第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞2019考綱考題考情1簡單的邏輯聯(lián)結詞(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結詞。(2)命題pq、pq、綈p的真假判定pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量詞及含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞和存在量詞全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“”表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“”表示。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題?！皩中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為：xM，p(x)。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題?！按嬖贛中元素x0，使p(x0)成立”用符號簡記為：x0M，p(x0)。(2)含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)1用“并集”的概念來理解“或”，用“交集”的概念來理解“且”，用“補集”的概念來理解“非”。2記憶口訣：(1)“p或q”，有真則真；(2)“p且q”，有假則假；(3)“非p”，真假相反。3命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q)。一、走進教材1(選修11P26A組T3改編)命題“xR，x2x0”的否定是()Ax0R，xx00Bx0R，xx0<0CxR，x2x0DxR，x2x<0解析由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確。故選B。答案B2(選修11P18A組T1(3)改編)已知命題p：2是偶數，命題q：2是質數，則命題綈p，綈q，pq，pq中真命題的個數是()A1B2 C3D4解析p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，pq，pq都是真命題。故選B。答案B二、走近高考3(2017·山東高考)已知命題p：x>0，ln(x1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2。下列命題為真命題的是()ApqBp(綈q)C(綈p)qD(綈p)(綈q)解析因為x>0，所以x1>1，ln(x1)>0，所以對于x>0，ln(x1)>0，故p為真命題。由1>2，12<(2)2可知q是假命題，所以綈q為真命題。根據復合命題真值表可知p(綈q)為真命題。故選B。答案B4(2016·浙江高考)命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得n<x2BxR，nN*，使得n<x2CxR，nN*，使得n<x2DxR，nN*，使得n<x2解析由全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題得，命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是“xR，nN*，使得n<x2”。故選D。答案D三、走出誤區(qū)微提醒：命題涉及的知識載體出錯；復合命題的否定中出現(xiàn)邏輯錯誤；參數的討論出錯。5下列命題中的假命題是()Ax0R，lgx01Bx0R，sinx00CxR，x3>0DxR,2x>0解析當x10時，lg101，則A為真命題；當x0時，sin00，則B為真命題；當x0時，x30，則C為假命題；由指數函數的性質知，xR,2x>0，則D為真命題。故選C。答案C6已知命題p，q，“綈p為真”是“pq為假”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由綈p為真知，p為假，可得pq為假；反之，若pq為假，則可能是p真q假，從而綈p為假，故“綈p為真”是“pq為假”的充分不必要條件。故選A。答案A7已知命題p：xR，x2a0；命題q：x0R，x2ax02a0。若命題“pq”是真命題，則實數a的取值范圍為_。解析由已知條件可知p和q均為真命題，由命題p為真得a0，由命題q為真得4a24(2a)0，即a2或a1，所以a2。答案(，2考點一簡單的邏輯聯(lián)結詞微點小專題方向1：真假判斷【例1】(2019·安徽省示范高中模擬)已知下列兩個命題：p1：存在正數a，使函數y2xa·2x在R上為偶函數；p2：函數ysinxcosx無零點。則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2，q4：p1(綈p2)中，真命題是()Aq1，q4Bq2，q3 Cq1，q3Dq2，q4解析當a1時，y2xa·2x在R上是偶函數，所以p1為真命題。當x時，函數ysinxcosx0，所以命題p2是假命題。所以p1p2，p1(綈p2)是真命題。故選A。