的位移電流和圓周上各點處的磁感應(yīng)強度 。 解: 電荷在其周圍要激發(fā)電場，同時由于電荷運動，根據(jù)麥克斯韋假設(shè)，此時隨時間變化的電場又激發(fā)磁場。設(shè) 時間穿過圓面上的電位移通量為 為使計算簡便，可以 為球心， 為半徑， 為小圓半徑的底面，做一球冠，球面上各點的 的大小相等，穿過題意圓面的電位移通量與穿過球冠的電位移通量相等。即 代入位移電流的定義式，得取半徑為 的圓為積分回路 ，由麥克斯韋方程，有 由于 運動沿圓面的軸線，系統(tǒng)具有對稱性，所以環(huán)路上各點的 大小相等，即 得 寫成矢量形式有 這正是運動電荷產(chǎn)生的磁場公式。7 如圖所示，由電容為 的電容器和自感系數(shù)為 的線圈構(gòu)成一振蕩電路，若忽略線路中的電阻，充電后電容器所帶電量的幅值為 。試求： （1） 充電時電容器兩極板間電位差隨時間的變化率； （2） 電路中電流隨時間的變化率； （3） 電場和磁場能量分別隨時間的變化率。 解:在圖示中，將開關(guān) 先后扳向位置2，1使電容器充放電，便可在 電路中產(chǎn)生電流的周期性變化。設(shè)電路中電荷隨時間的變化規(guī)律為 則電路中的充放電流為 由于在 電路中， ，所以回路的振蕩頻率 由題意可知， 所以代入電容器的電容公式，有表明電容器兩極板間電壓隨時間作用周期性變化。 已知電路中電荷變化規(guī)律，則有 電容器儲存的電場能量為 線圈儲存的磁場能量為 整個電路系統(tǒng)的總能量 8.試證明麥克斯韋方程組中蘊含了電荷守恒定律。解: 由麥克斯韋方程 （ 為傳導(dǎo)電流）設(shè)想閉合曲線縮小為一點，相應(yīng)地以 為邊界的曲面 將變成一個閉合面，在這種情況下有 ，即 因此傳導(dǎo)電流 而 代入上式得 結(jié)果表明，如果一個地方?jīng)]有電荷量的減小，就不可能從那里流出電荷來。這就是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達式，因此麥克斯韋方程組中蘊含了電荷守恒定律。