答案A“pq”“pq”“綈p”等形式命題真假的判斷步驟1確定命題的構成形式。2判斷其中命題p、q的真假。3確定“pq”“pq”“綈p”等形式命題的真假。方向2：求參數的取值范圍【例2】已知p：xR，mx210，q：xR，x2mx1>0，若pq為假命題，則實數m的取值范圍是()A2，) B(，2C(，22，) D2,2解析依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，mx21>0恒成立，則有m0；當q是真命題時，則有m24<0，2<m<2。因此由p，q均為假命題得即m2。故選A。答案A【互動探究】(1)本例條件不變，若pq為真，則實數m的取值范圍是_。(2)本例條件不變，若pq為假，pq為真，則實數m的取值范圍是_。解析(1)依題意，當p是真命題時，有m<0；當q是真命題時，有2<m<2，由可得2<m<0。(2)若pq為假，pq為真，則p、q一真一假。當p真q假時所以m2；當p假q真時所以0m<2。所以m的取值范圍是(，20,2)。答案(1)(2,0)(2)(，20,2)根據命題真假求參數的步驟1先根據題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)。2然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍。3最后根據每個命題的真假情況，求出參數的取值范圍?！绢}點對應練】1(方向1)已知命題p：對任意的xR，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()ApqB(綈p)(綈q)C(綈p)qDp(綈q)解析由指數函數的性質知命題p為真命題。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以命題q是假命題。由復合命題真值表可知p(綈q)是真命題。故選D。答案D2(方向2)已知命題p：關于x的方程x2ax40有實根；命題q：關于x的函數y2x2ax4在3，)上是增函數。若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數a的取值范圍是()A(12，44，)B12，44，)C(，12)(4,4)D12，)解析命題p等價于a2160，即a4或a4；命題q等價于3，即a12。由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假。若p真q假，則a<12；若p假q真，則4<a<4。故實數a的取值范圍是(，12)(4,4)。故選C。答案C考點二全稱量詞與存在量詞微點小專題方向1：含有一個量詞的命題的否定【例3】(1)命題“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)>nBnN*，f(n)N*或f(n)>nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)>n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)>n0(2)已知命題p：x0>1，x1>0，那么綈p是()Ax>1，x21>0Bx>1，x210Cx0>1，x10Dx01，x10解析(1)全稱命題的否定為特稱命題，所以命題的否定是：n0N*，f(n0)N*或f(n0)>n0。故選D。(2)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：x>1，x210。故選B。答案(1)D(2)B全稱命題與特稱命題的否定1改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫。2否定結論：對原命題的結論進行否定。方向2：求參數的取值范圍【例4】(1)已知函數f(x)x22x3，g(x)log2xm，對任意的x1，x21,4有f(x1)>g(x2)恒成立，則實數m的取值范圍是_。(2)已知函數f(x)ln(x21)，g(x)xm，若對x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實數m的取值范圍是_。解析(1)f(x)x22x3(x1)22，當x1,4時，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，則f(x)min>g(x)max，即2>2m，解得m<0，故實數m的取值范圍是(，0)。(2)當x0,3時，f(x)minf(0)0，當x1,2時，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m。答案(1)(，0)(2)全稱命題可轉化為恒成立問題，特稱命題可轉化為存在性問題，含量詞的命題中參數的取值范圍，可根據命題的含義，利用函數的最值解決?！绢}點對應練】1(方向1)命題p：“xN*，x”的否定為()AxN*，x>BxN*，x>CxN*，x>DxN*，x>解析命題p的否定是把“”改成“”，再把“x”改為“x>”。故選D。答案D2(方向1)命題“x0R,1<f(x0)2”的否定是_。答案xR，f(x)1或f(x)>23(方向2)已知函數f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實數a的取值范圍是_。解析由題意知f(x)ming(x)min(x2,3)，因為f(x)在上為減函數，g(x)在 2,3上為增函數，所以f(x)minf(1)5，g(x)ming(2)4a，所以54a，即a1。答案1(配合例1使用)已知函數f(x)給出下列兩個命題：命題p：m(，0)，方程f(x)0有解；命題q：若m，則f(f(1)0，那么，下列命題為真命題的是()ApqB(綈p)qCp(綈q)D(綈p)(綈q)解析因為3x>0，當m<0時，mx2<0，所以命題p為假命題；當m時，因為f(1)31，所以f(f(1)f20，所以命題q為真命題，逐項檢驗可知，只有(綈p)q為真命題。故選B。答案B2(配合例2使用)已知命題p：x0R，(m1)(x1)0，命題q：xR，x2mx1>0恒成立。若pq為假命題，則實數m的取值范圍為_。解析由命題p：x0R，(m1)(x1)0可得m1；由命題q：xR，x2mx1>0恒成立，即m24<0，可得2<m<2。因為pq為假命題，所以m2或m>1。答案(，2(1，)3(配合例3使用)已知命題p：“x0R，ex0x010”，則綈p為()Ax0R，ex0x010Bx0R，ex0x01>0CxR，exx1>0DxR，exx10解析根據全稱命題與特稱命題的否定關系，可得綈p為“xR，exx1>0”。故選C。答案C4(配合例4使用)已知函數f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實數a的取值范圍是_。解析依題意知f(x)maxg(x)max。因為f(x)x在上是減函數，所以f(x)maxf。又g(x)2xa在2,3上是增函數，所以g(x)max8a，因此8a，則a。答案生活中的邏輯正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應具備的基本素質，無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確地運用邏輯用語在表述和論證中表達自己的思維。有趣的是，日常生活中的一句話或是一件事，常蘊含著邏輯學的知識?！景咐?】“便宜無好貨，好貨不便宜”是我們所熟知的一句諺語，在期待購得價廉物美的商品的同時，我們常常用這句話來提醒自己保持足夠的警惕，不要輕易上某些不良商家的當。我們還可以運用邏輯學知識分析這句諺語里蘊含的邏輯關系。記p表示“便宜”，q表示“不是好貨”，那么按“便宜無好貨”的說法，pq，即“便宜”(p)是“不是好貨”(q)的充分條件；其逆否命題為“綈q綈p”，即綈q(“好貨”)是綈p(“不便宜”)的充分條件，即“好貨不便宜”。由此可以看出，“便宜無好貨”與“好貨不便宜”是一對互為逆否關系的命題。非常有趣的是，上海市高考試題曾對此作過考查：錢大姐常說“便宜無好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件正確選項已顯然。生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅持就是勝利”等熟語來勉勵自己和他人保持信心、堅持不懈地努力。在這些熟語里，“水滴”是“石穿”的充分條件，“有志”是“事成”的充分條件，“堅持”是“勝利”的充分條件。這正是我們努力的信心之源，激勵著我們直面一切困難與挑戰(zhàn)，不斷取得進步?！景咐?】1873年，馬克·吐溫與另一位作家合寫的長篇小說鍍金時代，小說揭露了美國西部投機家、東部企業(yè)家和政府官員三位一體掠奪國家和人民財富的丑惡黑幕。在一次酒會上，一名記者追問馬克·吐溫對當前美國政府官員的看法，馬克·吐溫一氣之下脫口而出：“美國國會有些議員是狗娘養(yǎng)的。”馬克·吐溫的話很快公諸報端，議員們知道后大為憤怒，紛紛向馬克·吐溫興師問罪，要求公開道歉并予以澄清，否則將訴諸法律。迫于無奈，馬克·吐溫只好在報紙上發(fā)表了一份公開更正聲明：“日前鄙人在酒席上發(fā)言，說有些美國國會議員是狗娘養(yǎng)的，事后本人思慮再三，覺得此言是不妥的，而且不符合事實，故特登報聲明，我鄭重聲明，我收回我以前說的話，并更正如下：美國國會中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的?！瘪R克·吐溫的聲明十分精彩，從表面上看似乎對原話作了完全否定的更正，而這其實是新瓶裝舊酒，換湯不換藥，絲毫沒有改變原話的本來意思，反而再一次猛烈抨擊了無恥的政府官員，從邏輯上來看，馬克·吐溫在酒會上所說的“美國國會有些議員是狗娘養(yǎng)的”是一個特稱命題，其結構為“有些r是s”；后來聲明所說的“美國國會中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的”也是一個特稱命題，其結構為“有些r是綈s”。顯然，兩者并非命題與其否定之間的關系。我們知道，特稱命題“有些r是s”的否定形式是“所有r都是綈s”，所以，倘若馬克·吐溫真心道歉并收回以前所說的話，其更正聲明應該表述為“所有美國國會議員都不是狗娘養(yǎng)的”。不過，這話怎么聽著也讓人心里不舒服。數學是一門邏輯性非常強的學科，生活中的交流同樣需要講究邏輯。通過學習和使用常用邏輯用語，我們可以體會邏輯用語在表述和論證中的作用，從而在實際生活中逐步形成自覺利用邏輯知識對一些命題之間的邏輯關系進行分析和推理的意識，能對一些邏輯推理中的錯誤進行甄別和糾正，使我們對問題的表述更嚴密、貼切，增強我們學習數學、運用數學的信心和能力。8